Преобразование Лапласа. 
Теоретические основы электротехники. 
Том 1. Электрические цепи

Условимся под р понимать комплексное число.

где а — действительная, a jb — мнимая части комплексного числа (в ряде книг вместо буквы р пишут s).

В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой коэффициент Ъ с учетом знака условимся называть не коэффициентом при мнимой части комплекса (чем он в действительности является), а мнимой частью. Функцию времени (ток, напряжение, ЭДС, заряд) обозначают ДО и называют оригиналом. Ей соответствует функция F (p), называемая изображением, которая определяется следующим образом:

Соответствие между функциями F (p) и ДО записывают так:

Знак ««5» называют знаком соответствия.

Верхний предел интеграла (8.31) равен бесконечности. Интегралы с бесконечным верхним пределом называют несобственными. Если в результате интегрирования и подстановки пределов получают конечное число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится.

В курсе математики доказывается, что интеграл (8.31), в состав которого входит функция е-Р¹ = e-^ate~i^bt, сходится только в том случае, когда модуль функции ДО если и увеличивается с ростом t, то все же медленнее, чем модуль функции еР¹, равный e^at.

Практически все функции ДО, с которыми имеют дело в курсе ТОЭ, этому условию удовлетворяют.

Составим изображения некоторых простейших функций.

Изображение постоянной

Требуется найти изображение функции ДО = А, где Л — постоянная величина. С этой целью в (8.31) вместо ДО подставим, А и проведем интегрирование:

Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, деленной на р:

Изображение показательной функции eat

Вместо ДО в (8.31) подставим e^at:

Таким образом,.

При выводе формулы (8.34) (при подстановке пределов) было учтено, что действительная часть оператора р больше, чем ос, т. е. а > ос. Только при этом условии интеграл сходится.

Из формулы (8.34) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней ос = ;о), получим.

Формула (8.35) дает возможность найти изображение комплекса синусоидального тока:

С этой целью обе части (8.35) умножим на постоянное число i_m: Аналогично, изображение комплекса синусоидального напряжения Функции e~^at соответствует изображение 1/(р + а):