Методы приближенного вычисления гиперсингулярных интегралов и интегралов в смысле Адамара

Актуальность темы

К настоящему времени в построении и исследовании приближенных методов вычисления сингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения Коши, достигнуты значительные успехи. Библиография работ по построению квадратурных форщгл для сингулярных интегралов с ядром Коши весьма обширна. Обзор полученных в этом направлении результатов имеется в монографиях Иванова В. В. [23], Габдулхаева Б. Г, [14], а так же в специальных обзорных работах этих же авторов [24,13] .

В отличии от сингулярных интегралов, приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов и интегралов, понимаемых в смысле конечного значения по Коши-Адамару (интеграл Адамара), исследованы мало, хотя в ряде прикладных задач встречаются именно эти интегралы. Так, например, при решении интегральных уравнений линейной теории несущей поверхности [10,66,67] возникают интегралы Адамара, а при обращении обобщенных риссовских потенциалов [54−55] и при представлении некоторых классов псевдодифференциальных операторов [44−47] - гиперсингулярные интегралы.

В связи с этим представляет интерес изучение методов приближенного вычисления указанных интегралов.

Цель работы. Работа посвящена построению и обоснованию приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения Коши, и интегралов Адамара.

Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в работе результатов используются теория приближения функций, свойства гиперсингулярных интегралов и интегралов Адамара.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

— строится квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла с непрерывной на интервале плотностью и находится оценка погрешности, которая является неулучшаемой в классе /-/^д;

— дан способ получения оценки погрешности приближения гиперсингулярных интегралов с непрерывной плотностью гиперсингулярными интегралами с полиномиальной плотностью в весовых пространствах, основанный на? -оценке для гиперсингулярных интегралов;

— в терминах специальных функций найдено представление для гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку от алгебраических многочленов;

— построена интерполяционная квадратурная формула для интеграла Адамара и найдена оценка её погрешности в классе целое).

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в построении и обосновании методов приближенного вычисления, учитывающих специфику гиперсингулярных интегралов и интегралов Адамара. Полученные результаты могут найти применение при дальнейшем развитии теории приближенных мтодов вычисления рассматриваемых интегралов.

Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных результатов к численному решению прикладных задач, в которых встречаются гиперсинзулярные интегралы и интегралы Адамара.

Диссертация является самостоятельным исследованием автора.

По материалам диссертации опубликованы работы [" 2,6,7,8] .

Состояние вопроса и полученные результаты. В диссертационной работе рассматривается гиперсингулярный интеграл где Ыб С (о-, ё), О < А < 1 и интеграл понимается в смысле главного значения Коши.

Для изучения вопроса аппроксимации этого интеграла нам понадобятся специальные функциональные пространства. С этой целью остановимся несколько подробнее на классах и пространствах функций, в которых исследовался сингулярный интеграл (А-О) по разомкнутой кривой. ^.

Н.И.Мусхелишвили был введен класс.

Н [зэ] Пусть гладкая кривая. /У* - класс функций, определенных на У {<*"?/ и допускающих представление.

Ра Ъ&tradeI Ч> (-Р4-, где (о, 1), а функции, , % удовлетворяют условию Гельдера. Им было показано, что если 1~1*, то этим же свойством обладает особый интеграл.

А.И.Гусейновым был введен класс функций Ц^ ^ [ 19 ], определенных на (а, &) и удовлетворяющих условиям ir где скк*, .

У ~ банахово пространство в норме llfllu = truxoci Suf lt (*>/(x-CL)"(g-x)fi Swl^pM и оператор a. Г-f действует из в Ц^^г и ограничен [ 19 ] .

Классы 1~1* и Й^ р у связаны следующим образом н*= и fw.

А.А.Бабаев и В. В. Салаев продолжили эти исследования в несколько ином направлении. А. А. Бабаевым СЗ ] были введены характеристики непрерывных на (a., i) функций f (x.): где 1, °lyo, J+ i g-a. i o.

В основу определения И* могут быть положены различные шкалы пространств. В.в.Салаевым [53] были введены пространства М¹^1 и показано, что действует из Мв себя и ограничен, если ,^2.>о, ^ 0<. Р. В. Дудучава [22] для исследования свойств особого интеграо ла ввел банаховы пространства Ц^ (р) ..

Н^(р)={16 Сс^а,/ кщ (Щст Н, ей* Щ шд ш= где НJц — класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем ^ .^Ш^^'Оч)*1 = 0<, 0<Н&diamsо.

Ир (р) — банахово пространство в норме.

МмгНЩнтм^ и сингулярный оператор действует в Н^(р) ограниченно. Обозначим.

Г I Г -¿—>аг и '.

В.В.Салаевым в 53 было доказано, что при о<�ск,^1Г4. -/, , О <, о (г-//с *, о"//*/ ,.

Перейдем к изложению основных результатов первой главы диссертации..

В § 1,1 предлагается усложненная (по терминологии С. М. Никольского [ 40]) квадратурная формула дай гиперсингулярного интеграла й е и сл.) г 1 1 -1 с плотностью, непрерывной на (<*-,&) ..

Для её построения отрезок |а, ?] разбивается на /ь {¡-ь* 8) равных частей точками А., ^ - о^уь, А. Пусть.

Тс~сх.+ (2С-1)£, ¿-=/,/г. Через X* (х*) обозначается точка ^ (к= о^уь), ближайшая слева (справа) к точке, а через где при х-^сс — при.

За квадратурную формулу для интеграла принимается выражение где.

С*(х, А)= 4-/—1.*?.

I О-:/х —.

Для ^ € С (а, вводятся следующие характеристики 3 ] :.

Б терминах этих характеристик в § 1.2 устанавливается оценка I и Сое.) — Lrt (ulx)| при различных положениях точки (&-,?). В § 1.3 продолжается изучение остатка квадратурной формулы.

Г1(и, х)= и.(хуЬп (и, х)..

Пусть = М) .Имеет место.

ТЕОРЕМА I. Пусть и {). Тогда спрак) ведлива оценка ' где зс€(а, а+к]: > к г-а.

1-ы.

Р У ¦¦ «Л к^'К —-г+4,, хе (а.+к^].

КпМ ~ { ^ 2 ' х-а.)*' 1.

Здесьй>с€> означает, что существуют положительные постоянные С.,, С2, зависящие от, , > и^, такие что С^^С^ а.

А/.

А.' s1 + а /Р+АС ^.

В §§ 1.4 и 1.5 настоящей работы изучается порядок аппроксимации гиперсинхулярного интеграла.

1ГгЛ-г иы),.

Т о.

UCc)d где 0<А ?7 и У-еС [<*,?], гиперсингулярными интегралами бы^А «где Ри, — некоторый агрегат, приближающий функцию в определением смысле. Отметим, что в случае сингулярного интеграла (А = о) в качестве агрегата Ru берется алгебраический многочлен наилучшего равномерного приближения или же полином, удовлетворяющий условиям типа теоремы С. А. Теляковского и И. Е. Гопенгауза. Эти вопросы для сингулярного интеграла были изучены в работах Д.Г.Саникид-зе [57], М.А.Шешко[б4], В.Н.1>усака и М. А. Шешко [49 ], Ъ. ШМ'а. и F. 71.72] * Э. Д. Муратшаевой и Б.й.Мусаева [ 32 ] ,.

Б.И.Мусаева [Зб] и др..

В § 1.4 в терминах характеристик j|ccL = так /аС*Л и 0) К"=тах ?иС^-иШ/.

U[cl, C3 доказывается.

— II.

ТЕОРЕМА 2. Пусть 16 € С/а, ?7ССо-, Ц/ и 5<, Тогда для любого ?? (о, справедлива оценка где — постоянная, зависящая лишь от &, /3 и, А. Эта оценка (называемая далее 8 — оценкой) позволяет получить оценку погрешности ^крЖ&А) для различных агрегатов ^(т), приближающих и (т) ,.

Как обычно обозначим через Ф множество неотрицательных, монотонно-возрастающих на + функций У (5″) таких, что о и 4(5)15 — монотонно убывает. Пусть ф ..

-целое),.

В дальнейшем существенно используется следующая.

ТЕОРЕМА Т-Г Г60.177. Пусть {?Ну^аЛ — Целое)..

Тогда для любого п>, Цг+5 существует такой алгебраический многочлен степени не выше^, что при любом У= 3 справедлива оценка.

Алгебраический многочлен интерполяционного типа, удовлетворяющий (I), при 1=о был построен в [ 68 ] ¦.

Пусть Ш — алгебраический многочлен, аппроксимирующий функцию / в определенном смысле. Верна следующая.

ТЕОРЕМА 3. Пусть ({, а.) = {М) — ft. (f, ?)= О и.

J f ~J'xco ((-Рп4 • Тогда справедлива оценка о ^ ^.

II Я, * а (/- PJ, i) llc * С (d, b, A j mm Г Г a>(t-Pnf,})j7 +.

O, Ll9-]L6 * Cltt-PJIlJ ..

Если хотя бы одно из f (<*, f,*) ли" — [.

0.

Как частные случаи предыдущих теорем доказываются:.

ТЕОРЕМА 5. Пусть 0, J j'^yfjjc/f < + * -ft Ну и * ° (i) — алгебраический многочлен, указанный в теореме Т-Г. Тогда верна оценка.

0<? < О I г ^ 2иг 5 с крьЩ- +е (- о Л- °.

ТЕОРЕМА 6. Пусть Ч^Ф % 5).

— целое) и (¦?,) — алгебраический многочлен, указанный в теореме Т-Г. Тогда справедлива оценка.

IIV (Ш)1С6 С 201.

В § 1.6 дается способ вычисления гиперсингулярного интеграла по отрезку с весом от алгебраических многочленов, т. е..

Д /0 л Рп.(~Оо>т о (т-сО°Ч?-т) Ни- -и/т-±х ~ где, , 0< 1, Р^ - алгебраический многочлен, а ггыГГ2-Ы-А) ^ х у Г (1-бО-к)-Г (Р+к) /¿-а * Г, 2,?п.?л ч Г (3-Ы- > + Ю-/с! [ ёа.) (€-а.)-ГМ ^ Г К+Л) — </ иа/У.

— 14.

-*)* i) = (-D у/*-«/*' г га-***), г (1-й) у ?(!-* +P).r (t+P) /У-О sPi).

2 r (z-0L-+K+/>).p! (jrz) JJ +.

L гы * r (p) — SiVl^-kAJTT frL e П nfi-fi) ^ J ' S.

Р (с1+лK+ p)-pi g-ct.) >.

Во второй главе диссертации рассматривается интеграл Адама-ра (см. напр., в I) где.

U сс-1,.

1] и интеграл понимается в смысле Коши-Адамара, т. е. s (I i)= ?V [(1¦ i) T~w- > * * <4 i). (3).

Пусть Ш) -непрерывно-дифференцируемая на fi, i] функция. Тогда S представима в следующем виде.

Следовательно, вычисление интеграла Адамара редуцируется к вычислению сингулярного интеграла с ядром Коши, для которого этот вопрос достаточно хорошо разработан. Однако такой переход от интеграла (2) к интегралу (4), во-первых, сильно усложняет соответствующее интегральное уравнение, а во-вторых, он нежелателен, когда $ - эмпирически заданная функция. Таким образом, становится естественной задача непосредственного вычисления интеграла (2),.

Методы вычисления сингулярных интегралов Адамара практически только начинают разрабатываться. Отметим здесь недавно появившиеся работы [18], [69] ,[70], [63] и т. д., где предлагаются и исследуются некоторые квадратурные формулы для интеграла Адамара..

В работе [18] строится интерполяционная квадратурная формула которая точна для некоторых агрегатов. Однако полученная при этом оценка не позволяет получить порядок приближения интеграла (2)..

В [63] проводится оптимизация квадратурных формул с узлами произвольной кратности для интегралов Адамара с подвижной особенностью и строится квадратурная формула, использующая не только значения плотности интеграла, но и всех ее производных. Там же устанавливается оптимальность по порядку построенных формул на классах дифференцируемых функций, определяемых выпуклым вверх модулем непрерывности. При этом не указываются способы вычисления коэффициентов рассматриваемых квадратурных формул,.

В § 2.1 данной главы диссертации строится интерполяционная квадратурная формула для интеграла Адамара, использующая только значения плотности интеграла (но не значения производных), сле-дзующим образом. Пусть — интерполяционный многочлен степени не выше, интерполирующий функцию Ф в нулях многочлена «т.е. в точках tclt.

XK= Cos, к= о, уь t где u^tt) — многочлен Чебышева второго рода (см. стр.105). Имеем sa, i)=s (pj, t) + s (4-pj, i), где.

У п. к. % К-0,1ь определяется определенным образом (см. стр. 114−116), а — погрешность квадратурной формулы.

В § 2.2 оценивается погрешность квадратурной формулы в классе Н^. Доказывается следующая.

ТЕОРЕМА 7. Пусть У6 0, 4>(, ^еН^Г-АД].

-целое) и Р^И,^) — интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами, являющимися нулями многочлена ((-ь) многочлен Чебышева второго рода). Тогда для остаточного члена квадратурной формулы справедлива оценка б (/- с (,)-Н ({ Ч)[] О.

Тс/л. 7.

Из этой теоремы следует.

Следствие I. Пусть /е Ц^С-1,1]Сг)Е-1,1]/сд (^(г) — В) от}.

О <ы. < ?). Тогда верна оценка.

5 (Ши f T^Jl^j^tl}, (пъЧт+5) ..

Справедливо.

Следствие Пусть^. ?Г^Ж ??-± - целое) и /да — алгебраический многочлен, указанный в теореме Т-Г. Тогда {Н-ъЧг+ь) верна оценка к..

-i.il о* $ п.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического анализа Азгосуниверситета им. С. М. Кирова (1982 — 1983 г. г.), на V Республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азерб. ССР, в I] Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (Саратов, 1984 г.),.

В заключение, пользуясь случаем, выражаю благодарность научным руководителям — член-корр. АН Азерб. ССР, профессору Бабаеву A.A. и доценту Мусаеву Б. И. за постановку задач и ценные советы..

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частнымипроизводными гиперболического типа. М.: «Наука», 1978, 351 с..

2. Азимова Г. Г., Бабаев P.M. Квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла. Сб. «Сшиулярные интегральные операторы». Баку: Изд-во АГУ, 1983..

3. Бабаев A.A. Некоторые оценки для особого интеграла. ДАНСССР, 1966, т.70, № 5, C. I003-I006..

4. Бабаев A.A., Садырханов P.C. Об одном квадратурном процесседля сингулярного интеграла и его приложении. -ДАН СССР, 1974, т.214, Jfc 4, с.743−746..

5. Бабаев A.A., Садырханов P.C. Квадратурный процесс для сингулярного интеграла по разомкнутому контуру вещественной оси и условия его сходимости. Изв. АН Азерб.ССР, сер.физ.-техн.и мат.н., 1978, № 2, с.8−16..

6. Бабаев P.M. О порядке аппроксимации гиперсшнулярных интегралов. Тезисы докладов У Республиканской научной конференции аспирантов вузов Азербайджана. Баку: Изд-во АзИНХ, 1982..

7. Бабаев P.M. О порядке аппроксимации гиперсинзулярного интеграла по отрезку действительной прямой. -Деп. в АзНИИНТИ 18 апреля 1983 г., В 65Аз-Д83..

8. Бабаев P.M. Интерполяционная квадратурная формула для сингулярного интеграла Адамара. Деп. в АзНИИНТИ26 сентября 1983 г., А 114 АзД83. 9. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: «Наука», 1975, 632 с..

9. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость.М.: ИЛ, 1958..

10. Бойков Б. В. Приближенное решение особых интегральных уравнений. ДАН СССР, 1975, т.224, № 6, с.1241−1244..

11. Вертгейм Б, А. Приближенное вычисление некоторых сингулярныхинтегралов. Сб. «Исследования по современным проблемам ТШГ, М.: Физматшз, 1961, с.450−454..

12. Габдулхаев Б. Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. -Математический анализ, т.18..

13. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейныхзадач. Казань: Изд-во Казанского университета, 1980, 232 с..

14. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: «Наука», 1977, 640 с..

15. Гахов Ф. Д., Фесчиев М. Х. О приближенном вычислении сингулярных интегралов. Изв. АН БССР, 1977, № I..

16. Гопенгауз И. Е. К теореме А. Ф. Тимана о приближении функциймногочленами на конечном отрезке. Мат. заметки, 1967, т.1, № 2, с.163−172..

17. Гур-Мильнер С.Н. Интерполяционно-квадратурная формула длявычисления сингулярного интеграла, встречающегося в теории несущей поверхности. Сб." Прикл. и вычисл. математика в судостроении", Ленинград, 1981, с.75−82..

18. Гусейнов А. И. Об одном классе нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Изв. АН СССР, сер.физ.-мат.н., 1948, т.12, № 2, с.193−212..

19. Гусейнов А. И., Мухтаров Х. Ш.

Введение

в теорию нелинейныхсингулярных интегральных уравнений. М.:" Наука", 1980, 416 с..

20. Даугавет И. К.

Введение

в теорию приближения функций. Л.:Изд-во ЛГУ, 1977, 184 с..

21. Дудучава Р. В. 0 сингулярных интегральных операторах в пространстве Гельдера с весом. ДАН СССР, 1970, т.191, }Ь I, с. 19..

22. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение кчисленному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: «Наукова думка», 1968, 287 с..

23. Иванов В. В. Метода приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Математический анализ, 1963 (итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М., 1965, с.125−177..

24. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости.М.: «Наука», 1973..

25. Корнейчук A.A. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов. Доп. к ЖВМ и МФ, 1964, т.4, М, с.64−74..

26. Кулиев Р. Д., Муоаев Б. И. О сходимости интерполяционных квадратурных формул, содержащих производные, для сингулярных интегралов. ДАН Азерб. ССР, 1978, т.34, й 4..

27. Кустов Ю. А. Приближенное вычисление сингулярных интеграловпо отрезку действительной прямой. ДАН Азерб. ССР, 1979, т.35, № I, с.14−20..

28. Лифанов И. К., Полонский Я. Б. Обоснование численного методадискретных вихрей" решения сингулярных интез> ральных уравнений. ПММ, 1975, т.39, вып.4, с.742−746..

29. Маковоз Ю. И., Шешко М. А. Об оценке погрешности квадратурнойформулы для сингулярного интеграла. Изв. АН БССР, сер.физ.-мат.н., 1977,)? 6, с.36−41..

30. Михайлов Л. Г. Об одной формуле обращения. ДАН Тадж. ССР, 1976, XIX, Я I, с.3−7..

31. Муратшаева Э. Д., Мусаев Б. И. О сходимости квадратурных процессов для сингулярных интегралов по отрезку. Уч. записки МБ и ССО Азерб. ССР, сер.физ.-мат.н., 1978, № 3, с.64−73..

32. Муратшаева Э. Д. Квадратурные формулы для особого интегралас ядром Коши по отрезку прямой. Кандидатская диссертация, Баку, 1979..

33. Мусаев Б. И. Квадратурные формулы для особого интеграла поотрезку действительной прямой. Изв. вузов Математика, 1977, В 8, с.56−57..

34. Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения. М.:Наука", 1968, 512 с..

35. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: «Наука», 1979,256 с..

36. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды.М.: «Наука», 1981, 800 с..

37. Пыхтеев Г. Н. О квадратурных формулах для интегралов типаКоши по прямолинейному разомкнутому контуру и метода оценки их погрешности. Изв. АН БССР, сер.физ.-мат.н., 1969, № 5, с.55−63..

38. Рубин Б. С. Об операторах типа потенциала в весовых пространствах. ДАН СССР, 1972, 207, № 2, с.3−12..

39. Русак В. Н., Шешко М. А. О приближении сингулярных интеграловинтегралами с полиномиальной плотностью. -Изв. физ.-мат.н., 1969, $ I..

40. Садырханов P.C. Решение одного класса нелинейных сингулярныхинтегральных уравнений методом квадратур. -Изв. АН Азерб. ССР, 1978, Ш 6,. с.30−36..

41. Сакалюк К. Д., Няга В. И. Обращение одного сверхсингулярногоинтеграла с ядром Коши-Абеля. Исслед. по функц. анализу и диф. уравнениям, мат.н., Кишинёв, 1981, с.85−93..

42. Салаев В. В. Некоторые свойства особого интезтрала. Уч.зап.А1У им. С. М. Кирова, сер.физ.-мат.н., 1966, № 6.44. Раджабов ЭЛ.45. Раджа бов ЭЛ.46. Раджабов ЭЛ.47. Раджабов ЭЛ..

43. Салаев В. В. Сингулярный оператор Коши по разомкнутой кривой. Теорема Мусхелишвили. Уч.зап. МВ и ССО Азерб. ССР, сер. физ.-мат.н., 1976, В I..

44. Самко С. Г. Гиперсингулярнын интегралы и пространстваИзв. АН БССР, сер. физ.-мат.н., 1976, $ 2, с.34−41..

45. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярныеинтегралы с однородными характеристиками, их символы и обращение. Тр. МИАН СССР, 1980, т.156, с.157−223..

46. Саникидзе Д. Г. К вопросу оценки погрешности квадратурныхформул для некоторых сингулярных интегралов. -Сообщ. АН Груз. ССР, 1968, т.50, J6 3, с. 525 -530..

47. Саникидзе Д. Г. О порядке приближения некоторых сингулярныхоператоров квадратурными суммами. Изв. АН Арм. ССР, матем., 1970, т.5, Л 4, с.371−384..

48. Соболев С. Л.

Введение

в теорию кубатурных формул. М.: «Наука», 1974, 808 с..

49. Стейн Н. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойствафункций. М.: «Мир», 1973..

50. Теляковский С. А. Две теоремы о приближений алгебраическимимногочленами. Мат.сб., 1966, т.70 (112), $ 2, с.252−265..

51. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960..

52. Турецкий А. Х. Теория интерполирования в задачах. М.: «Hayка», 1968..

53. Шарапов Р. Н. Некоторые вопросы оптимизации квадратурныхформул для сингулярных интегралов. Изв. вузов, матем., 1982, № 4, с.81−84..

54. Шешко М. А. О порядке приближения сингулярных интегралов состепенно-логарифмической особенностью. ДАН БССР, 1976, т.20, № II..

55. Шешко A.M. О сходимости квадратурных процессов для сингулярных интегралов. Изв. вузов, матем., 1976, № 12 (175)..

56. Эшли X., Лэндал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1969..

57. Icllm. W.E.A. 77-еог^ of Llf-eCn-g SuK-fixczs Os<2.s en. Ol Su-isonlc Si-ce.cc/n. j ARC t oun-t A7em., M> 3SS?, ?95? ..

58. Mites T.M.} 1/аг^а. A.K. Л new ргоо/. о/.

59. ЛTe CjC^KO 1rs К С S OuJbfi^ODZL/riCiA'oft-Iknoxjztri. S+ud. S et, Mctak. 1-Lu.n.Q .m (me), Mi-wt. *69. PcL^ee b.p. 7/4el-Lo-dcKfTLcULci й’т-Yeрал,^ LH.-Le.oia-?S. AWt. Modk.}ISSiJ v.3Q) tfity} p. Ш Vf* ..