Постановка краевых задач для уравнений с частными производными

Для того чтобы описать физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, определяющего закон его развития, задать начальное состояние параметров этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой он происходит (граничные условия). Это позволяет выбрать из многих возможностей интересующую нас реализацию физического процесса (в силу этого иногда граничные и начальные условия называют условиями однозначности решения).

Начальные и граничные условия в своей совокупности называются краевыми условиями. Соответствующим образом поставленная задача, включающая в себя дифференциальное уравнение (или систему дифференциальных уравнений) и краевые условия, называется краевой задачей.

Рассмотрим уравнение вида.

Пусть G — физическая область, в которой мы рассматриваем процесс, а Т — промежуток времени, в течение которого этот процесс изучается (рис. 1.2). G есть область изменения аргументов х

Различают следующие типы краевых задач для уравнений с частными производными.

и у в уравнении. Цилиндр G х (0,Т), имеющий верхним и нижним основанием G и боковую поверхность 5х (0,Т), является областью задания уравнения. Граница области задания состоит из боковой поверхности S х (О, Т) и двух оснований: нижнего G х {()} и верхнего G х {()}.

Рис. 1.2. Область задания уравнения.

• 1. Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область задания уравнения совпадает со всем пространством, граничные условия отсутствуют.
• 2. Краевая задача для уравнений эллиптического типа: граничные условия задаются на границе S, начальные условия отсутствуют.

Для этой задачи различают сле.

дующие типы граничных условий. Граничное условие I рода (на границе задано значение искомой функции):

Граничное условие II рода (на границе области задано значение производной искомого решения по нормали к этой границе):

В технических приложениях выделяют особо граничное условие III рода:

Это граничное условие выражает закон теплообмена Ньютона, согласно которому тепловой поток через границу тела пропорционален разности температур между телом и окружающей его средой.

Все три вида граничных условий можно представить единообразно в виде.

в котором тот или иной род граничных условий получается при определенных значениях коэффициентов а и /3.

Соответствующие краевые задачи называются задачами I, II и III рода или первой, второй или третьей краевой задачей соответственно.

Краевая задача, А и = ф, u_s = /1 называется задачей Дирихле, краевая задача Л и = ф, (ди/дп)_s = /2 — задачей Неймана, а третья краевая задача представляет частный случай задачи о косой производной.

3. Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные и граничные условия.

Так, для случая, приведенного на рис. 1.2, в области G задаются начальные условия и (х, у, 0) = j (х, у) и краевое условие, выполняющееся в любой момент времени из рассматриваемого промежутка 0 < t < Т на поверхности цилиндра S х (0, Т):

Иногда для компактности краевую задачу записывают в виде Lu = = /. Здесь и — искомое решение, / — известная функция, правая часть дифференциального уравнения, a L дифференциальный оператор, действующий в области задания, и он же оператор задания краевых условий на границах области задания.