Метод Эйлера. 
Дифференциальные уравнения I и II порядка

Пусть задано дифференциальное уравнение.

Будем предполагать, что функция в окрестности точки удовлетворяет условиям теоремы существования. По теореме существования имеются отрезок и определенное на нем единственное решение уравнение (1), удовлетворяющее условию .

Для числа теорема дает оценку сверху.

.

Метод Эйлера дает возможность приближенно выразить указанную функцию теоретически с любой наперед заданной точностью.

Пусть требуется вычислить приближенно, где для определенности. Разделим на равных частей точками. Длину отрезка, будем называть шагом вычисления. Приближенные значения решения в точках, обозначим через .

На вместо уравнения (1) будем рассматривать уравнение с начальным условием (задача Коши).

.

Решение этого уравнения имеет вид.

. (2).

Эту функцию (линейную) мы и примем за приближенное решение уравнения (1) на отрезке. С геометрической точки зрения это значит, что мы искомую интегральную кривую заменили отрезком касательной к интегральной кривой в точке .

Из формулы (2) получаем.

.

Дальше рассуждаем по индукции. Если приближенные значения решения известны, то на рассматриваем вместо уравнения (1) уравнение.

.

Решение этого уравнения.

(3).

принимаем за приближенное решение уравнения (1) на .

Полагая в (3), получим.

. (4).

Формула (4) и определяет метод Эйлера.

Функция, определяемая на с помощью равенства (3), называется «ломаной Эйлера» (рис. 10). Можно доказать, что при условиях теоремы существования последовательность ломаных Эйлера равномерно сходится на к истинному решению задачи при .

Рис. 3.