Методы решения уравнений и неравенств
В силу соотношения (2), получим. Пример 2.1.5: Решить уравнение. Пример 2.1.3: Решить уравнение: Из определения следует, что. Пример 2.2.3: Решим уравнение. Пример 2.2.2: Решим уравнение. Пример 2.2.5: (1−3х)2=(х-2)2. Опорная информация: 3х=х-2 или 1−3х= -х+2. Ответ: х1=-4, х2=0,(6). Определение 2.1.1: Ответ: х1=6, х2=11/3. Ответ: 0,75; -0,5. Ответ: 1,25; 0; 4. Пример 2.2.4: Решение… Читать ещё >
Методы решения уравнений и неравенств (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Решение уравнений и неравенств с использованием определения абсолютной величины (модуля)
Определение 2.1.1:
Из определения следует, что.
- 1);
- 2)
- 3)
- 4) = ;
- 5);
- 6)= а, при а?0;
- 7) =.
Например, докажем четвертое равенство. Если а и b — числа одинаковых знаков, то, аb = аb — верное равенство. Если, а и b — числа разных знаков, например то (-аb) = (-аb) — также верное равенство.
Рассмотрим решение упражнений, связанных только с определением модуля числа.
Пример 2.1.1: Записать выражение без знака модуля.
Решение. =
Пример 2.1.2: Решить неравенство.
Решение. Поскольку, то при всех, а.
поэтому данное неравенство выполняется только при тех значениях x, при которых =0, откуда х=2 и x = 3.
Пример 2.1.3: Решить уравнение:
.
Ответ:
Пример 2.1. 4: Решить неравенство: .
Решение: Так как при, то в нашем случае. Исходное неравенство равносильно системе. Решение может быть показано на координатной прямой.
Ответ: .
Пример 2.1.5: Решить уравнение .
Решение. Пусть, тогда,; корни последнего уравнения Первый из них не удовлетворяет неравенству и является посторонним для данного уравнения. Пусть, тогда,. Неравенству удовлетворяет корень .
2.2 Метод решения при помощи зависимостей между числами, а и в, их модулями и квадратами этих чисел
Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:
(1).
Отсюда в свою очередь получим, что.
(2).
Опорная информация:
Пример 2.2.1: Решим уравнение | двумя различными способами.
a) Учитывая соотношение (1), получим:
или.
Корень первого уравнения, корень второго уравнения.
Таким образом корни исходного уравнения.
b) В силу соотношения (2), получим.
или.
=0.
уравнение имеет 2 различных корня.
Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6.
Ответ: х1=6, х2=11/3.
Пример 2.2.2: Решим уравнение .
Учитывая соотношение (2), получим, что откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):
Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6).
Ответ: х1=-4, х2=0,(6).
Пример 2.2.3: Решим уравнение .
Учитывая соотношение (1), получим:
или.
Таким образом, корни исходного уравнения: х1=1,25; х2=0; х3=4.
Ответ: 1,25; 0; 4.
Пример 2.2.4:
В силу соотношения (2) получаем:
.
Ответ:1.
Пример 2.2.5: (1−3х)2=(х-2)2.
Учитывая соотношение (2), получаем: |1−3х|=|х-2|, откуда из соотношения (1), имеем:
1−3х=х-2 или 1−3х= -х+2.
х=0,75 х= -0,5.
Ответ: 0,75; -0,5. [4].