Дифференциальное уравнение теплопроводности

Рассмотрим процесс распространения теплоты теплопроводностью в однородном изотропном твердом теле. Примем, что внутренние источники теплоты отсутствуют, а значения теплопроводности X, теплоемкости с и плотности р постоянны.

Выделим в рассматриваемом теле элементарный параллелепипед с ребрами fir, dy и dz (рис. 7.3). Составим уравнение теплового баланса для этого параллелепипеда, для чего, используя закон Фурье, определим приток и расход теплоты, передаваемой теплопроводностью через каждую его грань.

Рис. 7.3. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности.

В соответствии с (7.6) в направлении оси х через грань площадью dydz за время dx поступает элементарное количество теплоты.

Количество теплоты, поступающее из параллелепипеда за то же время через противоположную грань, расположенную на расстоянии dx и имею-, dt ,.

щую температуру t+—dx: ox

Из (7.10) и (7.11) получаем, что количество теплоты, подведенное теплопроводностью к рассматриваемому параллелепипеду в направлении оси х_у составляет.

Аналогично определяется количество теплоты, подведенное к элементарному параллелепипеду в направлении осей у и z:

Из (7.12)—(7.14) получим, что количество энергии, аккумулированное в параллелепипеде объемом dV = dxdydz за время с/т,.

По закону сохранения энергии, аккумулированная за время dx, с, энергия в количестве 8Q, Дж, должна пойти на увеличение внутренней энергии параллелепипеда объемом dV, м³:

где с — теплоемкость, ДжДкг • К); р — плотность, кг/м³; —dx — изменение Эт температуры параллелепипеда объемом dV за время dx.

Приравнивая правые части (7.15) и (7.16) и сокращая на dVdx, получим дифференциальное уравнение теплопроводности (при отсутствии внутренних источников теплоты).

где а — температуропроводность, м²/с;

Будучи теплофизическим параметром вещества, температуропроводность характеризует скорость изменения температуры в теле и является мерой его теплоинерционных свойств.

Выражение, стоящее в круглых скобках в формуле (7.17), называется оператором Лапласа и для сокращения обозначается V²f (знак V читается «набла»). Таким образом, дифференциальное уравнение теплопроводности (7.17) принимает вид.

Полученное уравнение (7.18) устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры тела.

В случае стационарного режима в силу условий dt/dx = 0 и а Ф 0 уравнение теплопроводности упрощается к виду.

При решении некоторых задач теплопроводности (распространение теплоты теплопроводностью в трубах, дисках, валах и т. д.) удобнее вместо декартовой прямоугольной системы координат использовать цилиндрическую систему координат г, ф, z. Заменяя обычным методом переменные х = гсоБф и у — гэтф, получим выражение для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат:

Когда имеется одномерное стационарное поле t = f (x), г. е. когда перенос теплоты происходит в направлении только одной из осей (например, оси х), дифференциальное уравнение значительно упрощается: