Движение частицы в поле консервативной силы

В классической механике движение частицы описывают при помощи зависимости ее радиус-вектора от времени:

При заданных начальных условиях.

эта зависимость может быть найдена из второго закона Ньютона.

Движение частицы считается известным, если известна зависимость (20.10). В таком случае для любого момента времени можно сколь угодно точно определить положение частицы в пространстве и ее скорость. Поэтому описание движения частицы посредством зависимости (20.10) называют детерминистическим.

Консервативное силовое поле F определяется соотношением.

связывающим вектор силы и потенциальную энергию частицы U = U(г). Согласно этому определению проекция силы на ось х равна с обратным знаком производной по х от потенциальной энергии:

Если на частицу не действуют другие силы, кроме консервативной силы.

(20.12), то полная механическая энергия частицы со временем изменяться не будет:

Это утверждение составляет содержание закона сохранения энергии.

Так как кинетическая энергия есть величина неотрицательная, справедливо неравенство Из этого неравенства следует, что частица, обладающая определенной энергией Е, не может оказаться в области пространства, где ее потенциальная энергия больше полной механической энергии Е. Другими словами, эти области пространства недоступны для частицы с таким значением энергии.

Рассмотрим движение частицы вдоль оси х под действием силы, которая зависит только от ее положения:

Функцию F_x — F_x(x) одного переменного всегда можно представить в виде.

где U = 1/(х) — потенциальная энергия частицы.

Рис. 20.1. Потенциальная энергия частицы и действующая на нее консервативная сила.

На рис. 20.1 изображен график возможной зависимости U от х. При х = а эта функция имеет максимум, а при х = 6 — минимум. Часть графика функции U = U (x), содержащую максимум, называют потенциальными барьером. На рис. 20.1 эта часть соответствует х? (— оо, 6). Часть графика, содержащую минимум, называют потенциальной ямой. Кривая на рис. 20.1 имеет"яму" при х 6 (а, + оо).

По виду графика функции U = U (x) можно определить направление силы, действующей на частицу. В тех точках оси х, где функция U = U (x) возрастает, проекция F_x силы на ось х отрицательна, т. е. сила направлена в сторону убывания х (рис. 20.1); а в точках оси х, где функция U = U (x) убывает, проекция силы F_x положительна и сила направлена в ту же сторону, что и ось х:

Запишем закон сохранения полной механической энергии частицы при ее движении вдоль оси х:

Теперь неравенство (20.14) принимает вид.

Из этого неравенства следует, что частица, полная механическая энергия которой равна Е_} не может оказаться в тех точках оси х, где ее потенциальная энергия больше значения Е.

Рис. 20.2. Падение частицы на потенциальный барьер.

Пусть потенциальная энергия U = U (x) движущейся вдоль оси х частицы есть монотонно возрастающая функция, график которой показан на рис. 20.2. В таком случае действующая на частицу сила будет всюду направлена против оси х. Когда частица движется в сторону возрастания х, сила будет тормозить ее движение. В противоположную сторону частица будет двигаться ускоренно. Пусть частица с энергией Е движется в сторону возрастания потенциальной энергии (в рассматриваемом случае из — оо направо). Такое движение называют падением на потенциальный барьер. Так как при этом сила направлена против скорости, движение частицы будет замедляться. Когда частица достигнет точки, где ее потенциальная энергия равна Е (на рис. 20.2 эта точка имеет координату х₀), ее кинетическая энергия и скорость станут равны нулю, т. е. частица остановится. Затем под действием силы F_r частица начнет ускоренно двигаться в обратном направлении. В таком случае говорят, что произошло отражение частицы от потенциального барьера.

Подводя итоги, отметим, что согласно закону сохранения энергии — одному из основных законов классической механики — частица с энергией Е не может проникнуть в те области пространства, где ее потенциальная энергия больше значения Е. Многочисленные экспериментальные факты опровергают это утверждение. Оказывается, микрочастицы вопреки законам классической механики способны проникать в те области пространства, где их потенциальная энергия U больше полной механической энергии Е. Правильное объяснение эти факты находят только в рамках квантовой механики.