Многоканальная однофазная модель

В качестве меры по улучшению показателей функционирования СМО применяют увеличение каналов обслуживания. Поступление заявки в систему задается при помощи случайной величины с заданным распределением. В простейшем случае обслуживание заявок инвариантно каналу системы, т. е. любая заявка может обрабатываться на любом канале. Время обслуживания заявки на станции аппроксимируется случайной величиной с заданным распределением, в общем случае различным для разных станций.

Очередная заявка, приходящая в систему, передается на обслуживание первой свободной станции. При идентичности станций в терминах параметров описывающих случайных величин первой свободной станцией можно считать, например, свободную станцию с наименьшим идентификационным номером. Из практических соображений при существенности степени изношенности оборудования выбор можно организовать с целью равномерного износа оборудования системы.

В случае занятости всех станций очередная заявка ставится в очередь и в последующем передается на первую освободившуюся станцию. Эквивалентно перед каждой станцией может формироваться своя очередь, когда очередная заявка ставится в очередь на обслуживание первой освобождающейся станции. Это возможно, так как технологически с приходом каждой заявки становится известным время ее обслуживания.

На практике первый вариант имеет большее предпочтение в связи с возможными сбоями в работе отдельных станций, когда приходится перераспределять очереди таких станций по другим работающим станциям.

Временем простоя системы будем считать суммарный простой всех станций системы.

Параметры модели:

т — количество заявок;

п — количество станций обслуживания;

/а ^— функция распределения плотности вероятностей интервала времени между двумя последовательными заявками;

fxj ~ функция распределения плотности вероятностей времени обслуживания на j-й станции, у = 1,…, п.

Переменные состояния модели:

T_w — общее время ожидания всех заявок в очереди;

T_s — общее время простоя системы в ожидании заявок; w — время ожидания поступившей заявки в очереди; s — время простоя системы в ожидании очередной заявки; а — интервал времени между появлениями последней поступившей и следующей заявками;

т — время обслуживания последней поступившей заявки; t_a — время прихода очередной заявки (абсолютное время от начала эксперимента);

ty — время освобождения j-й станции (абсолютное время от начала эксперимента) Блок-схема модели представлена на рис. 5.10.

В частном случае, когда заявки, поступающие в систему из п параллельных станций, образуют пуассоновский поток с интенсивностью X, а время обслуживания на любой станции распределено по экспоненциальному закону с параметром р, можно получить следующие соотношения^[1]:

• 1
• • Р₀ =—г—г—вероятность того, что в иекото-

V ifif UfAT JL.

рый момент времени в системе нет ни одной заявки;

Ш-1 ^ро

• • W =—— — среднее время ожидания для одной заявки.
• (п-)(пх-кУ

Рис. 5.10. Блок-схема многоканальной однофазной модели

Многофазный вариант многоканальной СМО может быть реализован в агрегированной форме, где отдельным элементом системы выступает многоканальная однофазная система. Расчет показателей функционирования всей системы модифицируется соответствующим образом, например среднее время нахождения заявки в системе определяется как суммарное значение времени нахождения заявки во всех фазах системы. Следует отметить, что подобный подход действителен в случае, когда обслуживание заявки в каждой фазе не зависит от канала обслуживания и заявка может обрабатываться необязательно на станциях одного канала. В случае когда заявка, попадая на определенный канал системы, должна обрабатываться только на станциях этого канала, система может быть представлена как совокупность одноканальных многофазных систем.

• [1] Другие результаты для этого случая см. в работе: Нейлор Т. Указ. соч.