Площадь поверхности шара и его частей

Теорема 3.7. Площадь поверхности сферы равна.

S = 4R²,.

где R радиус сферы.

Доказательство. Найдем площадь сферы, пользуясь определением площади поверхности.

.

Тело F_h является слоем между двумя концентрическими сферами, радиусы которых R +h и R — h, h>0 (рис. 3.9).

Объем его равен разности объемов шаров этих радиусов:

Рис. 3.9.

Теорема 3.8. Площадь поверхности сферического сегмента равна S = 2RH, где R — радиус сферы, Н — высота сегмента. Аналогично теореме 3.7.

.

где V_h— объем тела F_h (рис. 3.10). Тело F_h заключено между поверхностями двух сегментов, высоты которых Н + 2h и Н, шаровых поверхностей радиусами соответственно R + h и R — h. Объем тела меньше разности объемов этих сегментов:

С другой стороны, тело F_h содержит в себе тело, заключенное между сегментами шаровых поверхностей, высоты которых H + h и H — h и радиусы R + h и R — h соответственно, поэтому его объем будет больше разности объемов этих сегментов:

.

Разделив неравенства на 2h, получим.

При h0 левая и правая части неравенства будут стремиться к 2RH, поэтому площадь сегмента.

Доказательство. Площадь шарового пояса высотой Н = ВС можно найти как разность площадей поверхностей двух сегментов с высотами СА и ВА (рис. 3.11):

S=S_сег.CA-S_сег.BA=2R*CA-2R*BA=2R (CA-BA)=2R*BC=2RH.

Доказательство проведено для случая, когда шаровой слой расположен по одну сторону от центра шара. Для других положений пояса доказательства проводятся аналогично.

Задача 3.8. Диаметр Марса составляет половину земного. Диаметр Юпитера в 11 раз больше земного. Как относятся площади поверхностей Марса, Юпитера и Земли?

Решение. Пусть R_м — радиус Марса, R_з — радиус Земли, R_ю — радиус Юпитера.

По условию.

R_з = 2R_м, R_ю= 11*R_з = 11*2R_м=22R_м.

Выразим площади поверхностей через радиус Марса:

т.е. площади поверхностей сфер относятся как квадраты радиусов.