Функция распределения случайной величины и ее свойства

Ряд распределения может быть построен только для дискретных случайных величин. Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и непрерывных), является функция распределения.

Пусть Е, = Е,(со) — действительная функция, определенная на Q. Для каждого действительного х е М через А обозначим событие, состоящее из всех элементарных исходов со g Q таких, что ?,(со) < х, т. е. А = (со | ^(со) < х}.

Кратко будем записывать А = {?,(<�") < х} или А = {Е, < х}. Вероятность события А, т. е. Р{?,(со) < х}, и будет функцией распределения (ФР) СВ ^ (обозначение /v (x)).

Определение 3.4. Функцией распределения СВ ^ называется функция F^(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что СВ ^ примет в результате эксперимента значение меньшее, чем заданное х:

Геометрически ФР интерпретируется как вероятность того, что случайная точка ?, попадает левее заданной точки х.

Замечание 3.1. Функция распределения случайной величины является законом распределения.

Рассмотрим свойства функции распределения.

• 1. Область значений F_t(x) есть отрезок [0; 1], т. е. 0 < F^(x) < 1 для Vx eR, так как функция распределения есть вероятность случайного события.
• 2. Функция распределения Fc (x) является неубывающей функцией своего аргумента, т. е. если х_{ <�х₂, то F^(x_{)₂).

Покажем это. Пусть х_х <�х₂. Тогда.

3. Имеют место соотношения.

Действительно, если х—"^х>, то событие {^Р{?,<-оо} = О; если же х —>-кх>, то событие } = Q=>Р{?>< +оо} = 1.

• 4. Функция распределения непрерывна слева, т. е. lim F_t(x) = F~(a).
• 5. P{a<^^x^^a~° "

Действительно, имеем.

• 6. P{?₎>x} = l-F^(x) как вероятность противоположного события.
• 7. Если Е,(х) непрерывна, то вероятность того, что эта СВ примет конкретное значение (неважно какое) равна нулю, т. е. Р{? = а) = 0, для /а е R

Действительно, имеем.

Замечание 3.2. Если функция Fc (x) в точке а совершает скачок, то вероятность события {? = #} равна величине скачка ФР СВ? в точке а.

Замечание 3.3. ФР случайной величины любому значению х_р ставит в соответствие вероятность р = F (x_p) = Р{? < х_р).

Иногда возникает обратная задача: по заданному значению р найти такое значение х_р, чтобы F (x_p) = р . Точка х_р, для которой выполняется это соотношение, называется квантилью, отвечающей вероятности р.

Зная ряд распределения дискретной СВ, легко построить ее ФР, и наоборот. Продемонстрируем это на примере.

Пример 3.5. Построим функцию распределения дискретной случайной величины, заданной рядом распределения:

Решение. Будем задаваться различными значениями х и находить для них Р{?, < х}. Пусть х < -4; так как значений случайной величины, лежащих левее -4, нет, то.

F (^x) = 0.

Если -4 < х < 0, то Р {% < х, -4 < х < 0} = Р{?, = -4} = 0,2.

Если 0 < х < 8, то Р{?, < х, 0 < х < 8} = Р^[1] = 0,2 + 0,2 = 0,4.

Если х > 8, то Р{% < х, х > 8} = Р{& = -4} и = 0} и = 8>} = 0,2 + 0,2 + 0,6 = 1. Таким образом, ФР дискретной СВ имеет вид.

Построим график данной ФР (рис. 3.1).

Рис. 3.1. График ФР дискретной СВ

Вывод. Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

Таким образом, зная ряд распределения дискретной СВ легко построить ФР, и наоборот, если задана ФР со скачками p_v р₂,р_п в точках х_ь х₂,х_пУ то ряд распределения имеет вид

Введем понятие индикатора события.

Определение 3.5. Индикатором события А называется СВ 1_А, равная единице, если в результате опыта событие А произошло, и нулю — если не произошло, т. е.

Пусть Р (А) =р, тогда ряд распределения СВ 1_Л имеет вид.

В дальнейшем мы убедимся, что использование индикатора события упрощает решение многих задач теории вероятностей.

• [1] ^ = -4} и {^ = 0