Модели и методы исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере

Большое количество космических программ, осуществляемых в интересах развития техники, науки и обороны страны, в качестве заключительной фазы предусматривают неуправляемый спуск летательного аппарата (ЛА) в атмосферу Земли и других планет. Несмотря на наличие обширных исследований в этой области, многие проблемы, как теории, так и практики, в настоящее время не нашли своего завершения. Важной проблемой является разработка математических моделей и методов исследования переходных режимов движения ЛА в атмосфере, под которыми понимаются случаи, когда в процессе снижения аппарата происходит изменение характера движения относительно его центра масс: вращательное движение переходит в колебательное, скачкообразно изменяются характеристики колебательного движения и т. д. Изучение переходных режимов движения необходимо для определения компонент перегрузки, рационального расположения теплозащитного покрытия, определения рассеивания точек посадки, а также для назначения требований к геометрической форме и конструктивно-компоновочной схеме ЛА.

Движение ЛА в атмосфере как твердого тела описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, общее решение которой получить не представляется возможным. При численном же интегрировании уравнений движения, во-первых, остаются скрытыми причины, обуславливающие тот или иной характер движения, во-вторых, для установления закономерностей движения требуется значительное число расчетов, а это даже с использованием современных быстродействующих ЭВМ приводит к большим затратам времени из-за наличия в правых частях уравнений быстро осциллирующих функций. Поэтому поиск приближенных аналитических решений и разработка математических моделей и методов исследования, позволяющих существенно ускорить процесс расчета и установить закономерности, свойственные движению тела, является актуальной задачей.

В работе рассматриваются переходные режимы движения осесимметричных тел, возникающие на верхнем участке траектории спуска в атмосферу и обусловленные медленным изменением во времени формы зависимости восстанавливающего аэродинамического момента от угла атаки, и переходные режимы движения тел с малой асимметрией, вызванные резонансными явлениями, возникающими при движении в плотных слоях атмосферы.

Движение осесимметричного тела в атмосфере описывается системой уравнений, представляющей собой квазиконсервативную нелинейную систему с одной степенью свободы. Характер движения тела во многом определяется формой зависимости восстанавливающего момента от угла атаки, который является нечетной функцией и в общем случае аппроксимируется нечетным рядом Фурье по углу атаки. Г. Е. Кузмаком исследованы переходные режимы движения тела с синусоидальной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, когда фазовый портрет системы аналогичен возмущенной колебательной системе маятникового типа. В настоящее время эксплуатируются и разрабатываются ЛА (спускаемые модули «Союз», «Марс», многие перспективные малогабаритные грузовые капсулы) с достаточно сложной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, для удовлетворительной аппроксимации которой рядом Фурье необходимо удерживать не менее двух гармоник. При этом возможно появление дополнительного положения равновесия по углу атаки — дополнительной особой точки на фазовом портрете системы. Переходные режимы движения тел, имеющих два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия, анализируются в монографии В. А. Ярошевского. Однако интеграл действия, который является адиабатическим инвариантом для рассматриваемой системы, не выписан в явном виде, что весьма существенно затрудняет анализ движения. В диссертационной работе на основе полученных аналитических формул для интеграла действия разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для описания эволюции движения внутри колебательных областей с учетом действия малых демпфирующих моментов и моментов от сил вязкости получены усредненные уравнения движения для тела с полигармоническим восстанавливающим моментом.

Движение тела с малой асимметрией в атмосфере в общем случае описывается двухчастотной системой уравнений. Если частоты (собственная частота и частота внешнего периодического воздействия) относятся как целые малые простые числа, то возникает резонанс. Исследованию резонансов при движении неуправляемого тела в атмосфере посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых, в которых, как правило, рассматриваются вопросы, связанные с изучением поведения угла атаки и продольной угловой скорости вращения. В диссертационной работе анализируется влияние малой асимметрии тела на прецессионное движение, определяющее положение вектора подъемной силы, а следовательно, оказывающее большое влияние на рассеивание точек посадки. Получены аналитические зависимости, связывающие изменения угла атаки, продольной угловой скорости и прецессионного движения при переходе тела через резонанс, с начальными условиями движения, с видом и величиной асимметрии. Предлагается использовать эффект прохода через резонанс для стабилизации продольной угловой скорости ЛА с целью выполнения требований к атмосферному рассеиванию точек посадки. Для этого в конструкцию аппарата может вводится рассчитываемая по аналитическим формулам малая искусственная инерционная или аэродинамическая асимметрия, которая дает в сравнении с известными системами стабилизации улучшение массово-геометрических и функционально-эксплуатационных характеристик ЛА.

Цель работы. Целью настоящей работы является разработка математических моделей и методов исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере и выбор на этой основе малой искусственной асимметрии ЛА, обеспечивающей заданные условия его движения.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

— вывод исходных уравнений вращательного движения твердого тела в атмосфере, обеспечивающих построение на основе асимптотических методов математических моделей, необходимых для решения поставленных задач;

— исследование переходных режимов движения при входе в атмосферу осесимметричного тела с бигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на основе аналитических формул для интеграла действия;

— исследование характера изменения угла атаки, продольной угловой скорости и прецессионного движения тела с учетом влияния малой асимметрии при прохождении через резонанс;

— построение усредненных уравнений возмущенного нерезонансного движения осесимметричного тела для анализа участков движения между переходными режимами;

— разработка алгоритма выбора величины малой искусственной асимметрии ЛА, обеспечивающей стабилизацию угловой скорости крена в определенных пределах, и конструктивная её реализация;

— разработка на основе полученных математических моделей стохастической модели движения для проведения поверочных расчетов.

Методы исследования. При разработке методов, для получения математических моделей, аналитических формул, оценок использовались методы и подходы развитые В. И. Арнольдом, В. М. Волосовым, А. И. Нейштадтом, В. А. Ярошевским и др.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Найден критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска неуправляемого тела в атмосфере, характеризующий медленность изменения параметров системы, учитывающий условия входа, диапазон высот полета, баллистические и динамические свойства тела.

2. Получены для всех возможных движений осесимметричного тела с бигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки аналитические формулы для интеграла действия, выраженные через полные эллиптические интегралы или элементарные функции.

3. Разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения осесимметричного тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для случаев, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области фазового портрета системы, найдены формулы для определения вероятности попадания в ту или иную область движения.

4. Построены усредненные уравнения возмущенного движения осесимметричного тела с полигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки в интегро-дифференциальной форме без введения ограничений, накладываемых на характер движения. В случае, когда восстанавливающий момент имеет зависимость от утла атаки близкую к синусоидальной, правые части усредненных уравнений сведены к полным эллиптическим интегралам. Численное интегрирование усредненных уравнений дает значительное сокращение времени определения параметров движения по сравнению с исходными уравнениями.

5. Выявлено влияние малой асимметрии твердого тела на характер изменения прецессионной скорости при прохождении через резонанс.

Получены формулы для определения критических величин асимметрии, гарантирующих заданный вид прецессионного движения.

6. Предложен графо-аналитический метод определения диапазонов изменения скоростей прецессии и собственного вращения твердого тела, вида прецессионного движения по амплитудным характеристикам угла атаки.

7. Получены аналитические зависимости для определения изменения угла атаки в процессе перехода через резонанс твердого тела, имеющего малую динамическую и аэродинамическую асимметрию, с учетом изменения продольной угловой скорости и начальных условий по углу атаки. Выведена формула для определения изменения продольной угловой скорости твердого тела при переходе через резонанс.

8. Найдены формулы для определения величины малой искусственной асимметрии тела, обеспечивающей стабилизацию продольной угловой скорости при действии возмущающего момента, вызванного эффектами вязкости. Малая искусственная асимметрия ЛА может быть реализована в виде перекоса главной продольной оси инерции конструктивной компоновкой или размещением балансировочных грузов на днище аппарата, а также установкой специальных малых аэродинамических поверхностей из легкоуносимого материала.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью принятых допущений в исходных математических моделяхприменением при проведении экспериментов с математическими моделями известных асимптотических и численных методов, обладающих высокой точностьюсоответствием результатов математического моделирования неуправляемого движения его физической сущности и результатам летных испытаний.

Практическое значение работы заключается в следующем.

Основные результаты доведены до простых аналитических формул и оценок и могут непосредственно использоваться в инженерной практике при анализе движения ЛА. Разработанные методы, алгоритмы и программы внедрены в практику проектирования в Государственном ракетном центре «Конструкторское Бюро имени академика В.П. Макеева» (г. Миасс), где продолжительное время работал автор. Результаты работы используются, при решении задач выбора проектных параметров, предполетного анализа, послеполетного восстановления движения летательных аппаратов коммерческого назначения и обеспечивают снижение в условиях существующего процесса проектирования сроков разработки и повышения качества новых и модифицированных ЛА. Результаты работы также используются в учебном процессе в Самарском государственном аэрокосмическом университете, что подтверждается соответствующими актами внедрения.

Основные положения работы, научные и практические результаты докладывались на 17 всероссийских и международных конференциях, в том числе на Научных чтениях, посвященных разработке научного наследия и развитию идей Ф. А. Цандера (1979 г.), К. Е. Циолковского (1979 г.) — на Гагаринских чтениях (1979 г.) — на Научных чтениях по космонавтике (1993, 1994, 1995 гг.) — на Российско-Китайско-Украинском Симпозиуме по космической науке и технике (1994, 1996 гг.) — на Всероссийском научно-техническом семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 1985, 1987, 1989, 1993, 1995, 1997 гг.) — на Научных чтениях, посвященных творческому наследию Н. Е. Жуковского (1997 г.) и других.

Результаты исследований публиковались в печати /13−23, 48, 62, 81−86, 95, 96/. Предложенные технические решения по теме диссертации защищены двумя авторскими свидетельствами на изобретение, программа расчета параметров движения ЛА по стохастической модели сдана в отраслевой фонд алгоритмов и программ (ОФАП).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В настоящей работе разработаны математические модели и методы исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере. На основе установленных закономерностей переходных режимов, полученных математических моделей разработан алгоритм выбора малой искусственной асимметрии летательного аппарата, обеспечивающей заданные условия его движения. Предложены варианты конструктивной реализации искусственной асимметрии ЛА.

Основными результатами проведенных исследований являются:

1. Найден критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска неуправляемого тела в атмосфере, характеризующий медленность изменения параметров системы, учитывающий условия входа, диапазон высот полета, баллистические и динамические свойства тела.

2. Выписан в явном виде интеграл действия для всех возможных движений осесимметричного тела с бигармоническим восстанавливающим моментом, который имеет вид нечетного ряда Фурье по углу атаки с двумя первыми гармониками.

3. Разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения осесимметричного тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для случаев, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области фазового портрета системы, найдены формулы для определения вероятности попадания в ту или иную область движения.

4. Получено без введения ограничений, накладываемых на характер движения, семейство усредненных уравнений возмущенного движения осесимметричного тела, использование которых позволяет значительно снизить объем вычислений по сравнению с интегрированием исходных уравнений при сохранении высокой точности решений.

5. Выявлено влияние малой асимметрии твердого тела на характер изменения прецессионной скорости при прохождении через резонанс. Получены формулы для определения критических величин асимметрии, гарантирующих заданный вид прецессионного движения. Предложен графоаналитический метод определения диапазонов изменения скоростей прецессии и собственного вращения твердого тела, вида прецессионного движения по амплитудным характеристикам угла атаки.

6. Получены аналитические зависимости для определения изменения угла атаки в процессе перехода через резонанс твердого тела, имеющего малую динамическую и аэродинамическую асимметрию, с учетом изменения продольной угловой скорости и начальных условий по углу атаки. Выведена формула для определения изменения продольной угловой скорости твердого тела при переходе через резонанс.

7. Разработан алгоритм выбора величины малой искусственной асимметрии летательного аппарата, обеспечивающей заданные условия его движения.

8. Предложены конструктивные решения реализации искусственной асимметрии. Малая искусственная асимметрия ЛА может быть реализована в виде перекоса главной продольной оси инерции конструктивной компоновкой или размещением балансировочных грузов на днище аппарата, а также установкой специальных малых аэродинамических поверхностей из легкоуносимого материала.

9. Разработана на основе полученных математических моделей стохастическая модель движения.