Волноводные свойства открытых планарных связанных нерегулярных композиционных структур

В настоящее время на основе связанных волноведущих структур проектируется широкий круг интегральнооптических элементов и узлов (лазеры с распределённой обратной связью, сверхрешётки и т. д.), в котором доминирующим свойством является управление волноведущими режимами структур, входящих в связанную систему [1−3].

Новые достижения и технологии в создании сложных сред усиливают интерес к этой области, как это уже неоднократно происходило и ранее. Весьма актуальным для будущих приложений и теоретических изысканий с точки зрения роста разнообразия физических эффектов является анализ связанных (несвязанных) структур, имеющих одновременно градиентные, анизотропные и нелинейные среды при изменении их границ по вполне определённому закону [4−6]. Здесь ещё остаются не разрешёнными до конца следующие моменты, касающиеся механизма связи мод смешанного волнового спектра системы, в которой, с одной стороны, происходит обмен энергией между модами дискретного и непрерывного спектра каждого из волноводов, а с другой стороны, процессы взаимодействия и перекачки мод волноводов связанных между собой [4,7−10].

Как правило, анализ таких структур проводится методом связанных волн или численными методами на основе вариационных и проекционных при наличии нерегулярностей одного типа, например, анизотропии материальных характеристик [11,12]. Учёт нескольких типов нерегулярностей, например, композиции анизотропии, градиентности, нелинейности и изменении границ волноведущих структур, в том числе и периодического, многопериодического, почти периодического порождает значительные математические трудности. В первую очередь они связаны с выбором базисов с локальными носителями в специальных конечномерных подпространствах функций или базисов без локальных носителей для лучшей аппроксимации сингулярной части волновых решений поставленной краевой задачи [13−15].

Поэтому представляет интерес изучение пространственно-временных эффектов в таких связанных волноведущих системах указанными методами анализа, включая и отдельно входящих в них нерегулярных композиционных структур и сравнение полученных результатов с регулярными однородными структурами.

Рассмотрим плёночную композиционную систему (рис.1), которая состоит из двух нерегулярных анизотропноградиентных плёнок толщиной, соответственно Они разделены однородной диэлектрической плёнкой или подложкой толщиной Внешние бесконечные окружающие слои или покрытие имеют одинаковые материальные характеристики. Покрытие имеет диэлектрическую проницаемость, а подложка характеризуется материальными характеристиками, причём .

Ось Ох направлена перпендикулярно поверхности слоёв. Распространение волн происходит в направлении оси Oz. В рассматриваемой геометрии главные оптические оси тензора диэлектрической проницаемости повёрнуты вокруг оси Оу, что позволяет разделять электрические и магнитные волны дискретного и непрерывного спектров двух изолированных волноведущих структур. волна планарный градиентный диэлектрический Волноведущие слои имеют тензоры диэлектрической проницаемости вида:

В которых элементы зависят от поперечной координаты по обобщённым пространственным распределениям. Например

.

а — параметры градиентности среды.

Для анализа волноводных взаимодействий анизотропноградиентных плёнок будут использованы связанные волны, которые ранее в простейших модификациях применялись в волноведущих структурах с однородными материальными характеристиками. Будем считать, что взаимное влияние основных волноведущих слоёв осуществляется через промежуточный слой с диэлектрической проницаемостью. Иными словами учитываем две несимметричные композиционные структуры сравнения. Возмущение в представленной волноведущей системе определяется близостью открытых структур, изменением их границ по определённым законам и композицией градиентности и анизотропии материальной среды. Результирующий профиль диэлектрической проницаемости получаем в виде:

а функция возмущения для равна нулю при и; , когда.

Функция возмущения для равна нулю при и; если, ,.

где Получим обобщённые связанные интегроквазидифференциальные уравнения модовых преобразований в волноведущей системе, схематично изображённой на рис. 1. Произвольное распределение электрического и магнитного полей в ней можно представить совокупностью собственных волн смешанного спектра планарных структур сравнения:

где знак суммы распространяется на прямые и обратные моды дискретного и непрерывного спектра; - внешние поперечные волновые числа мод непрерывного спектра. Подставим выражение (5) в приведённое волновое уравнение и получим:

Проинтегрируем уравнения (6) по всему поперечному сечению, используя соотношение ортогональности, и получим:

Представим в качестве примера некоторые коэффициенты в уравнениях (7):

.

.

Отметим, что в системе уравнений (7) выделены только частные производные по продольной координате z. Однако, амплитудные коэффициенты разложения полей в этих уравнениях зависят ещё от поперечной координаты x и параметров градиентности через зависимость от них функций поперечного сечения волноводов и возмущённых их взаимным присутствием диэлектрических проницаемостей. Выпишем несколько решений для коэффициентов разложения полей системы уравнений (7):

Порождающее уравнение относительно поперечной составляющей магнитного поля собственных ТМ волн смешанного спектра одного из системы невозмущённых изолированных волноводов сравнения имеет вид:

Отметим, что дисперсионное соотношение несимметричных анизотропно-градиентных структур, которое связывает поперечные внешние и внутренние волновые числа и постоянную распространения с приведёнными поперечными размерами, параметрами градиентности элементов тензора диэлектрической проницаемости, например, для магнитных волн, удобно записать в виде:

где и — специальные функции [8], а связь между волновыми числами трёх слоёв определена соотношениями:

где — приведённый поперечный размер слоёв; - поперечные волновые числа однородных диэлектрических слоёв.

Дисперсионное уравнение для электрических волн, а также уравнение Френеля мы здесь не приводим из-за громоздкости.

• 1. Волноводная оптоэлектроника / Т. Тамир, Х. Когельник, У. Бернс [и др.]; под ред. Т. Тамира; пер. с англ. А. П. Горобца [и др.]; под ред. В. И. Аникина. — М.: Мир, 1991. — 574 с.
• 2. Акопов А. А., Лерер А. М. Сравнение параметров Рамановского усиления в фотонных кристаллах разной конфигурации // Инженерный вестник Дона, 2014, № 3
• 3. Иващенко С. Н. Моделирование энергетического спектра в полупроводниковых наноструктурах // Инженерный вестник Дона, 2008, № 2
• 4. Иванов О. В. Распространение электромагнитных волн в анизотропных и бианизотропных структурах. Ульяновск: УлГТУ, 2010. — 262 с.
• 5. Заславский Г. М., Мейтлис В. П., Филоненко Н. Н. Взаимодействие волн в неоднородных средах. — М.: Наука, 1986. — 177 с.
• 6. Рыбков, В. С. Зависимость собственных электродинамических параметров прямоугольного резонатора, частично заполненного диэлектрическим материалом, от относительной диэлектрической проницаемости образца / В. С. Рыбков, П. В. Замоторин, В. С. Ремнев // Радиотехника и связь: материалы Третьей междунар. науч.-техн. конф., 27−29 июня 2006 г. / СГТУ. — Саратов, 2006. — С. 215−224.
• 7. Киреева А. И., Руденок И. П., Филичёва Т. В. Поверхностные волны вдоль слоёв градиентности в периодических композиционных структурах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2012. — Т. 15, № 4. — С. 41−47.
• 8. Руденок И. П., Филичёва Т. В. О волновых свойствах открытых волоконных композиционных периодических структур // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2009. — Т. 12. № 1. — С. 99−104.
• 9. Atkinson R., Lissberger D.H. Correct formulation of first order magneto-optical effects in multilayer thin films in terms of characteristic matrices and derivation of a related superposition principe // J. Magn. and Magn. Mat., 1993. — V. 118. № 1−2. — pp. 271−277.
• 10. Евсейкин, А. А. Электродинамические параметры квазистационарных волноводов с частичным диэлектрическим заполнением / А. А. Евсейкин, О. В. Дрогайцева, В. А. Коломейцев // Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-24: сб. тр. XXIV междунар. науч. конф., г. Пенза, 20−22 сент. 2011 г.: в 10 т. — Пенза, 2011. — Т. 10. — С. 90−92.
• 11. Depine R.A. Magnetic effect on the reflection of electromagnetic waves at isotopic uniaxial interface // J. Opt. Soc. Am. A, 1994. — V. 11. № 2. — pp. 745−753.
• 12. Gu Claire, Yeh P. Dynamic equation for the polarization state in inhomogeneous anisotropic media // Appl. Opt., 1994. — V. 33, № 1. — pp. 60−63.
• 13. Боголюбов А. Н., Делицын А. Л. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элементов, исключающий появление нефизических решений // Вестн. МГУ: сер. физика, астрономия. 1996. — Т.37, № 1. — С. 9−13.
• 14. Koshiba M., Maruyama S., Hirayama K. A vector finite element method with the high-order mixed interpolation type triangular elements for optical waveguiding problems // Journal of light wave Technology, 1994. — V. 12. № 3. — pp. 499−502.
• 15. Юнаковский А. Д. Начала вычислительных методов для физиков.

Аннотация Рассмотрено взаимодействие собственных и несобственных поверхностных волн нерегулярной планарной композиционной системы, состоящей из связанных анизотропноградиентных плёнок с диэлектрическим покрытием и подложкой. Получена система связанных интегроквазидифференциальных уравнений относительно амплитудных коэффициентов волн дискретного и непрерывного спектра. Найдены их решения, позволяющие оценить влияние параметров и характеристик сложной среды на особенности и условия преобразования волн различной поляризации.

Ключевые слова: связанные нерегулярные композиционные системы, анизотропноградиентные структуры, системы связанных интегро-дифференциальных уравнений, поверхностные волны дискретного и непрерывного спектра, параметры градиентности элементов тензора диэлектрической проницаемости.