Множество чисел представимых в виде несократимых дробей m/n, где: m, n, N, n 0 называется множеством рациональных чисел и обозначается Q. На этом множестве определим операции, ,, и результат действия этих операций над рациональными числами есть снова рациональное число.
Наличие операций сложения и умножения позволяет построить представление целых чисел при помощи алфавита, содержащего К знаков, называемых цифрами.
Такое представление дается записью вида: a N.
a = anKn+… + a1K+ao (5).
и называется систематической К-ичной записью по основанию К. Символы ao, a1, …, an принимают одно из К значений 0,1,2, …, K-1. Если K10, то для обозначения K цифр используют первые К цифр десятичной системы 0,1,2, …, К-1. Для обозначения степеней оснований (классов) К1, К2, …, Кn используются уже введенные числовые обозначения (классы «тиражируются медленнее», чем числа, входящие в эти классы).
Кроме реализации арифметических операций, систематическое представление чисел дает алгоритм сравнения чисел по величине.
Аксиомы операции сложения.
Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент х+у — Q, называемый суммой х и у.
Аксиомы операции умножения.
Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент ху — Q, называемый произведением х и у.
Аксиома связи сложения и умножения.
- (Дистрибутивность) Для любых х, у, z — Q
- (х+у). z = x. z+у. z
Аксиомы порядка.
Всякие два элемента х, у, — Q вступают в отношение сравнения. При этом выполняются следующие условия:
Аксиома связи сложения и порядка.
Для любых x, y, zQ,.
(x y) x+z y+z.
Аксиома связи умножения и порядка.
(0 x)(0 y) (0 xy).
Аксиома непрерывности Архимеда.
Для любых a > b > 0 существует m — N и n — Q такие, что m 1, n < b и.
a= mb+n.
Следствие.
Аксиомы множества Q позволяют:
Построить систематическую запись рациональных чисел при помощи конечного алфавита (цифровых символов).
Определить алгоритмы реализации операций, ,, в систематической записи рациональных чисел.
Решение задач, имеющих практический интерес, не исчерпывается арифметическими операциями над числами.
