Расчёт на устойчивость стержней из ЭДТ-10 при начальной погиби стержня в виде S-образной кривой

Полимерные материалы плотно входят в нашу жизнь не только привычными ограждающими, гидроизолирующими материалами, но и имеющими конструкционное предназначение. К ним можно отнести полимерные арматуру, тяжи для крепления навесных потолков и стен. Обладая прекрасными эксплуатационными качествами, такими как кислотои щелочестойкость, временное сопротивление разрыву некоторых полимеров достигает 2000 МПа, эти материалыне лишены недостатков — для них характерно развитие деформаций ползучести, которая происходит не в фазе с прилагаемой нагрузкой и, соответственно, с напряжениями в теле.

Исследованию устойчивости стержней посвящено много литературы, к примеру, ставшей классикой [3]. В свое время вопрос устойчивости полимерных стержней освящен в работах [1, 2]; из современных работ можно выделить работу [4]. Однако при исследовании устойчивости стержней авторы рассматривают выпучивание стержней только в одном направлении относительно оси, связывающей опоры стрежней.

В качестве уравнения связи для таких полимерных конструкций наиболее точно подходит обобщенное нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича, в дальнейших расчетах используемое в следующей форме:

.

где.

; .

Здесь — деформации ползучести, — модуль высокоэластичности, — модуль скорости, — коэффициент начальной релаксационной вязкости.

Для полимерных материалов высокоэластические деформации в общем случае представляют собой суммы отдельных составляющих, каждая из которых соответствует определенному члену спектра времен релаксаций.

.

При процессе ползучести до 1000 часов обычно преобладает первая составляющая высокоэластической деформации, так называемый старший спектр времен релаксации, т. е. s=1.

Как видно из выше представленных уравнений определяемые высокоэластические деформации находятся и в левой части уравнения (под оператором дифференцирования), и в правой части (в функции напряжений). Всвязи с этим при использовании уравнения связи Максвелла-Гуревича возникают определенные трудности в применении таких программных комплексов, как ANSYS. Дальнейшее решение задач происходило в программном комплексе MatLab.

В практике стержни имеют некоторое искривление своей оси, также называемое «погибью», при этом сила обычно оказывается приложенной внецентренно (см. рис. 1.). Подобного рода задачи в упругой постановке, однако, в случае закрепления «шарнир-шарнир», подробно рассмотрены в.

Рассмотрим задачу, при которой стержень крепится по схеме «шарнир-шарнир», при этом его ось представлена в виде S-образной кривой. Здесь =.

При выводе основных уравнений используются следующие допущения и гипотезы:

• 1. Имеет место одноосное напряженное состояние ().
• 2. Гипотеза плоских сечений.
• 3. Геометрическая линейность

.

где — кривизна стержня.

4. Форма сечения (рассматривается прямоугольное сечение).

Пусть стержень имеет некоторую начальную погибь.

.

где — начальная стрела прогиба.

Полную деформацию по оси стержня можно записать в виде.

.

С учетом гипотезы плоских сечений можно записать.

.

где — деформации средней оси стержня.

С учетом (3) и (4) можно записать.

.

Для любого сечения стержня могут быть записаны интегральные условия.

.

.

где.

.

Подставляя выражение (5) в (6) и проведя интегрирование, определяются осевые деформации стержня:

.

Проводя аналогичные операции с выражениями (5) и (7):

.

где.

С учетом того, что.

получаем окончательное разрешающее уравнение для оси стержня:

.

Пусть.

.

тогда.

.

Граничные условия задачи:

при, ;при, .

Для возможности задания граничных условий применительно к задаче, уравнение (11) дифференцируется дважды по x:

.

Решение данного уравнения аналитически не представляется возможным даже в случае значительных упрощений, вследствие его структуры решение удобно произвести методом конечных разностей, интегрирование проводится методом Симпсона.

Далее рассматриваются задачи ползучести стержня из эпоксидной смолы ЭДТ-10. При этом исходные данные для параметров ползучести взяты из работы [2]. Исходные данные:, ,, ,, ,. Потеря устойчивости наступает через 1 час 32 мин.

Как видно из графиков, в образце с течением времени ось стремится принять форму полусинусоиды.

Рост стрелы прогиба во времени в стержне механический полимер деформация максвелл.

Рост напряжений в сечении стержня при x=l/2.

• 1. Андреев В. И. Устойчивость полимерных стержней при ползучести: дис. … канд. техн. наук. — М., 1967.
• 2. Бабич В. Ф. Исследование влияния температуры на механические характеристики полимеров: дис. … канд. техн. наук. — М., 1966.
• 3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1975.
• 4. Языев С. Б. Устойчивость стержней при ползучести с учетом начальных несовершенств: дис. … канд. техн. наук. — Ростов-н/Д, 2010.