Спадающие функции. 
Движение заряженной частицы в поле квазимонохроматической и квазиплоской электромагнитной волны

Обратимся теперь к возможности задания не рядом, а явным уравнением. Очевидно, простой перебор вариантов из несчетного множества всех допустимых задачей функций оказывается невозможным. К счастью, из всех таких можно выделить класс, имеющий особое теоретическое значение. Внимательно посмотрев на формулы (2.37), заметим, что если заряженная частица первоначально покоится и электромагнитное поле отсутствует, то постоянные и равны нулю, а потому формулы (2.37) значительно упрощаются, и видно, что передвижение частицы будет конечным в пространстве, если воздействующий на нее лазерный импульс достаточно локализован во времени, а именно подчиняется условию заряженный частица электромагнитный волна.

(2.43).

для любого, бесконечного в пределе, (что можно записать как ограниченность величин и () из (2.42) для исключенной ранее возможности), — момент до прихода импульса.

В связи с этим, одной из первых упомянем функцию (— ширина импульса на полувысоте, — натуральное число) дающую, вообще говоря, не выразимые аналитически величины, и, однако их подынтегральные функции хорошо разложимы в ряд, т.к. (то же самое можно сказать, когда — верзьера Аньези). В пределе график превращается в прямоугольный шириной и высотой 1. Этот предельный случай соответствует лазерному импульсу с резким передним и задним фронтами и является точно аналитически интегрируемым. Данный вариант теоретически исследован в работах [5, с. 8−10] и [14]. Примечательно, что замена при дает прямоугольное распределение, которое при стремится к дельта-функции Дирака с сингулярностью в точке .

Несколько схожую картину дают супергауссово распределение (— дисперсия) и «шапочка» (), (), превращающиеся в прямоугольное при и тогда также соответствующие лазерному импульсу с резким передним и задним фронтом [5, с. 8−10], [14]. Однако, кроме того, случай супергауссового распределения при отвечает нормальному распределению и точно интегрируем [5, с. 24−25].

Параболическое распределение (), (,) формально дает хорошие аналитические выражения для, и по (2.42), однако первая производная от в (2.44)-(2.45) (см. п. 2.3.1) терпит разрыв. Такого скачка первой производной лишена гладкая функция () (,), которая дает вполне вычислимые по (2.42), и при натуральных [33, с. 140], но скачок терпит уже вторая производная этой функции.

Поскольку рассматриваются функции, спадающие на бесконечности, в частности по степенному закону, то полезными могут оказаться приближенные формулы интегрирования из [33, с. 134, 137, 147], выражаемые через интегральные синус, косинус и экспоненту.

В конце стоит упомянуть о возможности задания огибающей различными распределениями из теории вероятностей безотносительно к вопросу о наличии скачков ее производных. Можно показать, что интегрируемыми будут варианты, когда задается плотностью экспоненциального распределения, распределения Лапласа и Парето, с большим трудом интегрируемыми, когда задается плотностью гамма-распределения, распределения Рэлея и Колмогорова (выражается через неполную гамма-функцию). Как и следовало ожидать, многие не дают аналитического случая. Таковы, заданные плотностью распределения Вейбулла, Вигнера, Стьюдента, Коши и логнормального распределения. Неаналитичны варианты огибающих типа солитонов (, причем дает плотность логистического распределения).

Заметим, наконец, что если явно заданная огибающая составлена из произведения двух или более огибающих, дающих по отдельности интегрируемые случаи, то она сама, вероятнее всего, уже не даст аналитически интегрируемого случая. Это не относится к произведению огибающих, заданных разложениями в ряд по одному и тому же ортогональному базису, т.к. произведение двух и более таких рядов является разложением в ряд по тому же ортогональному базису.

На основании полученных результатов может быть существенно упрощен выбор на практике того или иного представления огибающей, вписывающейся в погрешность измерений, для реального электромагнитного импульса.