Построение интерполяционных функций

В общем случае задача построения интерполяционной функции имеет бесконечное количество решений, поскольку можно подобрать сколько угодно функций, каждая из которых проходит через заданный набор точек.

Задача будет иметь единственное решение, если в качестве интерполирующей функции, проходящей через (п + 1) точку, выступает полином степени п, имеющий ровно (n + 1) параметр:

Действительно, подставляя выражение (2.7) в формулу (2.6), получим.

Эта система (п + 1) линейных алгебраических уравнений с (n + 1) неизвестными коэффициентами а_к имеет определитель Вандермонда, не равный нулю [9]:

т.е. система уравнений (2.8) имеет единственное решение. Отсюда вытекает возможность нахождения коэффициентов интерполяционного полинома Р"00 путем непосредственно решения системы (2.8).

Пример 2.3.

Построить интерполяционный полином второго порядка для функции f (x) = 3^х, если заданы узлы: х₀ = -1, х_г = 0, х₂ = 1.

Решение. Пусть искомый полином Р₂(х) = арх² + арс + а₀. Для заданных узлов интерполяции построим систему типа (2.8):

Решая эту систему, получим . Таким образом, искомый полином имеет вид

Следовательно, на отрезке имеем

Из рис. 2.4 ясно, что построенный полином на указанном отрезке достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию.

Рис. 2.4. Полиномиальная интерполяция.

Часто решение системы (2.8) усложнено вследствие ее плохой обусловленности, т. е. когда ее определитель близок к нулю. Поэтому на практике стремятся использовать другие интерполяционные полиномы, не содержащие, в частности, коэффициентов а_к.