Приближения биномиальной схемы

Производится п испытаний Бернулли с вероятностью успеха А в одном опыте Р (А) = р (Р (А) = 1 -р = q). Тогда вероятность получить ровно т успехов в п испытаниях есть.

(биномиальная вероятность).

При больших п вычисление по (3.13) затруднительно, поэтому используют приближения, сформулированные в виде следующих теорем.

Локальная теорема Муавра — Лапласа (ЛТМЛ). При п —> °о.

1 ~ ,, , т-пр

где <�р (х) = —=е ² — табличная функция, х = — (без доказали yjnpq

тельства).

Практическая рекомендация. Применять формулу (3.14) при npq > 9.

Интегральная теорема Муавра —Лапласа (ИТМЛ). Равномерно относительно х? и х" (-°о < х' < х" < °°) при п —*• °о.

где Ф (х) = J (p (t)dt — табличная функция, а ф (х) см. выше.

о.

Практическая рекомендация. Применять (3.14) и (3.15) при больших п и npq > 9.

Практический смысл ИТМЛ. Положим в качестве х, и х₂ значения:

т.-пр т^-пр г,™,™.

х, —, х₂—-, которые удовлетворяют условиям ИТМЛ.

•Jnpq yjnpq

Тогда практически при больших п имеем по формуле (3.14) следующее приближенное равенство:

П

т ~ В (п, р), Mm = р, Dm = J npq, т = где {X,} — независимые одипа;

^v 1=1.

т-пр

ково распределенные по В (1, р) СВ. Потому в формуле (3.16) — —.

yjnpq

нормированная сумма независимых одинаково распределенных бернуллиевских СВ, распределение которой по теореме Леви при п —* °° сходится к Д'(0, 1), откуда следует ИТМЛ в форме (3.15).

Следствие из ИТМЛ

п

Доказательство, т = где СВ X_k ~ В (, р), {X;} — независимые СВ, ;= 1.

Mm = пр, Dm = yjnpq ? Тогда.

а это значит, что с заданной надежностью Р можно указать интервал изменения т в пределах т_Л = пр — гпнт₂ = пр — еп, т. е.

Таким образом, по формулам (3.17) и (3.18) с заданной надежностью Р (Р — доверительная вероятность) легко выписываются.

" т

доверительные интервалы для относительной частоты — и частоты т> где т ~ В (п, р):

Рассмотрим задачи на применение приближений биномиальной схемы (задачи 3.25—3.32) и ЦПТ (задачи 3.33—3.41).

Задача 3.25. Найти вероятность того, что в п = 300 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха Р (Л) = 0,25 событие Л наступит: а) 75 раз; б) 100 раз.

Pp.mp.Hiip.

лее досчитать самостоятельно с использованием таблиц функции Лапласа Ф (х).

Задача 3.26. Сколько нужно провести испытаний Бернулли, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что успех (Р (Л) = 0,8) произойдет не менее 75 раз.

Решение

Воспользуемся формулой (3.16), гдер = 0,8, q = 0,2, m, =1Ь>т₂ = п — искомое число испытаний.

Задача 3.27. Монету бросают 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что герб выпадает на 2т раз больше, чем решка.

Решение

По формуле (3.14).

Задача 3.28. На базу отправлено 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится, равна 0,0002 для каждого независимо от других. Найти вероятности событий: а) повредится два изделия; б) повредится не менее трех изделий.

Решение

По формуле (3.11) имеем:

(досчитайте самостоятельно).

Задача 3.29. С конвейера сходит в среднем 85% изделий 1-го сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,9973 отклонение частоты изделий 1-го сорта в них по модулю от своей вероятности не превосходило бы 0,01?

Решение

По формуле (3.17) решаем обратную задачу при р = 0,85, q = 0,15, г = 0,01, Р = 0,9973. Находим п из уравнения.

Задача 3.30. Монету бросают 100 раз. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 будет заключено число выпадений гербов. Решение

По второй формуле системы (3.15) (п= 100, р = q = 0,5, Р = 0,9973) имеем.

Искомый интервал (пр — ?, пр + в) = (50 — 15, 50 + 15) = (35, 65).

Задача 3.31. Производится 1500 независимых испытаний с вероятностью успеха в одном опыте, равной 0,3. Найти вероятность того, что число успехов отклонится от своего среднего не более чем на 150. Решение

По формуле (3.18) (п = 1500, р = 0,3, q = 0,7, в = 150) имеем.

Задача 3.32. В сети 180 лампочек. Вероятность быть включенной для каждой лампочки равна 0,9 (независимо от других). Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты включенных лампочек от своей вероятности (0,9) но модулю не превзойдет 0,1.

Решение

По формуле (3.17) (п = 180, р = 0,9, q = 0,1, 8 = 0,1) имеем.

Задача 3.33. Доказать, что lime" «V — = 0,5.

to k

Решение (доказательство)

С использованием формулы Стирлинга (п «п^пе ^Пу2пп) получаем.

Задача 3.34. Зрители приходят в театр парами. Число мест в театре 1000. Зрители равновероятно пользуются двумя входами, около каждого из них имеется гардероб. Сколько мест должно быть в каждом гардеробе, чтобы с вероятностью 0,99 каждый зритель мог воспользоваться ближайшим гардеробом?

Решение

Обозначим X — число мест в каждом гардеробе; т — число пар, вошедших в первый вход; п — общее число пар зрителей (2п =1000 => п = 500).

Тогда 0,99 = Р (Х > 2 т; X > 2п — 2т), т. е.

Задача 3.35. В таблице случайных чисел каждое целое от 0 до 9 появляется с вероятностью 0,1 (независимо от других). Сколько нужно случайных чисел, чтобы с вероятностью 0,99 среди них появились >100 нулей?

Решение

СВ X — число нулей; СВ X ~ В (п, р = 0,1).

По ИТМЛ получаем Р"(100, п) = 0,99 =>

Задача 3.36. В страховой компании (и = 10 000 клиентов) страховой взнос каждого равен 500 руб. Р — вероятность катастрофы. Па какую прибыль с вероятностью 0,95 может рассчитывать компания?

Решение

5= 10 000 -500 = 5 000 000 — страховая сумма; X — случай потери (выплаты) компании; Y = 5 — X — прибыль. СВ X ~ В (п, р). По ИТМЛ имеем.

sin? ". 5"V3.

Задача 3.37. {X,} — независимы, g_x(t) —-; 5″ = XX_f, S" = —j=^.

t i=1 «V н

Найти Нш 1(5,*).

П—ОО

РрТПРИПР

я $ — Yi

Задача 3.38. g_x(t) = cost; 5″ = X X, 5* = —4=-. Найти lim Ц5*).

i=l П и—оо.

Решение

е" + е'¹

cosf=—2—=* ряд распределения.