Уравнения движения. 
Электродинамика отвергает теорию относительности

Теперь мы можем получить «уравнения движения», т. е. уравнения для нахождения потенциалов электромагнитного поля, порожденных 4-вектором тока j_k. Для этого запишем выражение для интеграла действия, которое будем варьировать.

(1.2.1).

Интегрируя по частям, получим.

(1.2.2).

Первый интеграл по гиперповерхности S_k обращается в нуль по тем же причинам, что и последний интеграл в выражении (1.1.3). Таким образом, мы получаем окончательное выражение для уравнений движения.

;(1.2.3).

к которым следует добавить, как уже говорилось, уравнения непрерывности для 4-потенциала поля и 4-плотности тока: A_i/x_i = 0;j_i/x_i= 0.

Система уравнений представляет собой уравнения Максвелла в калибровке Лоренца.

(1.2.4).

Таким образом, новое выражение для плотности лагранжиана приводит к правильным уравнениям электродинамики (уравнения Максвелла в калибровке Лоренца).

Тензор энергии-импульса и законы сохранения

Теперь нам необходимо записать тензор энергии-импульса электромагнитного поля T_ik. Общий вывод формулы для вычисления тензора энергии-импульса, получаемой из плотности лагранжиана, приведен в [1]. Эта формула имеет вид.

(1.3.1).

где = - (A_l/x_k)²/2.

Вычисления дают следующий результат.

(1.3.2).

Он совпадает с тензором энергии-импульса в [2]. Нетрудно заметить, что тензор энергии-импульса симметричен T_ik = T_ki. Для полноты описания к этому тензору можно было бы добавить тензор взаимодействия 4-вектора тока с 4-потенциалом j_i A_k. Здесь мы ограничимся рассмотрением полей в свободном пространстве и не будем этого делать.

Известно, что 4-дивергенция этого тензора для свободного пространства (когда поля рассматриваются за пределами источников) равна нулю T_ik/x_k = 0. Из этого выражения должны вытекать законы сохранения энергии и импульса в свободном пространстве. В нашем случае мы должны получить выражения для закона сохранения плотности электромагнитной энергии и закона сохранения плотности импульса.

Эти законы, вытекающие из дивергенции тензора энергии-импульса T_ik, в общей форме имеют следующий вид:

1. Закон сохранения плотности потока S электромагнитного поля.

• (1.3.3)
• 2. Закон сохранения плотности энергии w электромагнитного поля

(1.3.4).

;(1.3.5).

(1.3.6).

Из полученных соотношений следуют весьма интересные выводы.

Во-первых, в общем случае уравнения Максвелла в калибровке Лоренца описывают три различных вида потоков. Первый поток энергии есть известный поток поперечных электромагнитных волн, описываемый вектором Пойнтинга. Его плотность равна.

;

Второй поток — поток продольных электрических волн векторного потенциала А. Его плотность равна.

Третий поток — поток продольных волн, образованный скалярным потенциалом .

Во вторых, плотность энергии и плотность потоков S₁ и S₂, образованных векторным потенциалом А, положительны, а плотность энергии и плотность потока S₃, созданного скалярным потенциалом, отрицательны. Это отнюдь не новый факт. Об этом знают специалисты по квантовой теории поля (см., например, [2]) но он, как обычно, мало известен физикам, которые специализируются в других направлениях.

В третьих, из выражений (1.3.3) и (1.3.4) вытекает новое интересное следствие. В свободном пространстве вне источников плотности потоков и плотности энергий должны удовлетворять волновому уравнению, т. е. плотность потока и плотность энергии тоже являются запаздывающими, подобно потенциалам полей электромагнитной волны.

(1.3.7).

Это означает, что решение некоторых задач, например, по дифракции волн, связанных с решением векторных волновых уравнений можно свести к тем же задачам, но описываемых волновым уравнением для скалярной плотности энергии w. Иными словами, в принципе возможно уменьшение громоздкости вычислений при решении подобных задач.

В четвертых, полученные результаты нетрудно распространить на любые волновые процессы, описываемые волновым уравнением.