Язык арифметики. 
Разнообразие языков как знаковых систем

Множество чисел представимых в виде несократимых дробей m/n, где: m, n, N, n 0 называется множеством рациональных чисел и обозначается Q. На этом множестве определим операции, ,, и результат действия этих операций над рациональными числами есть снова рациональное число.

Наличие операций сложения и умножения позволяет построить представление целых чисел при помощи алфавита, содержащего К знаков, называемых цифрами.

Такое представление дается записью вида: a N.

a = anKn+… + a1K+ao (5).

и называется систематической К-ичной записью по основанию К. Символы ao, a1, …, an принимают одно из К значений 0,1,2, …, K-1. Если K10, то для обозначения K цифр используют первые К цифр десятичной системы 0,1,2, …, К-1. Для обозначения степеней оснований (классов) К1, К2, …, Кn используются уже введенные числовые обозначения (классы «тиражируются медленнее», чем числа, входящие в эти классы).

Кроме реализации арифметических операций, систематическое представление чисел дает алгоритм сравнения чисел по величине.

Аксиомы операции сложения.

Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент х+у — Q, называемый суммой х и у.

Аксиомы операции умножения.

Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент ху — Q, называемый произведением х и у.

Аксиома связи сложения и умножения.

• (Дистрибутивность) Для любых х, у, z — Q
• (х+у). z = x. z+у. z

Аксиомы порядка.

Всякие два элемента х, у, — Q вступают в отношение сравнения. При этом выполняются следующие условия:

Аксиома связи сложения и порядка.

Для любых x, y, zQ,.

(x y) x+z y+z.

Аксиома связи умножения и порядка.

(0 x)(0 y) (0 xy).

Аксиома непрерывности Архимеда.

Для любых a > b > 0 существует m — N и n — Q такие, что m 1, n < b и.

a= mb+n.

Следствие.

Аксиомы множества Q позволяют:

Построить систематическую запись рациональных чисел при помощи конечного алфавита (цифровых символов).

Определить алгоритмы реализации операций, ,, в систематической записи рациональных чисел.

Решение задач, имеющих практический интерес, не исчерпывается арифметическими операциями над числами.