Динамика твердого тела

Общие законы динамики твердого тела

С точки зрения динамики твердое тело — это совокупность частиц, расстояние между которыми не изменяется со временем. Все реальные твердые тела деформируемы, так что рассматриваемая модель — некоторая идеализация, не вступающая, впрочем, в противоречие с ньютоновской (нерелятивистской) механикой. На самом деле твердых тел в указанном смысле в принципе не может быть (это следствие свойств пространства—времени, отражаемых в преобразованиях Лоренца).

Ясно, что так понимаемое твердое тело есть частный случай механической системы, описанием динамики которой мы занимались в предыдущем разделе. Это означает, что общие законы динамики системы справедливы для динамики твердого тела.

Центр масс твердого тела определяется формулой (3.12). Однако практически используется ее интегральный эквивалент. Распределение массы в теле характеризуется плотностью, которая вводится следующим образом. В окрестности точки г выделим элемент объемом dV. Масса этого элемента dm = p{r)dV, где скалярная функция р (г), определяющая массу элемента объема, называется плотностью (массы). Для центра масс будем иметь.

Здесь т — масса тела. Очевидно, что.

Интегрирование в обеих формулах ведется по объему тела. (Должно быть ясно, что эти формулы справедливы не только для твердого тела.).

В отличие от произвольной системы центр масс твердого тела жестко связан с определенной точкой твердого тела.

где v = dR/dt — скорость центра масс. Формула (3.3) дает равенство.

Мы снова получили второй закон Ньютона, но не для частицы, а для произвольного твердого тела. Второй закон Ньютона определяет ускорение центра масс.

Как мы уже видели (см. разд. 1.3), произвольное движение твердого тела можно представить как перемещение центра масс и вращение тела вокруг некоторой оси, проходящей через центр масс. Если движение центра масс и вращение тела независимы (нет кинематической связи между перемещением центра масс и поворотом тела, сила F не зависит от угловой скорости вращения тела), уравнения (3.81) достаточно для определения движения центра масс тела. Как решаются такие уравнения, мы видели (п. 2.2.8). Однако полностью определить движение тела на основе уравнения (3.81) нельзя.

Механическая система имеет три динамические характеристики — импульс, момент импульса и энергия. Их поведение определяется формулами (3.3), (3.28), (3.36), которые справедливы, очевидно, и для твердого тела. Кинематика твердого тела определяется скоростью центра масс и угловой скоростью вращения, т. е. функциями v = v (/), ш = ш (г). Для полного описания движения твердого тела необходимо связать динамические характеристики с кинематическими. Одну такую связь дает формула (3.80), остальные нам предстоит найти.