*. Алгебры над полями

Тело кватернионов

Определение 4.16. Телом кватернионов называется тело (Н, +, ?), которое содержит поле действительных чисел (R, +, •), а также содержит так называемые мнимые единицы i, j, k, которые перестановочны с любым действительным числом и !² =р = k² = ijk = -1, причем всякий элемент he Н представим в виде h = a + bi + cj + dk, где a, b, c, de Ш. Всякий элемент he Н называется кватернионом, а его запись в указанной форме называется алгебраической формой кватерниона. При этом а называется скалярной частью кватерниона, а Ы + cj + dk — его векторной частью. Если скалярная часть отсутствует (а = 0), то кватернион называется чисто векторным.

Кватернионы ввел в 1848 г. В. Гамильтон, и в его честь тело кватернионов обозначается буквой Я.

Пользуясь свойствами мнимых единиц из определения 4.16, легко вывести следующие правила умножения мнимых единиц:

Эти правила схематично изображены на рис. 4.3: произведение любых соседних мнимых единиц по стрелкам дает третью мнимую единицу, а против стрелок — третью мнимую единицу со знаком «минус». Легко видеть, что множество G = {±1, ±г, ±j, ±к} образует мультипликативную группу, она называется группой кватернионов.

Рис. 4.3.

Используя свойства кватернионов, зафиксированные в определении, легко вывести формулы сложения и умножения кватернионов:

Заметим, что чисто векторный кватернион Ы + cj + dk можно изобразить в виде вектора трехмерного векторного пространства с координатами (b, с, d). При этом произведение чисто векторных кватернионов равно кватерниону, у которого скалярная часть противоположна скалярному произведению перемножаемых чисто векторных кватернионов, а векторная часть — их векторному произведению. Исторически из теории кватернионов появились термины «скалярное произведение» и «векторное произведение» векторов.