Дифракция Фраунгофера от щели

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис. 2.8). Поместим за щелью собирательную линзу, в фокальной плоскости которой расположим экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны шириной dx. Вторичные волны, посылаемые зонами под углом к оптической оси линзы, соберутся в некоторой точке Р на экране. Каждая элементарная зона создает в точке Р колебание dо выраженное формулой (1.1). Линза собирает в фокальной плоскости плоские, а не сферические волны. Поэтому множитель 1/r в выражении для dо в случае дифракции Фраунгофера будет отсутствовать. Ограничимся рассмотрением не слишком больших углов; тогда коэффициент в формуле (1.1) можно считать приближенно постоянным. В этом случае амплитуда колебания, посылаемого в любую точку экрана, будет зависеть только от плошадн зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны dx. Следовательно, амплитуда dA колебания dо, возбуждаемого зоной шириной dx в любой точке экрана, может быть представлена в виде.

.

где C— коэффициент пропорциональности, не зависящий от угла .

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, посылаемых в некоторую точку экрана всеми зонами, через. Ее можно найти, проинтегрировав dA по всей ширине щели b:

.

Отсюда и, следовательно.

.

Теперь определим фазовые соотношения между отдельными колебаниями dо. Сопоставим фазы колебаний, создаваемых в точке Р элементарными зонами с координатами О и х: (рис. 2.8). Оптические пути ОР и PQ таутохронны; это значит, что для прохождения этих путей свету требуется одно и то же время. Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути, равном. Если фазу колебания, создаваемого элементарной зоной, примыкающей к левому краю щели (x = 0), положить равной, то фаза колебания, создаваемого зоной с координатой x, будет равна.

.

где л — длина волны в данной среде.

Таким образом, колебание, создаваемое элементарной зоной с координатой х в точке Р, положение которой определяется углом, может быть представлено следующим образом:

.

Результирующее колебание, создаваемое в точке Р всеми открытыми участками волновой поверхности, найдем, проинтегрировав dl по ширине щели:

.

Модуль выражения, стоящего в квадратных скобках, дает амплитуду результирующего колебания в точке Р:

. (2.15).

Для точки, лежащей против центра линзы,. Подстановка этого значения в (2.15) дает. При значениях, удовлетворяющих условию, т. е. в случае, если.

амплитуда обращается в нуль. Таким образом, условие (2.16) определяет положение минимумов интенсивности.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно,.

2.17.

где — интенсивность света в середине дифракционной картины (против центра линзы); — интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением .

Из (2.17) вытекает, что. Это значит, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы. Заметим, что при смешении щели параллельно экрану (вдоль оси х) дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против центра линзы). Напротив, смещение линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смешением картины на экране.

рис. 2.9.

График функции (2.17) изображен на рис. 2.9. По оси абсцисс отложены значения, по оси ординат — интенсивность. Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели b и длины волны л. Из условия (2.16) следует, что. Модуль не может превышать единицу. Поэтому, откуда.

(2.18).

При ширине, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно стихает от середины картины к ее краям.

Значения угла, отвечающие краям центрального максимума. удовлетворяют условию, откуда. Следовательно, угловая ширина центрального максимума.

(2.19).

В случае, если, sin можно положить равным .

Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается:

(2.20).