Пример начальных условий для волнового пакета

Рассмотрим поле, которому соответствуют следующие начальные условия для напряженностей полей.

(2.55).

Такому полю изображенному на рис. 2.2, соответствует, например, цуг электромагнитных волн над солнечными пятнами. Аналогичным образом распределяется электромагнитное поле при ядерном взрыве в атмосфере Рис. 6 Цуг электромагнитных волн (всплеск излучения) над солнечными пятнами.

Построим Фурье-образ поля (2.55). Знаменатель.

расходится в двух точках комплексной плоскости. ,. Поэтому содержащий полюсные особенности интеграл.

(2.56).

необходимо вычислять по теории вычетов в комплексной плоскости переменной как интеграл.

(2.57).

Вычислим последний интеграл в двух разных случаях, пользуясь методами теории вычетов Рассмотрим.

(2.58).

Подынтегральная функция (2.57), (2.58) удовлетворяет всем условиям, необходимым для взятия интегралов по тому контуру в комплексной плоскости. При этом контур интегрирования строится из отрезка действительной оси и дуги окружности радиуса R в комплексной плоскости. Дополнение отрезка прямой до замкнутого контура с помощью дуги окружности берется в нижней полуплоскости Рис. 7 Обход контура интегрирования в комплексной плоскости переменной в нижней полуплоскости. Указателями — стрелками зафиксирован обход контура в комплексной плоскости в отрицательном направлении — по часовой стрелке

Исходный интеграл (2.57) разбивается на сумму двух интегралов ;

по отрезку действительной оси и по полуокружности. По лемме Жордана интеграл по полуокружности при. Поэтому остается взять интеграл по замкнутому контуру, содержащему внутри себя один полюс первого порядка при. Этот интеграл вычисляется с помощью вычета в полюсе функции комплексной переменной .

Итоговое значение интеграла есть:

(2.59).

Рис. 8 Обход контура интегрирования в комплексной плоскости переменной в верхней полуплоскости. Указателями — стрелками зафиксирован обход контура в комплексной плоскости в положительном направлении — против часовой стрелки Рассмотрим.

.

Переходим к интегрированию в комплексной плоскости, замыкая контур интегрирования полуокружностью радиуса R в верхней полуплоскости (см. рис. 2.4).

Внутри выбранного контура интегрирования функция содержит лишь один полюс первого порядка при. Так как по лемме Жордана при, остается взять лишь интеграл (2.57), равный с помощью вычета в полюсе Итоговое значение интеграла есть:

(2.60).

Объединяя, в один интеграл получаем его значение.

(2.61).

С помощью (2.61) строим Фурье-образы полей исследуемого волнового пакета.

(2.62).

Эти Фурье-образы действительны, что облегчает расчет интегралов. Подставляя их в выражение (2.49) для напряженности поля, получим.

Так как во всех интегралах интегрирования берется по положительной области значения k,.

(2.64).

Первый из интегралов (2.64) берем с помощью формулы.

учитывая, что на верхнем пределе последнего выражения при интеграл экспоненциально затухает.

Проводя аналогичные расчеты в трех других случаях, получим.

Итоговое выражение для напряженности поля пакета есть:

(2.65).

Из (2.65) при следует выражение для начального электрического поля пакета.

совпадающее с исходным выражением (2.55), что свидетельствует о правильности проделанных вычислений.

Аналогичные вычисления для других компонент поля волнового пакета (2.49) — (2.55) приводят к выражениям.

(2.66).

(2.67).

(2.68).

Физическая интерпретация полученных выраженний состоит в следующем. Первое слагаемое в выражении (2.65) представляет собой цуг волн, идущий направо, второй — налево Рис. 9 Начальный волновой пакет в момент времени в момент распался на два волновых пакета

Варьируя начальные условия (условия приготовления пакета прибором), можно управлять динамикой пакета. Например, положив можно избавится от одной из волн (условно прямой). Аналогично, можно избавиться от цуга волн собранных в обратный волновой пакет. Если в пределах применимости классической электродинамики два пакета идут на встречу друг другу, то в силу справедливости принципа суперпозиции, они пройдут друг через друга без взаимодействия (см. рис.10).

Рис. 10.