Свойства степенных рядов

Вообще говоря, сумма степенного ряда является функцией от переменной х:

Пусть интервал сходимости этого ряда (-/?, R). Тогда говорят, что функция /(х) разлагается в степенной ряд на интервале (— R, R).

Степенные ряды обладают рядом свойств; два из них мы приведем без доказательств.

1. Степенной ряд можно дифференцировать почленно на промежутке его сходимости, так что.

Причем интервал сходимости ряда (13.31)тотже, что и у ряда (13.30). Таким же образом можно вычислить производные любого порядка.

2. Степенной ряд можно интегрировать почленно в интервале его сходимости — R < х < R_y т. е. при а е (-R, R)

Особый интерес представляет интегрирование степенного ряда (13.30) по отрезку (0, дг) где х < R:

Заметим, что из свойства 1 следует, что сумма степенного ряда непрерывна на интервале его сходимости.

Разложение функций в степенные ряды

Теорема 13.13. Если функция f (x) может быть разложена на интервале (-/?, R) в степенной ряд, то это разложение единственно.

Доказательство. Так как по условию ряд (13.30) сходится на интервале (-/?, R) и/(х) — его сумма, в силу свойства 1 (см. п. 13.4.3) этот степенной ряд можно дифференцировать почленно на указанном интервале сколько угодно раз. Тогда, дифференцируя я раз равенство (13.30), получаем:

/^(я)(х) = а_пп + 2×3 … (_Л + 1) д_{я +} j х + я = 0,1, 2, 3, …, откуда при х = 0 находим /^(я) (0) = а_п я!, или.

Таким образом, коэффициенты степенного ряда (13.30) однозначно определяются формулами (13.34), что и требовалось доказать. ?

Подстановка полученных коэффициентов (13.34) в формулу (13.30) даст вид разложения функции f (x) в степенной ряд:

Ряд (13.35) называется рядом Маклорена для функции f (x).

Для любой бесконечно дифференцируемой функции можно составить ряд Маклорена (13.35). Установим теперь связь между формулой Маклорена (10.12) (см. п. 10.3.2) и рядом (13.35). Как известно, для любой (я + 1) раз дифференцируемой функции справедлива формула Маклорена:

где R"(x) — остаточный член в форме Лагранжа:

Пусть S_n — частичная сумма ряда Маклорена (13.35); нетрудно видеть, что формула Маклорена (13.36) может быть представлена в виде.

Из представления (13.37) почти очевидным образом следует теорема о сходимости ряда Маклорена.

Теорема 13.14. Для того чтобы для бесконечно дифференцируемой функции f (x) имело место разложение в ряд Маклорена (13.35) на интервале (-/?, /?), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Маклорена для этой функции стремился к нулю на указанном интервале при я.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Доказательство. Необходимость вытекает из формулы (13.37): если S_n(x) —"f (x) при я -> оо, то для всех х на интервале (-/?, R).

Достаточность: пусть R (х) —" 0 при я —> «> для всех х е (-R, R). Тогда из (13.37) следует, что.