Физические приложения определенного интеграла

С помощью физических приложений вычисляются: работа переменной силы, давление жидкости на вертикальную пластинку, статические моменты и координаты центра тяжести плоской кривой и плоской фигуры.

Работа переменной силы

Пусть под действием некоторой силы материальная точка М движется по прямой в направлении оси. Требуется найти работу, произведённую силой при перемещении точки М из положения в положение .

• 1) Если сила постоянна, то работа выражается следующим образом .
• 2) Если сила переменная величина, то

.

Пример 7.

Два электрических заряда и находятся на оси соответственно в точках и. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку? (Сила взаимодействия зарядов).

Давление жидкости на вертикальную пластинку

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е., где — ускорение свободного падения, — плотность жидкости, — площадь пластинки, — глубина ее погружения.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах. Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями и; система координат выбрана так, как указано на рисунке 11. Для нахождения давления жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

Рисунок 11.

1. Пусть часть искомой величины есть функция от :, т. е. — давление на часть пластины, соответствующее отрезку значений переменной, где .

2. Дадим аргументу приращение. Функция получит приращение (на рисунке — полоска-слой толщины). Найдем дифференциал этой функции. Ввиду малости будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине, т. е. пластинка эта — горизонтальная. Тогда по закону Паскаля , где, .

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от до, получим: