Фрактальное броуновское движение

Как уже упоминалось, классическое броуновское движение — процесс без памяти. Однако, математическое моделирование показало, что броуновские частицы в ходе миграции оказывают существенное влияние друг на друга, что свидетельствует о наличии «памяти» у броуновской частицы, или, другими словами, зависимость её статистических характеристик в будущем от всей предыстории её поведения в прошлом. Данный факт не упитывался в теории Эйнштейна — Смолуховского.

Одним из процессов, обладающих некоторой памятью является фрактальное броуновское движение (ФБД) — немарковский процесс, в котором гауссов характер расплывания диффузионного пакета по-прежнему сохраняется. Математический аппарат ФДБ используется, например, при описании турбулентной диффузии. Процесс броуновского движения частицы в вязкой среде, тоже относится к классу немарковских процессов.

Фрактальное блуждание — блуждание, при котором пробеги частицы имеют то же распределение, что и интервалы между атомами рассматриваемой среды, но независимы друг от друга (даже и в том случае, когда блуждающая частица меняет направление).

Введём обозначения: d — размерность эвклидова пространства; с//-— фрактальная размерность струтсгуры, по которой происходит диффу^тзия; d_w — длина (размерность) случайного скачка — количественная характеристика миграции частиц по фрактальной структуре; d_s —спектральная размерность (интегрированная плотность состояний, A^r®~r^d_s/²).

Фрактальность означает самоподобие, при котором на разных масштабах временной ряд сохраняет свою структуру. Для доказательства самоподобия ряда рассчитывают показатель Я/, o параметр Хёрста, определяющий закон возрастания размеров диффузионного пакета. Этот показательодновременно является и фрактальной размерностью траектории аномального процесса. Он представляет собой меру самоподобия стохастического процесса и характеризует тип памяти процесса. С его помощью проводят различие между случайными процессами с независимыми приращениями (при Hf= 0,5, случайный ряд, нормальная диффузия) — память отсутствует (приращения не зависят от предыстории), со статистически зависимыми значениями, обнаруживающими персистентное поведение (о, 5<�Я/<1,5, супердиффузия) — долговременная память, и со статистически зависимыми значениями, показывающими антиперсистентное поведение (о<�Я/<�о, 5, возврат к среднему, субдиффузия) — кратковременная память. При Н/> 1 — суббаллистический процесс — ускорение движения частиц вдоль траекторий.

Параметр Н/ отражает степень изрезанности графика: при малых Hf*о график получается сильно изрезанным, а при больших Hj= 1 — плавным (но не гладким). Фрактальное движение не является марковским процессом, за исключением случая Нр= 0,5. Как и в случае классического броуновского движения, ФБД недифференцируемо. Приращения ФБД обладают свойством статистического самоподобия.

Рис. 8. Образование кластеров (фрактальных структур) в процессе Леви. Персистентность— способность состояния существовать дольше, чем процесс, создавший его.

Антиперсистентность — стремление постоянно возвращаться к исходной точке; в диффузии следствием является более медленное (чем у броуновских аналогов) рассеяние. Экспонента Хёрста, показатель Хёрста, Н/— мера, используемая в анализе временных рядов (характеризует гладкость фрактального временного ряда), обладающих долговременной памятью. Н/уменьшается, когда задержка между двумя одинаковыми парами значений во временном ряду увеличивается. Последовательности, для которых Н/>о, 5, сохраняют имеющуюся тенденцию: возрастание в прошлом приводит к возрастанию в дальнейшем. При значении Hj-o, 5 явной тенденции не выражено, а при меньших значениях любая тенденция стремится смениться противоположной. Значения показателя Хёрста природных процессов группируются вблизи значений 0,72—0,73.

Показатель Хёрста связан с фрактальной размерностью d/=i/H/. Замечание. Формула df.=i/Hf справедлива только при условии, что d>i/Hf. Если же d (особенно в случае плоскости, размерность d-2), то фрактальная размерность достигает наибольшего возможного значенияф=>2.

Показатель Херста обычно используется как характеристика временных рядов; он выступает как мера персистентности — склонности процесса к трендам (в отличие от классического блуждания). Трендоустойчивость поведения растёт с при Н/->1, т. е. к стопроцентной корреляции. При Н/>0,5, направленная в определённую сторону динамика процесса в прошлом, вероятнее всего, повлечёт продолжение движения в том же направлении. Если #/<0,5, то процесс изменит направленность (ряд будет убывать); при больших временах вероятность спадает по степенному закону. #/= 0,5 (df= 2) означает неопределенность (процесс не проявляет персистентности, приращения независимы, корреляция отсутствует, марковский процесс, настоящее никоим образом не определяет будущее, белый шум) — классическое броуновское движение, при больших временах вероятность спадает по экспоненциальному закону. Чем ближе Н/к 0,5, тем менее выражен тренд временного ряда. Значения показателя о, 5.