Геометрические характеристики плоских сечений

Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивление материалов, является стержень.

Сопротивление стержня различным видам деформации часто зависит не только от его материалов и размеров, но и от очертаний оси, формы поперечных сечений и их расположения. Рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений бруса, определяющие сопротивление различным видам деформаций.

Статические моменты площади. Центр тяжести площади.

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными осями и. Выделим элемент площади с координатами,. По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражения и для момента площади, которое называется моментом площади. Так, произведение элемента площади на расстояние от оси .

называется статическим моментом элемента площади относительно оси .

Аналогично:

Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим соответственно статические моменты относительно осей и :

;

Пусть , — координаты центра тяжести фигуры. Продолжая аналогию с моментами сил, на основании теоремы о моменте равнодействующей можно написать следующие выражения:

где — площадь фигуры. Очевидно, что статические моменты площади относительно осей проходящих через центр тяжести (центральных осей) равны нулю.

Координаты центра тяжести:

.

В качестве примера вычислим статический момент треугольника относительно оси, проходящей через основание. На расстоянии от нее выделим элементарную площадку в виде полоски, параллельной оси. Площадь полоски.

.

Учитывая, что.

.

Имеем.

.

Еще проще решить эту задачу, пользуясь формулой Учитывая, что.

; ,.

статический момент.

Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, для каждой из которых известна площадь и положение центра тяжести и. Статический момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статических моментов каждой части:

По формулам легко найти координаты центра тяжести сложной фигуры:

;