Выбор метода. 
Численные методы. 
Основы научных вычислений

Какой из методов решения эллиптических уравнений следует применять, зависит от вида уравнений, и не существует универсального и наилучшего для всех случаев метода. Выбор метода определяется следующими характеристиками задачи:

• 1) видом уравнений, т. е. линейностью, размерностью, наличием переменных или постоянных коэффициентов;
• 2) свойствами области и граничных условий.

Первым возникает вопрос о линейности рассматриваемого уравнения. Если уравнение нелинейно, то его разностную форму можно свести к системе нелинейных уравнений, а затем применить какой-нибудь метод для решения таких систем. Для некоторых уравнений можно также применить метод установления. Для линейных уравнений выбор метода определяется формой области, в которой ищется решение, видом коэффициентов и граничными условиями. Если область определения задачи является прямоугольником или параллелепипедом, а граничные условия имеют специальный вид, то можно использовать методы, основанные на быстром преобразовании Фурье (FFT, Fast Fourier Transform). Рассмотрим, например, двумерную область {0 < х < 1_Х, 0 < у < 1_у}. Под специальными граничными условиями мы будем понимать одно из следующих условий:

В случае трехмерных уравнений специальные граничные условия определяются аналогичным образом.

Если область определения задачи имеет сложную форму, то разностная форма исходного уравнения представляется в виде системы линейных уравнений, и затем применяется тот или иной метод для решения полученной системы.

Перейдем теперь к более подробному обсуждению методов решения стационарных уравнений. Для простоты мы будем рассматривать двумерные задачи. Методы решения трехмерных задач строятся аналогичным образом.