Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами

В данном пункте излагается так называемая теория Флоке.

Будем рассматривать систему вида (4).

где, а матричная функция P (t) удовлетворяет условию P (t +) = P (t), >0 при всех. Такие матричные функции будем называть периодическими с периодом илипериодическими.

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид где G — -периодическая матрица, R — постоянная матрица.

Матрица В, определяемая равенством, называется матрицей монодромии. Для нее справедливо. Она определяется с помощью фундаментальной матрицы неоднозначно, но можно показать, что все матрицы монодромии подобны. Часто матрицей монодромии называют ту, которая порождается нормированной при фундаментальной матрицей, то есть .

Собственные числа матрицы монодромии называются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа матрицы R — характеристическими показателями. Из определения R имеем, при этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным — характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.

Характеристические показатели определены с точностью до. Из и формулы Лиувилля следует, что .

Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:

Теорема. Число является мультипликатором уравнения (4) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение этого уравнения такое, что при всех t .

Следствие 1. Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное решение периода тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее мультипликаторов равен единице.

Следствие 2. Мультипликатору соответствует так называемое антипериодическое решение периода, т. е.. Отсюда имеем:

Таким образом, есть периодическое решение с периодом. Аналогично, если (p и q — целые,), то периодическая система имеет периодическое решение с периодом .

Пусть, где — матрица из теоремы Флоке, — ее жорданова форма. По теореме Флоке, или, (5).

где — фундаментальная матрица, — -периодическая матрица. В структуре фундаментальной матрицы линейной системы с периодическими коэффициентами характеристические показатели играют ту же роль, что и собственные числа матрицы коэффициентов в структуре фундаментальной матрицы линейной системы с постоянными коэффициентами.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка.

(6).

где — -периодическая вещественная скалярная функция. Мультипликаторами уравнения (6) будем называть мультипликаторы соответствующей линейной системы, т. е. системы.

с матрицей. Так как, то. Мультипликаторы являются собственными числами матрицы.

.

где — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям, а — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям. Пусть — характеристическое уравнение для определения мультипликаторов. Так как, то оно принимает вид, где .