Статистическая линеаризация нелинейных звеньев

Как показано в предыдущем параграфе, при линейном преобразовании случайного процесса х (0 имеющего нормальный закон распределения, выходной случайный процесс у (t) будет также иметь функцию распределения, описываемую нормальным законом. В аналогичных условиях при нелинейном преобразовании случайного процесса происходит изменение закона распределения, т. е. происходит изменение статистических характеристик. В связи с этим задача исследования и синтеза нелинейных САУ при случайных воздействиях является весьма сложной.

Многочисленные работы российских и зарубежных специалистов не позволили создать точный метод расчета нелинейных САУ (НСАУ). Поэтому точные методы исследования НСАУ отсутствовали во время первого издания данного пособия. Это остается актуальным и на настоящий момент. Имеются приближенные методы, из которых наибольшее распространение получил метод статистической линеаризации, впервые предложенный в 1954 г. И. Е. Казаковым в СССР и Р. Бутоном в США. Указанный метод основан на приближенной замене нелинейных преобразований случайных процессов, происходящих в нелинейном элементе (НЭ), эквивалентными им линейными преобразованиями для некоторых статистических характеристик случайного процесса. При этом НЭ заменяется линейным, статистические характеристики выходного сигнала которого равны определенным статистическим характеристикам на его выходе. Для исследования полученной линеаризованной системы можно уже применять математический аппарат линейной теории.

Нелинейные элементы могут быть безынерционные и могут обладать динамическими свойствами [16]. В настоящем параграфе рассматривается вопрос статистической линеаризации для безынерционных НЭ, а его статическая характеристика определяется соотношением.

Также предполагается, что на вход нелинейного элемента поступает стационарный случайный процесс x (t) с функцией распределения, подчиняющейся нормальному закону распределения.

При статистической линеаризации нелинейная статическая характеристика у = ср (х) заменяется эквивалентной линейной зависимостью у = К«х с коэффициентом передачи К_л. Идеи статистической линеаризации реализуются путем вычисления коэффициента К_л. При этом возможны различные критерии эквивалентности нелинейной и заменяющей ее линейной зависимости.

При указанных допущениях в разработанной теории статистической линеаризации применяют два основных критерия эквивалентности:

• 1) равенство математического ожидания и дисперсии случайного процесса на выходе НЭ и эквивалентного ему линейного элемента;
• 2) минимум среднего квадратического значения разности случайных процессов на выходе НЭ и эквивалентного ему линейного элемента.

Стационарные случайные процессы на входе и выходе НЭ можно представить, соответственно, выражениями.

где т_х> т_у и x (t), y (t) — математические ожидания и центрированные случайные составляющие процессов, соответственно, на входе и выходе нелинейного элемента.

В общем случае НЭ с однозначной статической характеристикой ср (х) можно заменить двумя безынерционными элементами: нелинейным по математическому ожиданию и линейным по случайной центрированной составляющей (рис. 2.4, а). При этом сигнал на выходе эквивалентного линеаризованного элемента.

где ф₀(т_х) — переменная на выходе НЭ от математического ожидания входного сигнала; к_г — эквивалентный статистический коэффициент усиления по случайной центрированной составляющей.

Рис. 2.4. Иллюстрация метода статистической линеаризации.

Когда НЭ имеет нечетную характеристику, то функция Ф₀(т_х) может быть представлена следующим образом:

где к₀ — эквивалентный статистический коэффициент усиления нелинейного элемента по математическому ожиданию.

С учетом этого НЭ можно заменить двумя эквивалентными линейными элементами с коэффициентами усиления fc₀, к_и которые, как показано ниже, зависят от величины математического ожидания и дисперсии процесса на входе линейного элемента (рис. 2.4, б).

Если линеаризация НЭ осуществляется по первому критерию, когда истинная и аппроксимирующая функцииy (t) и u (t) имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии:

то значения ф₀, к₀ и /с_г могут быть найдены следующим образом:

Знак коэффициента к[¹⁵ определяется видом статической.

" dy.

характеристики НЭ и совпадает со знаком производной —.

dx.

Если известна плотность вероятности/(х) случайного процесса x (t) на входе НЭ, то тогда статистические коэффициенты линеаризации определяются следующим образом:

Расчеты показывают, что статистическая линеаризация, основанная на равенстве математического ожидания и дисперсии на выходе нелинейного элемента и заменяющего его линейного, обычно дает большую ошибку в корреляционной функции. Поэтому часто используют критерий, связанный с минимумом среднего квадратического значения разности процессов на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента:

После подстановки в последнее выражение значений сигналов у (О и u (t) получим.

В результате несложных математических преобразований будем иметь.

Если учесть, что M[y (t)²] = D_y; M[x²(t)] = D_x — соответственно дисперсии центрированных случайных процессов на входе и выходе НЭ; M[y (t)x (0] = Dp = Rp (0) — математическое ожидание произведения двух случайных функций y (t)x (t), равное значению корреляционной функции в нуле, то выражение для z?_K(t) можно записать в виде.

Из последнего выражения ясно, что при заданных статистических характеристиках входного и выходного сигналов НЭ z²_K(t) является функцией двух параметров — ф₀ и k_v Оптимальное значение этих параметров, при которых величина средней квадратической ошибки минимальна, найдем, если приравняем к нулю частные производные функции z^_K(t) по ср₀(т_х) и /q:

откуда.

Когда НЭ имеет нечетную характеристику, то согласно (2.1) получим.

При известной плотности вероятности входного сигнала Дх) коэффициент статистический линеаризации будет иметь вид

Как очевидно из выражений (2.3) и (2.9), значения коэффициентов /с{^х) и к[²⁾ различаются. В практике проектирования САУ часто оперируют корреляционными функциями. Исследования показывают, что корреляционная функция линеаризованной модели меньше отличается от корреляционной функции выходного сигнала нелинейного элемента, если в качестве коэффициента к_г брать среднее значение коэффициентов к[^ и к[² найденных по формулам (2.3) и (2.9):

Из выражений (2.4), (2.5), (2.10) ясно, что статистические эквивалентные коэффициенты усиления зависят не только от статистической характеристики НЭ, но и от закона распределения случайного процесса на его входе.

Если входная величина линейной системы имеет нормальное распределение, то случайные сигналы на выходе всех ее звеньев подчиняются тому же закону распределения [12]. При наличии НЭ в системе это положение не имеет места. Как показано в параграфе 2.1, в нелинейной САУ закон распределения существенно изменяется. Следует еще раз отметить, что при использовании метода статистической линеаризации предполагается (и он при этом дает приемлемые результаты), что закон распределения случайного процесса в нелинейной САУ остается нормальным. Такое предложение оправдывается тем, что практически во многих случаях в САУ законы распределения случайных процессов будут близки к нормальным.

Закон распределения на выходе линейной части САУ тем ближе к нормальному, чем инерционнее линейная система (т. е. чем уже полоса пропускания) [12]. При достаточно малой полосе пропускания линейной части нелинейной системы имеется тенденция к восстановлению нормального характера распределения.

Для случайных процессов с законом нормального распределения статистический коэффициент усиления НЭ к_х может быть определен следующим образом [16]:

Это соотношение иногда используется для проверки правильности вычисления коэффициентов ср₀, к₀, к_х .

Так как нормальный закон распределения для случайного процесса x (t) полностью характеризуется значениями математического ожидания т_х и дисперсии D_x или среднего квадратического значения а_х, то коэффициенты статистической линеаризации к₀, и к[²⁾ при заданной статической характеристике НЭ в каждый момент времени будут функциями только т_х и D_x или а_х, т. е.

Пример 2.1. Определить статистический коэффициент усиления к_г для НЭ типа квадраторау = х², если случайный процесс на входе х (0 =т_х +x (t) имеет нормальный закон распределения.

Решение. Согласно выражению (2.4) имеем

Дифференцируя функцию <�р₀(х) по т_х, находим искомый коэффициент:

Пример 2.2. Вычислить статистический коэффициент усиления для НЭ типа трехпозиционного реле с зоной нечувствительности (рис. 2.5). На входе реле действует случайный процесс с нормальным законом распределения при т_х = 0.

Рис. 2.5. Статическая характеристика НЭ типа «двухполюсное реле без гистерезиса».

Решение. Используя соотношение (2.5) и учитывая, что у = 0 приа<�х<+а и |у| =В при |х| > а, получим.

Из полученных выражений для коэффициента статистической линеаризации ясно, что с увеличением дисперсии входного сигнала его величина уменьшается.