Конструктивные способы определения вещественного числа

При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в обозначенном смысле, показывают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Значительная разница между действительными числами и данными построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не определены строгим математическим понятием.

Вышеуказанные объекты и называют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.

Конструктивные определения были первыми в истории строгими определениями вещественного числа. Три работы были опубликованы одновременно (в 1872 году): теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда.

Теория фундаментальных последовательностей Кантора

В этом подходе вещественное число рассматривается математиками как предел последовательности рациональных чисел. Для схождения последовательности рациональных чисел, на неё накладывается условие Коши:

Члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга — в этом утверждении заключается весь смысл теории. Если последовательность, удовлетворяет условию Коши, ее называют фундаментальной.

Через обозначим вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел .

Два вещественных числа и, определённые соответственно фундаментальными последовательностями и, называются равными, если.

Суммой и произведением двох вещественных числел и называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей и :

Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число по определению больше числа, то есть, если Способ построения множества вещественных чисел при помощи фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.