Задание 7. Занимательные упражнения по теории вероятности

Для начала найдем С. Сумма всех вероятностей каждого исхода случайной величины P (?)=1, для случая с непрерывной величиной этому значению соответствует интеграл. За пределами отрезка [0;2] вероятность по условию равна 0, таким образом достаточно взять следующий интеграл:

.

Выносим константу С за знак интеграла, таким образом:

.

.

Таким образом, плотность распределения для о описывается следующим образом: вероятность математическое ожидание дисперсия.

.

Следующим шагом найдем функцию распределения — найдя первообразную f (x) и учитывая разрывы в точках x=0 и x=2:

.

График функции распределения (часть параболы для x от 0 до 2) представлен ниже:

Математическое ожидание:

.

.

Квадрат математического ожидания:

.

Математическое ожидание квадрата:

.

Дисперсия:

.

Задание 8

По условию: математическое ожидание, дисперсия следовательно среднеквадратичное отклонение .

Вероятность попадания в отрезок, а поскольку искомый отрезок по условию симметричен относительно математического ожидания, то формула принимает вид:

.

где c — искомая константа.

Плотность распределения вероятности для нормального закона (Гаусса) по определению:

.

Подставляя известные по условию a = 15 и получаем окончательное значение:

.

При взятии интеграла получаем:

.

где erf — функция Лапласа или функция ошибок:

.

Возвращаясь к условию:

.

(воспользовавшись табличными значениями для Ф = erf (x)).

.

.

Искомый интервал: [-26,1997; 56,1997).