Математическая основа карт и классификация картографических проекций

Известно, что Земля шарообразна, т. е. не обладает формой идеального шара. Фигура ее неправильна, и, как всякое вращающееся тело, она немного сплюснута у полюсов. Кроме того, из-за неравномерного распределения масс земного вещества и тектонических деформаций Земля имеет обширные выпуклости и вогнутости. В силу этого земную поверхность заменяют некоторой правильной поверхностью, которая носит название поверхности относимости.

В самом точном приближении такой поверхностью является поверхность геоида (фигура, ограниченная уровенной поверхностью океана). Точно определить его форму практически невозможно. Поэтому в теории и практике картографии за поверхность относимости принимают земной эллипсоид, либо сферу определенного радиуса (при создании мелкомасштабных карт (когда можно пренебречь полярным сжатием).

Земной эллипсоид — это эллипсоид вращения с малым сжатием, размеры которого выбраны таким образом, чтобы для заданной территории он наименее уклонялся от геоида. При этом полагают, что плоскость экватора и центр эллипсоида вращения совпадают с плоскостью экватора и центром масс Земли. Такой земной эллипсоид иначе называют референц-эллипсоидом. Постановлением Совета Министров от 7 апреля 1946 г. за такой референц-эллипсоид у нас в стране принят референц-эллипсоид Красовского. Он имеет следующие параметры:

a = 6 378 245 км — большая полуось;

b = 6 356 863 км — малая полуось;

с = 1: 298,3 — полярное сжатие.

Рис. 1. Эллипсоид вращения и его элементы

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса P_NE₁P_SE₂ вокруг полярной оси P_NP_S (рис. 1). Точки P_N, P_S являются, соответственно, северным и южным полюсами эллипсоида. Они получаются сечением оси P_NP_S поверхности эллипсоида.

Сечения поверхности эллипсоида вращения плоскостями, параллельными плоскости экватора, образуют окружности — параллели. Сечения поверхности эллипсоида вращения плоскостями, проходящими через ось вращения, образуют эллипсы — меридианы.

Пусть О’К' - нормаль к поверхности эллипсоида в точке К (рис. 1). Плоскости, проходящие через нормаль, называются нормальными плоскостями. Сечения этих плоскостей с поверхностью эллипсоида дают нормальные сечения, или вертикалы. Тогда меридиан — это нормальное сечение, плоскость которого проходит через полярную ось. Нормальное сечение, перпендикулярное плоскости меридиана P_NЕ₁P_SЕ₂, дает сечение 1-го вертикала.

Радиусы кривизны этих сечений определяются следующими формулами:

— радиус кривизны меридиана;

— радиус кривизны 1-го вертикала;

где — 1-й эксцентриситет;

a и b — большая и малая полуоси эллипсоида вращения.

Радиус параллели ® вычисляется через радиус кривизны первого вертикала.