Расчет на устойчивость системы жестких стержней на упругих опорах методом перемещений

В данном случае переходим, как и в динамике, к конечному числу степеней свободы, что, естественно, упрощает решение задачи, так как от дифференциальных уравнений переходим к алгебраическим. Число степеней свободы определяется геометрической изменяемостью. В этом случае можно использовать зависимость, полученную для плоских ферм: п = 2У — С, где У — число узлов; С — число стержней.

Для схемы, изображенной на рис. 10.26, п = 2−5-7 = 3.

Задачу можно решить методом перемещений, используя табл. 10.1 (последнюю строку).

Пример 10.10. Определим критическую нагрузку и собственные векторы, которые определяют форму потери устойчивости для схемы стержней, изображенных на рис. 10.27, а. Примем, что упругие связи имеют одинаковое сопротивление на растяжение и сжатие.

Рис. 10.27. Схема стержней для примера 10.10 (а), основная система метода перемещений (б) и схемы деформаций ог единичных значений перемещений (в, г).

Определим число степеней свободы: и = 2−4 — 6 = 2.

Для решения задачи составим определитель второго порядка (10.2). Реакции определяем по табл. 10.1 путем вырезания узлов.

В данном случае (см. формулы (9.2) и (9.7)).

Допустим, что k_t= k₂ = k. Тогда.

В итоге получим квадратное уравнение относительно F, которое примет вид Его корни

Так же как и при решении задач динамики (см. параграф 2.4), построим формы потери устойчивости. Подставим значение F_i в уравнение, задавшись одним значением, равным единице:

V ' ~ У

m m.

Итак, ц, =; v₂ = . Полученные векторы представляют собой формы ч 1У ч V.

потери устойчивости системы, приведенные на рис. 10.28.

Естественно, реальной критической силой является минимальная сила F₃.

Рис. 10.28. Формы потери устойчивости Упражнение 10.6. Определите критическую силу для составного стержня, изображенного на рис. 10.29, методом перемещений.

Рис. 10.29. Составной стержень.

Контрольные вопросы

I. В чем отличие метода перемещений, используемого при решении задач устойчивости, от метода перемещений, реализуемого при решении задач прочности?

• 2. Какой критерий устойчивости реализуется в методе перемещений?
• 3. Что представляет собой уравнение устойчивости при использовании метода перемещений?
• 4. Каким методом определяются реакции в сжатых стержнях от единичных перемещений?
• 5. Какие стержневые системы можно рассчитывать без постановки линейных связей?
• 6. Каким является уравнение устойчивости при использовании метода перемещений и сколько корней оно имеет?
• 7. В каких случаях можно использовать симметрию системы при решении задач устойчивости?
• 8. Какова цель расчета по деформированной схеме?
• 9. Нужны ли таблицы приложения 2 для расчета по деформированной схеме? Какова процедура расчета?