Введение. 
Метод максимального правдоподобия и его модификации

При изучении объектов, каждый из который характеризуется большим количеством признаков, часто возникает необходимость описать эти объекты значительно меньшим числом признаков, сохранив при этом как можно больше важной информации об объектах.

Целью этого может являться следующее:

• · Образование наиболее информативных интегративных характеристик, таких как уровень жизни, качество продукции, успешность компании, состояние здоровья, уровень физической подготовки, размер одежды и т. д.
• · Визуализация изучаемых объектов, с помощью проектирования значений их признаков на специально подобранную прямую, плоскость или трехмерное пространство.
• · Сокращение объема хранимых данных.

Список можно продолжать.

Избыточность признаков может быть вызвана тем, что некоторые признаки отражают одну и ту же информацию, как, например, масса, измеренная в килограммах, и масса, измеренная в фунтах. Или же некоторые признаки могут отражать информацию, которая не имеет никакого отношения к теме исследования. В этих двух случаях число признаков может быть уменьшено за счет простого отбора. В английской литературе такая форма сокращения размерности носит название «feature selection» .

Если избыточность обусловлена тем, что многие признаки находятся в сильной зависимости друг от друга, то обычно целесообразнее применить то, что называется «feature extraction», а именно — подвергнуть старые признаки таким преобразованиям, чтобы получить на выходе меньшее число новых признаков, потеряв при этом минимум информации.

В этой работе пойдет речь о факторном анализе — совокупности методов, осуществляющих уменьшение размерности согласно последнему из этих двух принципов. Большое преимущество факторного анализа состоит в том, что его модель интуитивно понятна исследователю, а методы — просты в реализации. Однако факторный анализ накладывает весомое ограничение на изучаемую систему: он требует, чтобы признаки были линейно зависимы. Таким образом, методы факторного анализа становятся теоретически необоснованными или и вовсе неприменимыми для решения задач, в которых признаки связаны нелинейной зависимостью. Но, принимая во внимание вышеперечисленные достоинства факторного анализа, не хотелось бы совсем отказываться от его методов и в этом случае.

Таким образом, цель данного проекта — адаптировать один из методов факторного анализа — метод максимального правдоподобия — для работы с нелинейно зависимыми признаками. Поскольку в реальной жизни зачастую никакое предположение о типе зависимости между признаками не представляется обоснованным, то достижение этой цели должно означать повышение эффективности традиционного метода правдоподобия для решения реальных практических задач.

Для достижения этой цели перед автором этой работы стоят следующие основные задачи:

• 1) Изучение и программная реализация метода максимального правдоподобия.
• 2) Внесение в традиционный метод корректировок, необходимых для повышения эффективности его работы в случае нелинейно зависимых признаков.
• 3) Проверка корректности работы разработанных алгоритмов на искусственно смоделированных данных.
• 4) Сравнение эффективности адаптированных и традиционного методов на моделированных данных, связанных разными типами зависимости.
• 5) Применение методов к реальным данным с целью проверки и сравнения их эффективности для решения практических и научно-исследовательских задач.

Таким образом, объект данного исследования — это метод максимального правдоподобия и разработанные автором его модификации. Предметом исследования является эффективность этих методов для различных типов зависимостей между признаками (как сама по себе, так и в сравнении друг с другом). Метод исследования — это применение традиционного и модифицированных алгоритмов как к моделированным, так и к реальным данным с последующим анализом и сравнением результатов.

Данная работа имеет следующую структуру. В первых двух главах собран и проанализирован материал по теме данного исследования. В первой главе представлены теоретические основы факторного анализа и его традиционного метода максимального правдоподобия. Во второй главе рассказывается о компьютерной реализации этого метода. Уточним, что все результаты, представленные в первых двух главах, не являются плодами работы автора данного дипломного проекта. Последние две главы посвящены исследованию, проведенному непосредственно самим автором. В третьей главе описаны корректировки, внесенные автором в традиционный метод максимального правдоподобия, чтобы сделать его применимым к нелинейно зависимым признакам. В этой же главе продемонстрированы результаты проверки и сравнения эффективности традиционного и модифицированного методов на искусственно смоделированных данных. В последней — четвертой главе представлены и проанализированы результаты применения разработанных алгоритмов к реальным данным и сделаны выводы касательно эффективности традиционного и модифицированных методов для решения реальных практических задач.