Упрощенное определение расхождений между минимальными ресурсами выборок и совокупностей для ответственных деталей машин

На протяжении многих лет и даже десятилетий исследователи при решении вероятностно-статистических задач использовали выборочный метод определения параметров законов распределения значений тех или иных факторов [1, 3, 9, 10]. Это объяснялось тем, что генеральные совокупности считались бесконечными. Вместе с тем в деятельности человека при ограниченной продолжительности жизни генеральные совокупности являются конечными (автомобили — в миллионах, строительные и сельхозмашины — в тысячах, ракеты — в сотнях и т. д.) При этом выборочный метод актуален, т.к. позволяет существенно снизить затраты на проведение исследований при выборках объемом n=10−100.

Однако существует связь между объемами выборки и генеральной совокупности конечного объема (далее совокупность) (рис. 1).

Рис. 1. Плотность распределения: 1 — выборка; 2 — совокупность

Известно, что с увеличением объема выборки возрастает среднее квадратическое отклонение вплоть до равенства его с аналогичным отклонением совокупности.

При использовании для аппроксимации выборочных данных законов со сдвигом, например, законов Вейбулла с тремя параметрами [2] и Фишера-Типпета [10] эти две плотности на рис. 1 примут следующий вид (рис. 2).

Рис. 2. Плотность распределения трехпараметрического закона Вейбулла: 1 — выборка; 2 — совокупность; Сс, Св — сдвиги распределений совокупности и выборки

Параметры С_в и С_с обычно находят для определения минимальных значений каких-либо факторов: прочности, ресурса и т. п.

Так, выборочный минимальный ресурс детали, узла, машины будет больше ресурса совокупности. Это означает завышенный выборочный расчетный или экспериментальный ресурс. Для совокупности данный ресурс будет заниженным и, следовательно, характеризоваться преждевременными отказами и материальными затратами [4, 5, 6, 7, 8].

Поэтому при наличии выборочных данных было бы очень важно решить задачу более простого перехода от выборочного ресурса к ресурсу совокупности, особенно если совокупность составляет объем N_с=10³-10⁵.

Применительно к задаче об определении усталостного ресурса рассматриваются следующая формула.

.

где а_р — сумма относительных усталостных повреждений;

N₀ — базовое число циклов, ц;

f — частота нагружения, Гц;

у_-1 = предел выносливости образцов.

Объем выборки n=50; объем совокупности N_e=10⁴.

На рис. 3 представлен алгоритм определения упрощенного расхождения между минимальными ресурсами по выборке и совокупности.

Рис. 3. Алгоритм определения упрощенного расхождения между минимальными ресурсами по выборке и совокупности

В таблице представлены расхождения между ресурсом выборки и ресурсом совокупности выполненные по данному алгоритму.

Таблица 1. Расхождения между минимальными ресурсами выборки и совокупности.

Таким образом, из таблицы видно, что минимальный ресурс выборки в 12−31 раза больше ресурса совокупности, что объясняет появление ранних отказов деталей совокупности.

Библиографический список

выборка распределение трехпараметрический.

• 1. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975. — 648 с.
• 2. ГОСТ 11.007−75. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров распределения Вейбулла. М.: Изд-во стандартов, 1975. — 30 с.
• 3. Серенсен С. В., Кагаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. — М.: Машиностроение, 1975. — 488 .с.
• 4. Касьянов В. Е., Зайцева М. М., Котесова А. А., Котесов А. А. Оценка параметров распределения Вейбулла для совокупности конечного объема. Деп. ВИНИТИ № 21-В2012 от 24.01.12 р.
• 5. Котесова А. А., Зайцева М. М., Котесов А. А. Определение действующего напряжения в стреле одноковшового экскаватора [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, № 4 (часть 2). — Режим доступа: http://ivdon.ru (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.
• 6. Касьянов В. Е., Котесов А. А., Котесова А. А. Аналитическое определение параметров закона Вейбулла для генеральной совокупности конечного объема по выборочным данным прочности стали [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, № 2. — Режим доступа: http://ivdon.ru (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.
• 7. Касьянов В. Е., Зайцева М. М., Котесова А. А., Котесов А. А., Котова С. В. Расчетно-экспериментальное определение гамма-процентного ресурса стрелы одноковшового экскаватора для генеральной совокупности конечного объема [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, № 1 (часть 2). — Режим доступа: http://ivdon.ru (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.
• 8. Касьянов В. Е., Щулькин Л. П., Котесова А. А., Котова С. В / Алгоритм определения параметров прочности, нагруженности и ресурса с помощью аналитического перехода от выборочных данных к данным совокупности [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, № 4 (часть 2). — Режим доступа: http://ivdon.ru (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус. 9. Applied statistics and probability for engineers / Douglas C. Montgomery, George C. Runger.—3rd ed.
• 10. W.J. DeCoursey / Statistics and Probability for Engineering Applications With Microsoft® Excel. — 2003 — 400 р. — Elsevier Science (USA).