М. 7. Интеграл Шварца

Положим, что на некотором участке границы исследуемой области поля на оси х плоскости г в интервале значений х от А до А_г потенциал равен Ф, а вне этого отрезка ф = 0. Упомянутым точкам на оси U плоскости w соответствуют точки о, и а₂ (рис. М.7, б). При переходе через эти точки скачком изменяется направление напряженности поля, скачком должно изменяться и значение dzfdw. В соответствии с этим.

Здесь Следовательно,

где JC — некоторая постоянная. При иo₂ имеем.

Дробь под знаком логарифма положительна, поэтому С = 0.

При переходе через точку а_] под знаком логарифма в (М. 19) оказывается отрицательное число, поэтому.

Приращение аргумента комплексного потенциала w при переходе через точку д, равно V = ф. Но при этом приращение аргумента идолжно быть равно приращению аргумента 2 (см. § М.2), поэтому к N — <�р, N = ф/л и.

Если потенциал <�р вдоль оси U плоскости w будет изменяться плавно, то, заменив U на переменную интегрирования а. сначала представим плавную кривую в виде ступенчатой, как это показано на рис. М.7, в, и составим приращение потенциала на бесконечно малом отрезке da оси U плоскости и":

Разложим логарифм в ряд и, учитывая, что dal (а- и") с 1, возьмем лишь первый член этого ряда

Комплексный потенциал г получим, просуммировав приращения dz от всех скачков потенциала на отрезках da_t т. е. осуществив интегрирование.

В качестве примера составим z = f (v) для поля, образованного границей магнитопровода трансформатора с потенциалом ф = 0 (отрезок О оси U плоскости w) и высоковольтной обмоткой на участке 0—/, потенциал которой линейно нарастает по закону Ф₀ + к а (рис. М.7, г). В этом случае

Приложение