Вынужденные колебания. 
Гармоническое колебательное движение

Резонанс В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Пусть Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

(1).

— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

(2).

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Тогда Подставим в (2):

т.к. выполняется для любого t, то должно выполняться равенство г = щ, следовательно,.

Это комплексное число удобно представить в виде где А определяется по формуле (3 ниже), а ц — по формуле (4), следовательно, решение (2), в комплексной форме имеет вид Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

Где.

(3).

(4).

Слагаемое Х_о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой щ и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механической системы, называется резонансом.

Частота щ вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение щ_рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания в и с уменьшением в, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если в = 0, то щ_рез = щ₀.

При щ>0 все кривые приходят к значению — статическое отклонение.

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие «солнышко» за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в «лодочках» .).

Автоколебаниями называются такие колебания, энергия которых периодически пополняется в результате воздействия самой системы за счет источника энергии, находящегося в этой же системе.