Свойства вербальных подгрупп, автоморфизмы и линейные представления некоторых групп преобразований

В работе исследуются группы, построенные при помощи групповых конструкций (свободные произведения с объединением, 1Ш]М—расширения, полупрямые произведения и др), группы автоморфизмов свободных групп и свободных модулей, фундаментальные группы компактных трехмерных многообразий, рассматриваются некоторые приложения алгебраических методов.

Первоначально группы появились как группы преобразований, вначале конечных множеств, а потом и бесконечных Затем стали изучать преобразования и других множеств Изучение преобразований векторных пространств привело к появлению линейных групп Позднее стали изучаться группы автоморфизмов различных алгебраических систем В последние десятилетия появились и активно изучаются классы гиперболических и автоматных групп, которые можно рассматривать как группы преобразований метрических пространств и группы преобразований слов над некоторым алфавитом [25, 32, 34, 41, 70, 93].

Изучение группы кос и группы сопрягающих автоморфизмов относится к важному направлению в подгрупповом описании группы автоморфизмов свободной группы Для вербальных подгрупп произвольной группы традиционно вызывают интерес вопросы вычисления ширины вербальных подгрупп и длины элементов относительно тех или иных подмножеств.

Напомним, что вербальной подгруппой У{0) группы ?7 относительно множества теоретико-групповых слов V называется подгруппа, порожденная множеством значений слов из V на группе С, т. е.

V © = гр (у (дид2,, дф)) || г> € V, дев) см [25, с 143]) Шириной wld (Gr, V) вербальной подгруппы У ((?), относительно множества слов У, называется наименьшее т. е N и {+оо} такое, что всякий элемент подгруппы У (С?) записывается в виде произведения < т значений слов из У*1.

Термин «ширина» введен Ю И Мерзляковым (1967) в работе [40] (см также [41, § 12]), хотя ширина вербальных подгрупп исследовалась и в более ранних работах Так Шода (1936) (см [123]) изучал коммутаторную ширину группы SLn (F) для алгебраически замкнутого поля F Ширина вербальных подгрупп исследовалась также в работах Г Хигмана, Б Нейман и X Нейман (1949) [99], Ито (1951) [100], Ф Холла (1959)[95] и многих других авторов.

Наиболее общий результат о ширине вербальных подгрупп принадлежит Ю й Мерзлякову [40] всякая вербальная подгруппа алгебраической группы G < GLn (Q), где Q — алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подполем, имеет конечную ширину относительно любого слова v В других работах выбирались конкретные группы G', слова v и давались оценки ширины wid (G, v).

Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v = х~1у~1ху Так, например, Томпсон [132] доказал, что если F — поле, то wid (GLn (i?), v) = 1, wid (SLn (F), г-) < 2 при любом п > 2 Гоу [92] доказал, что ширина wid (Sp2n (i?), v) коммутанта симплек-тической группы не превосходит 2 при любом п > 1.

Ито [100] доказал, что при п > 5 всякий элемент из коммутанта симметрической группы Sn является коммутатором Ope [116] обобщил этот результат на группу подстановок счетного множества.

Отметим, что проблема вычисление ширины симметрической и знакопеременной группы, а также линейной группы над конечным полем представляет интерес для криптографии (см [13]).

Можно показать [144, лемма 1], что ширина wid (G, V), вообще говоря, зависит от множества V, а не только от подгруппы V (G) Поэтому, говоря о наиболее употребительных вербальных подгруппах, мы будем иметь в виду ширину относительно их естественного задания, например, для коммутанта — относительно коммутатора [х, у] = х~гу~гху, а для s-й степени — относительно слова xs.

Многие авторы изучали следующий вопрос как меняется ширина вербальных подгрупп при различных групповых конструкциях, т е если, А и В — группы, G — группа, полученная из, А и Б при помощи некоторой групповой конструкции (свободное произведение с объединением, HNN-расширение, расширение, сплетение и т д), то как выражается ширина wid (G, V) через wid (.A, V) и.

В этом направлении Ремтулла [118,119] доказал, что 1) в нетривиальном свободном произведении, А * В ширина всякой собственной вербальной подгруппы v (A * В) относительно слова v бесконечна тогда и только тогда, когда |А|>3 и |В|>2, 2) коммутант любой конечно порожденной разрешимой группы ступени разрешимости < 3 имеет конечную ширину Вопрос M И Каргаполова, справедлив ли этот результат для произвольной конечно порожденной разрешимой группы, остается открытым (см [30, вопрос 4 34]), хотя доказано [48], что ширина всякой вербальной подгруппы полициклической группы конечна.

В работах X С Аламбергенова и В, А Романькова [2], а также Акхаван-Малаери и Ремтуллы [59] найдена ширина коммутанта свободной нильпотент-ной группы Е Г Смирнова [52] исследовала ширину вербальных подгрупп относительно слов хт, т 6 М, в свободной двуступенно нильпотентной группе N² ранга п Она доказала, что шд.(ЫПг2, х2к) — 2[та/2] + 1 при п > 2, к > 1 и •тс^-АТ^г, х2к+1) = 1 при всех натуральных пик.

Далее будем считать, что V — конечное, собственное (т е вербальная подгруппа нетривиальна и отлична от всей группы ^г) множество слов.

Ширина вербальных подгрупп свободных произведений с объединением исследовалась в работах Р И Григорчука [15], И В Добрыниной [21], а также В, А Файзиева [85] Наиболее общий результат принадлежит В, А Файзиеву если б? = А *и В и число двойных смежных классов, А по V не меньше 3, а |В и > 2, то ширина тек!(С, V) бесконечна (В этом случае будем говорить, что С? не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины).

Другой подход к вычислению ширины вербальных подгрупп предложил Р И Григорчук [15] Используя связь между второй группой ограниченных когомологий группы С? и шириной коммутаторных вербальных подгрупп группы С, он получил частичный ответ на вопрос из препринта [143], а точнее, доказал, что если группа С = А*иВ удовлетворяет условиям из предыдущего абзаца, а У — коммутаторное множество слов, то ширина V) бесконечна Кроме того, Р И Григорчук изучал ширину вербальных подгрупп ЕШК-расширений относительно коммутаторного множества слов.

Обобщением понятия ширины вербальной подгруппы является понятие ширины группы относительно фиксированного множества порождающих Если (7 — некоторая группа, порожденная множеством А, то всякий элемент д Е С? представим в виде д = а{гае22 аек е А, е, = ±1 (1).

Ясно, что такое представление не единственное Длиной (или А-длиной) 1а (э) элемента д относительно множества, А называется длина кратчайшего представления (1) Шириной группы (? относительно множества порождающих, А называется.

Адпс1((?, А) = вир деа1А (д), т е наибольшая длина элемента д, если такой элемент существует и «тс1((7, А) = оо в противном случае.

Если мы рассмотрим свободную группу ^ с конечным или счетным множеством порождающих X = {х^х2, }, то длина произвольного элемента из Р относительно множества X находится довольно легко Проблема вычисления длины относительно других множеств порождающих может оказаться нетривиальной задачей Так Р И Григорчук и П Ф Курчанов [17] построили алгоритм, позволяющий вычислять длину 1у{д) произвольного элемента д € Р относительно множества.

У = {Г1^/ | т е й,/6 2^ = 1,2, }.

А Ю Ольшанский [115] отметил связь проблемы вычисления длины в свободной группе с проблемой равенства слов в некоторой группе Пусть Рп — свободная группа степени п с множеством свободных порождающих ж2,, хп и Л = {г!, г2,, гт} — некоторое множество слов из Р Введем множество.

2 = {Г / I Л е 2, / е Рп, г = 1, 2,, т}.

Очевидно, группа {2^) совпадает с нормальным замыканием множества Л в группе Рп Если элемент д из Рп не лежит в группе (И), то положим 1 г (д) = °о, А Ю Ольшанский доказал, что алгоритм вычисления? Г-длины в группе Рп существует тогда и только тогда, когда в группе гр (ж1)ж2,, жп||гь г2], гт) разрешима проблема равенства.

Символом с (д) будем обозначать коммутаторную длину неединичного элемента д из коммутанта С группы (7, те с (д) = 1к (д), где К — множество коммутаторов в группе.

Вопрос о вычислении коммутаторной длины в произвольной группе С? сформулировал М Громов [94, р 145] В частности, он спрашивал как связана с1(д) и с (дт) для натурального т я д Е С.

По-видимому, первый алгоритм вычисления коммутаторной длины в свободной группе был построен Голдстейном и Тернером [90] Затем Каллер [77] дал другой алгоритм вычисления коммутаторной длины, который может быть использован не только для свободных групп, но и для свободных произведений Кроме того, он установил, что если о и 6 — свободные порождающие свободной группы Р2, то для всякого натурального т справедливо равенство с1([а, Ь]т) = [т/2] + 1 Еще один алгоритм вычисления коммутаторной длины можно извлечь из работы, А Ю Ольшанского [46] Все эти алгоритмы, в той или иной степени, используют геометрические соображения графы в работе [90], диаграммы на ориентируемых поверхностях в работах [77] и [46].

Из других результатов отметим следующие Шютценберже [124] установил, что если 2т^еи7П>1,то сЦг" 1) > 1 Отвечая на вопрос Эдмундса и Розенберге-ра (см [82]), в работе [75] установлено, что при т > 3 для всякого неединичного г € Р1' справедливо неравенство с (гт) > 2 В этой же работе описаны все элементы, имеющие коммутаторную длину 2, а в работе, А Вдовиной [134] построен алгоритм, позволяющий находить слова заданной коммутаторной длины Дункан и Хоуе [80] установили неравенство с1(гт) > (т 4- 1)/2 К сожалению, эта оценка не зависит от коммутаторной длины самого элемента г.

Некоторые авторы изучали вербальные подгруппы в группе кос Группа кос Вп была введена Э Артином в 1925 г Группа Вп задается множеством порождающих сгх, сг2,, сгп1 и определяется соотношениями.

Группа Вп широко используется в теории узлов, так как проблема классификации узлов сводится (по теореме, А А Маркова) к ряду алгебраических проблем, связанных с группами Вт п — 1,2, А, А Марков [37] построил нормальную форму слов в группе Вп.

Г С Маканина сформулировал следующий вопрос «Построить косу, принадлежащую коммутанту группы кос и не являющуюся коммутатором» (см [30, вопрос 6 22]) Ю С Семенов [50] указал в В3 элемент, равный произведению двух коммутаторов и не сводящийся к одному коммутатору Н Н Репин [47] показал, что относительно слова [ж, у] коммутанты групп В3 и В4 имеют бесконечную ширину, а затем В Г Дурнев и В К Шалашов [23] установили, что и любая собственная вербальная подгруппа этих групп, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину Их доказательство основано на том, что группы ??3 и В4 допускают гомоморфизм на свободное произведение^з, а всякая собственная вербальная подгруппа свободного произведения А* В, А > 2, |В > 3, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину При п > 5 гомоморфизма группы Вп на такое свободное произведение не существует [22], поэтому необходимы существенно иные соображения.

Группа кос Вп вкладывается в группу автоморфизмов Аи1-(.Р") Как установил Э Артин [66, теорема 1 9], автоморфизм /3 из принадлежит группе кос Вп тогда и только тогда, когда ?3 удовлетворяет следующим двум условиям где 7 г — некоторая подстановка из, а а,? Рп.

Автоморфизмы, удовлетворяющие условию 1), называются сопрягающими автоморфизмами Группа сопрягающих автоморфизмов обозначается символом Сп Сопрягающий автоморфизм, действующий тождественно по модулю коммутанта называется сопрягающим базис автоморфизмом Маккул [109] доказал, что группа сопрягающих базис автоморфизмов СЪп порождается автоморфизмами бгу, 1 < г ф 2 <п ага1+1аг —аг+1(7гаг+х, г = 1, 2,, п- 2, ага3 — о-3аг, [г-^|>2.

1) Р (хг) = аг 1Хп (г)аг, 1 < г < п,.

2) /3(хгх2 хп) = хгх2 хп, при г ф з, при I ф г, и нашел систему определяющих соотношений группы СЬп Так как группа Сп является обобщением группы кос Вп, то естественно ожидать, что многие свойства группы кос переносятся и на группу Сп.

Вопрос о линейности (т е о точной представимости конечномерными матрицами над полем) групп кос сформулировал Бурау в 1936 г Линейность группы В3 доказал В Магнус (см [66, теорема 3 15]) Вопрос о линейности групп Вп при п > 4 почти 65 лет оставался открытым Долгое время существовала гипотеза о том, что представление Бурау является точным В 1991 г Муди [110] опроверг эту гипотезу, построив нетривиальный элемент, лежащий в ядре представления Бурау группы Вп при п > 9 Позднее Лонг и Патон [107] показали, что представление Бурау не является точным уже при п > 6, а Бигелоу [63] снизил эту границу до 5 Вопрос о точности представления Бурау группы В4 до сих пор остается открытым.

Лоуренс [106] построила новые представления группы кос Вп, а в работах Крамера [104] и Бигелоу [64] показано, что одно из этих представлений является точным Следовательно, группы кос являются линейными При этом известно, что сама группа не является линейной при п > 3 (см [87]).

Группа кос Вп является подгруппой группы Сп Поэтому естественно сформулировать вопрос (см [30, вопрос 15 9]) о линейности группы Сп при п > 3 (группа Сг — Ъ * а потому линейна).

Хорошо известно (см, например, [25, с 25]), что всякая матрица из общей линейной группы СЬП (.Р) над полем? представима в виде произведения элементарных трансвекций и диагональной матрицы, причем из самого доказательства легко вытекает оценка числа элементарных трансвекций, требующихся для такого разложения Это число зависит только от п и не зависит от самой матрицы Много работ посвящено вычислению ширины линейных групп относительно различных множеств порождающих Перечислим некоторые из них Картер и Келлер [71] доказали, что ширина группы ЗЬП (0), где О — кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных трансвекций конечна В работе С И Адяна и Меннике [58] дано более простое доказательство этого факта для случая, когда О — кольцо целых рациональных чисел Ъ К X Закирьянов [24] установил конечность ширины симплектической группы 3р2п (0), п > 3, относительно множества элементарных матриц Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом О получил О Н Тавгень [54] С другой стороны, ван дер Каллен [102] доказал, что если? — поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым подполем, то группа ЗЬп (?[х]) при п > 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций.

Так как группа матриц СЬП (Д) над кольцом Д изоморфна группе автоморфизмов СЬП (М) свободного п-мерного модуля М = Д", то естественно изучать разложения автоморфизмов из СЪП (М) в произведение простых автоморфизмов, которые в случае коммутативного кольца Л исчерпываются трансвекциями и дилатациями Теорема Дьедонне [78] утверждает, что если V — п-мерное векторное пространство над полем то всякое преобразование, а е ОЬ".(У), не являющееся большой дилатацией, представимо в виде произведения < п — 1 трансвекций и одного простого преобразования, если же, а является большой дилатацией, то она представима в виде произведения < п трансвекций и одного простого преобразования В работе [139] было получено обобщение теоремы Дьедонне для группы автоморфизмов СЬп (М) свободного п-мерного модуля М =¦ ВТ" над некоторым кольцом Л В качестве следствия установлено, что ширина группы БЬотносительно множества коммутаторов не превосходит 10 при всех п > 3 (Известно, что при п = 2 эта ширина бесконечна) Тем самым улучшена оценка М Ньюмена [113] ширина группы БЬП (Ж) не превосходит с1п (п) + 40, где с = 21п (3/2) Отметим, с другой стороны, что для достаточно больших п эта ширина < 4 (см [133]).

Для произвольной группы (?, содержащей элементы конечного порядка к, можно поставить вопрос об описании элементов из С? представимых в виде произведения элементов порядка к В частности, если I — некоторое натуральное число, то возникает вопрос об описании элементов из (7 имеющих длину < I относительно множества элементов порядка к.

Ряд работ посвящен ответу на этот вопрос в знакопеременной группе Ап Так Моран [111] доказал, что в Ап при п > 2 не всякий элемент представим в виде произведения двух инволюций из Ап, хотя всякий элемент представим в виде произведения двух элементов порядка 3 (см [60]) В работе [69] доказано, что всякий элемент из Ап при п > 15 представим в виде произведения двух элементов порядка 5.

Исходя из этих результатов Бреннер и Эванс [69] сформулировали проблему описания четных подстановок, представимых в виде произведения двух подстановок порядка к, к > 4 В частности, они сформулировали следующие гипотезы Гипотеза 1. При любых целых к > 4 и т > 1 всякий элемент группы АКт представим в виде произведения двух подстановок, каждая из которых в разложении на независимые циклы состоит из т циклов длины к.

Гипотеза 2. Пусть к ~ простое натуральное число, сравнимое с 1 по модулю 4 Тогда никакая подстановка, имеющая циклический тип не является произведением двух подстановок порядка к в группе.

Гипотеза 3. Пусть к — простое натуральное число, к > 7 Тогда никакая подстановка, имеющая циклический тип 312и2 не является произведением двух подстановок порядка к в группе.

Справедливость первой гипотезы была доказана при к — А, т > 1 я к > Ь, т = 1 (см [68], [62]) В полном объеме справедливость первой гипотезы установлена в работе автора [137] Справедливость второй гипотезы была установлена при к = 5 в работе [69] Там же было отмечено, что при к = 7 справедливость третьей гипотезы была проверена Листом, который использовал таблицу характеров и компьютерные вычисления.

Фундаментальные группы компактных двумерных многообразий хорошо известны [38] и достаточно подробно изучены В то же время [28, § 5 1] для п > 4 каждая конечно определенная группа может быть реализована как фундаментальная группа некоторого замкнутого ориентируемого гг-многообразия Случай трехмерных многообразий является наиболее сложным, поскольку, как показал Столлингс [128], не существует алгоритма, позволяющего по конечному генетическому коду группы определить является ли данная группа фундаментальной группой некоторого трехмерного многообразия.

Проблема распознавания групп трехмерных многообразий представляет интерес как для трехмерной топологии (фундаментальная группа многообразия является одним из его важнейших инвариантов), так и для теории групп, поскольку зная, что группа является фундаментальной группой трехмерного многообразия, мы можем получить информацию о ее строении В частности, если С — фундаментальная группа трехмерного многообразия постоянной отрицательной кривизны, то она является гиперболической по Громову и тогда в (7 разрешимы проблема равенства, проблема сопряженности и некоторые другие проблемы.

Кавикиоли, Хегенбарт и Реповш [72] ввели класс групп Сп (га, А-), п 6 М, т, к ей.

Сп (т,/с) = гр (хьЖ2,, ас" || хгхг+т = х1+к, г = 1,, п), где все индексы берутся по модулю п и принимают значения из множества {1,2,, п}.

Отметим, что класс групп Сп (т, к) содержит многие известные и активно изучавшиеся ранее группы При то = 1, к — 2 имеем С7П (1, 2) =, Р (2, п) — группы Фибоначчи, введенные Конвеем в [76] Как показали Хеллинг, Ким и Менни-ке [98], если п > 4 четно, то ^(2, п) являются фундаментальными группами трехмерных многообразий Более того, при п > 8 эти многообразия являются гиперболическими С другой стороны, как заметил Маклахлан [108], если п нечетно, то Р (2, п) не может быть фундаментальной группой гиперболического трехмерного орбифолда (в частности, многообразия) конечного объема Асферичность и аторичность широкого класса обобщенных групп Фибоначчи были исследованы Прищеповым [117] При т = 2, к = 1 имеем Сп (2,1) = 5(п) -группы Сирадски, изучавшиеся в [125], где было показано, что они являются фундаментальными группами трехмерных многообразий.

Кроме того, в работе [72] сформулирован следующий вопрос являются ли группы Сп (т, к) фундаментальными группами трехмерных многообразий7.

Следуя, А И Мальцеву [36], будем говорить, что подгруппа Н группы (7 финитно отделима от элемента д е С Н, если существует гомоморфизм </? группы (? в некоторую конечную группу, при котором (р (д) 0 <�р (Н) Подгруппу, которая отделима от всех не входящих в нее злементов, называют финитно отделимой Рассматривая вместо гомоморфных отображений на конечные группы гомоморфизмы в группы какого-либо другого класса /С, придем к определению отделимости в классе К Проблема финитной отделимости подгрупп тесно связана с проблемой вхождения элементов в подгруппу [36].

Из результата М Холла [96] следует, что любая конечно порожденная подгруппа свободной группы является финитно отделимой Д И Молдаванский сформулировал следующий.

Вопрос ([30, вопрос 15 60]) Верно ли, что любая конечно порожденная р1-изолированная подгруппа свободной группы отделима в классе конечных р-групп?

В пользу этой гипотезы говорит результат Е Д Логиновой [33, § 3] о том, что во всякой конечно порожденной нильпотентной группе любая р'-изолиро-ванная подгруппа отделима в классе конечных р-групп.

Цель работы. Целью диссертации является исследование вербальных подгрупп в некоторых классах групп, в частности, вычисление ширины вербальных подгрупп и вычисление длины элементов относительно различных множеств порождающих, изучение различных обобщений групп кос (группы Артина, группы сопрягающих автоморфизмов, группы кос многообразий), решение ряда известных проблем теории групп, сформулированных такими математиками, как П де ля Арп, Бреннер, М Громов, Кавикиоли, Д И Молдаванский, Розенбер-гер и др

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории групп, теории линейных групп, маломерной топологии, методы классической алгебры, теории дифференциальных уравнений и теории обратных задач математической физики.

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на всесоюзных и международных конференциях в Свердловске (1989), в Красноярске (1993, 2002), в Омске (1995), в Санкт-Петербурге (1997), в Новосибирске (2000, 2004), в Туле (2001, 2003), в Екатеринбурге (2001), в Гаете (Италия, 2003), в Варшаве (2003), в Москве (2003, 2004) Они обсуждались на специализированных семинарах «Эварист Галуа», «Теория групп», «Алгебра и логика» (ИМ СО РАН и НГУ), на семинаре по алгебре в Красноярском университете, на семинаре по теории групп в МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1136]—[160].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на 26 параграфов, содержит 6 рисунков, 6 таблиц и изложена на 206 страницах Список литературы содержит 160 наименований.

1. Адельсон-Вельский Г М, Шрейер Ю, А Банахово среднее на группах, УМН, 12, № 6 (1957), 131−136.

2. Аламбергенов X С, Романьков BAO произведениях коммутаторов в группах, Деп в ВИНИТИ, 1985, N° 4566-В85.

3. Аниконов Ю Е, Амиров, А К, Теорема единственности решения обратной задачи для кинетического уравнения ДАН СССР, 272, № 6 (1983), 12 921 293.

4. Аниконов Ю Е, Пестов Л Н, Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии Новосибирск, изд-во НГУ, 1990.

5. Де ля Арп П, Григорчук Р И, Чекарини-Сильберстайн Т Аменабельность и парадоксальные разбиения для псевдогрупп и дискретных метрических пространств, Труды МИАН, 1999, 224, 68−111.

6. Безверхний В Н Неразрешимость проблемы вхождения в группах Артина конечного типа, Сиб матем ж, 26, № 5 (1985), 27−42.

7. Безверхний В Н, Добрынина И В Решение проблемы конечной ширины в группах Артина с двумя образующими, Чебышевский сборник, Тула, 3, № 1 (2002), 11−16.

8. Бердон, А Геометрия дискретных групп, М, Наука, 1986.

9. Брискорн Э, Сайто К Группы Артина и группы Кокстера, Математика Сб переводов, 18, № 6 (1974), 56−79.

10. Бурбаки Н Группы и алгебры Ли, М Мир, гл IV-VI, 1972.

11. Ван дер Варден Б Л Алгебра, М Наука, 1979.

12. Винберг Э Б, Шварцман О В Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, Т 29 Геометрия-2, М, ВИНИТИ, (1988), 147−259.

13. Глухов М М, Зубов, А Ю О длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих, Матем вопросы киберн, № 8 (1999), 5−32.

14. Григорчук Р И Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных средних, Изв АН СССР, Сер математическая, 48, № 5 (1984), 939−985.

15. Григорчук Р И Ограниченные когомологии групповых конструкций, Ма-тем заметки, 59, № 4 (1996), 546−550.

16. Григорчук Р И, Курчанов П Ф Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией, Итоги науки и техники Соврем пробл матем Фундам направления, M, 1990, 58, 191−256.

17. Григорчук Р И, Курчанов П Ф О ширине элементов в свободных группах, Укр матем журн, 43, N° 7−8 (1991), 911−918.

18. Гринблат BAO коммутаторных уравнениях в группах Артина конечного типа, Международн конф по алгебре Тез докл по теории групп, Новосибирск, 1989, 37.

19. Гринлиф Ф Инвариантные средние на топологических группах, M, Мир, 1973.

20. Джураев Т Д, Попелек Я О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка, Диффе-ренц уравнения, 27, N° 10 (1991), 1734−1745.

21. Добрынина ИБО ширине свободных произведений с объединением, Матем зам, 68, К" 3 (2000), 353−359.

22. Дурнев В Г О ширине коммутанта групп кос В3 и Деп в ВИНИТИ, 1987, № 4040-В87.

23. Дурнев В Г, Шалашов В К О ширине коммутанта групп кос В3 и ??4, 19-я Всесоюзн алгебр конф Львов, 1987, 89.

24. Закирьянов К X Конечность ширины симплектической группы над кольцами алгебраических чисел относительно элементарных матриц, Алгебра и логика, 24, № 6 (1985), 667−673.

25. Каргаполов M И, Мерзляков Ю И Основы теории групп, 4-е изд, M, Наука, 1996.

26. Коксетер Г С, Мозер У О Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп, M Наука, 1980.

27. Козлов Г Т Строение группы Aut (F2), Алгебра, логика и приложения, Иркутск, Иркутский гос ун-т, 1994, 28−32.

28. Коллинз Д, Цишанг X Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, Т 58 Алгебра-7, M, ВИНИТИ, 1990, 5−190.

29. Кострикин, А И Введение в алгебру, М, Наука, 1977.

30. Коуровская тетрадь Нерешенные вопросы теории групп, 15-е изд, Новосибирск, Ин-т матем СО РАН, 2002.

31. Курош, А Г Курс высшей алгебры М Наука, 1968.

32. Линдон Р, Шупп П Комбинаторная теория групп, М Мир, 1980.

33. Логинова Е Д Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами, Сиб матем журн, 40, К0 2 (1999), 395−407.

34. Магнус В, Каррас, А, Солитэр Д Комбинаторная теория групп, М, Наука, 1974.

35. Мальцев, А И Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами, Матем сб, 8, № 3 (1940), 405−422.

36. Мальцев, А И О гомоморфизмах на конечные группы, Учен зап Ива-новск пед ин-та, 18, Я0 5 (1958), 49−60 (или «Избранные труды», т 1, Классическая алгебра, 1976, 450−462).

37. Марков, А А Основы алгебраической теории кос, Тр МИАН, 1945, 16, 1−54.

38. Масси У, Столлингс Дж Алгебраическая топология Введение, М, Мир, 1977.

39. Мерзляков Ю И Позитивные формулы на свободных группах, Алгебра и логика, 5, № 4 (1966), 25−42.

40. Мерзляков Ю И Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп, Алгебра и логика, 6, № 1 (1967), 83−94.

41. Мерзляков Ю И Рациональные группы, 2-е изд, М Наука, 1987.

42. Молдаванский Д И О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением, Сиб матем журн, 6, № 6 (1967), 1370−1384.

43. Нейман X Многообразия групп, М Мир, 1969.

44. Олвер П Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям М Мир, 1989.

45. Ольшанский, А Ю Геометрия определяющих соотношений в группах, М, Наука, 1989.

46. Ольшанский, А Ю Диаграммы гомоморфизмов групп поверхностей, Сиб матем ж, 30, JV0 6 (1989), 150−171.

47. Репин Н Н О коммутаторных уравнениях в группах В3 и В4 Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп Тула, 1986, 114−117.

48. Романьков BAO ширине вербальных подгрупп разрешимых групп, Алгебра и логика, 21, № 1 (1982), 60−72.

49. Савушкина, А Г О группе сопрягающих автоморфизмов свободной группы, Матем заметки, 60, № 1 (1996), 92−108.

50. Семенов Ю С О коммутаторах в группах кос 10-й Всесоюзн симп по теории групп Минск, 1986, С 207.

51. Скотт П Геометрии на трехмерных многообразиях, М, Мир, 1986.

52. Смирнова Е Г Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два, Сибир матем журн, 41, № 1 (2000), 206−213.

53. Стоилов С Теория функций комплексного переменного, М, Ин лит, 1962, Т 2.

54. Тавгень О Н Ограниченная порождаемость групп Шевалле над кольцами 5-целых алгебраических чисел, Известия АН СССР, Сер математическая, 54, № 1 (1990), 97−122.

55. Тихонов, А Н, Самарский, А А Уравнения математической физики М Наука, 1966.

56. Улам С Нерешенные математические задачи Современные проблемы математики М Наука, 1964.

57. Файзиев В, А Псевдохарактеры на свободных группах, Известия АН, серия матем, 58, № 1 (1994), 121−143.

58. Adian S I and Mennicke J On bounded generation of SLn (Z), Inter J Algebra and Comput, 2, № 4 (1992), 357−365.

59. Akhavan-Malayeri M and Rhemtulla A Commutator length of Abelian-by-nilpotent groups, Glasg Math J, 40, № 1 (1998), 117−121.

60. Baginski C On sets of elements of the same order m the alternating group An, Publ Math, 34, № 3−4 (1987), 313−315.

61. Bavard, C Longueur stable des commutateurs, Enseign Math, II Ser 37, № ½ (1991), 109−150.

62. Bertram E Even permutations as a product of two conjugate cycles, J Comb Theory, A12, № 2 (1972), 368−380.

63. Bigelow S The Burau representation of B5 is not faithful, Geom Topology, 3, (1999), 397−404.

64. Bigelow S Braid groups are linear, J Amer Math Soc, 14, № 2 (2001), 471 486.

65. Bigelow S and Budney R D The mapping class group of a genus two surface is linear, Algebr Geom Topol 1, (2001), 699−708.

66. Birman J S Braids, links and mapping class group, Prmceton-Tokyo Umv press, 1974.

67. Bogley W A and Pride S J Aspherical relative presentations, Proc Edmburg Math Soc, 35, (1992), 1−39.

68. Brenner J L and Riddell J Covering theorems for finite nonabelian simple groups VII, Asymptotics m the alternating groups, Ars Combm, 1 (1976), 77−108.

69. Brenner J L and Evans R J Even permutations as a product of two elements of order five, J Comb Theory, A45, № 2 (1987), 196−206.

70. Bridson M R and Haefliger A Metric spaces of non-positive curvature, Grundl Math Wiss, 319, Springer-Verlag, Berlm-Heidelberg, 1999.

71. Carter D and Keller C Bounded elementary generation of SLn (0), Amer J Math, 103, № 3 (1983), 673−687.

72. Cavicchioli A, Hegenbarth F and Repovs D On manifold spines and cyclic presentations of groups, Knot Theory, Banach Center Publications, Warsaw, 42, (1998), 49−56.

73. Cavicchioli A, Hegenbarth F and Kim A C A geometric study of Sieradski groups, Algebra Colloquium, 5, № 2 (1998), 203−217.

74. Chalk C P Fibonacci groups with aspherical presentations, Commun m Algebra, 26, № 5 (1998), 1511−1546.

75. Comerford J A, Comerford L P, Jr and Edmunds C C Powers as product of commutators, Comunications in algebra, 19, № 2 (1991), 675−684.

76. Conway J Advanced problem 5327, Amer Math Monthly, 72, (1965), 915.

77. Culler M Using surfaces to solve equations m free groups, Topology, 20, N° 2 (1981), 133−145.

78. Dieudonne J Sur les generateurs des groupes classiques, Summa Brasill Math, 3, (1955), 149−179.

79. Djokovic D Z The structure of the automorphism group of a free group on two generators, Proc Amer Math Soc, 88, № 2 (1983), 218−220.

80. Duncan A J and Howie J The genus problem for one-relator products of locally mdicable groups, Math Z, 208, № 2 (1991), 225−237.

81. Dyer J L, Formanek E and Grossman E K On the linearity of automorphism groups of free groups, Arch Math, 38, № 5 (1982), 404−409.

82. Edmunds C C and Rosenberger R Powers of genus two m free-groups, CanadMath Bull, 33, № 3 (1990), 342−344.

83. Edjvet M On the asphericity of one-relator relative presentations, Proc Roy Soc Edinburgh, Ser A, 124, (1994), 713−728.

84. Fadell E and Van Buskirk J The braid groups of E2 and S2, Duke Math J, 29, № 2 (1961), 243−258.

85. Faiziev V A A problem of expressibility m some amalgamated products of groups, J Austral Math Soc, 71, (2001), 105−115.

86. F0lnerE On groups with full Banach mean value, Math Scand, 3, № 2 (1955), 243−254.

87. Formanek E and Procesi C The automorphism groups of a free group is not linear, J Algebra, 149, № 2 (1992), 494−499.

88. Gilbert N and Howie J LOG groups and cyclically presented groups, J Algebra, 174,№ 1 (1995), 118−131.

89. Gillette R and Van Buskirk J The word problem and consequences for the braid groups and mapping class groups of the 2-sphere, Trans Amer Math Soc, 131, № 2 (1968), 277−296.

90. Goldstein R Z and Turner E C Applications of topological graph theory to group theory, Math Z, 165, № 1 (1979), 1−10.

91. Goldstein R Z and Turner E C Counting orbits of a product of permutations, Discrete Math, 80, № 3 (1990), 267−272.

92. Gow R Commutators m the symplecticApplications groups, Arch Math, 50, № 3 (1988), 204−209.

93. Gromov M Hyperblic groups, m Essays m Group Theory, Ed S M Gersten, Math Sci Res Inst Publ 8, Springer, New-York, 1987, 75−263.

94. Gromov M Asymptotic invariants of infinite groups, London Nath Soc Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, 1993.

95. Hall P Some constructions for locally finite groups, J London Math Soc, 34, (1959), 305−319.

96. Hall M, Jr Coset representations in free groups, Tranc Amer Math Soc, 67, № 2 (1949), 421−432.

97. P de la Harpe, Topics m geometric group theory, Chicago Univ Press, 2000.

98. Hellmg H, Kim A C and Mennicke J L A geometric study of Fibonacci groups, Journal of Lie Theory, 8, (1998), 1−23.

99. Higman G, Neumann B H and Neumann H Embedding theorems for groups, J London Math Soc, 24, (1949), 247−254.

100. Ito N A A theorem of alternating group An (n > 5), Math Japon, 2, N° 2 (1951), 59−60.

101. Johnson D L Topics m the theory of group presentations, London Math Soc Lecture Notes Series, 42 Cambridge University Press, 1 980 102. van der Kallen W SL3(Ca-]) does not have bounded word length, Lect Notes, 366, 1982, 357−361.

102. Karras A and Solitar D The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup, Trans Amer Math Soc, 150, № 1 (1970), 227−255.

103. Krammer D Braid groups are linear, Annals of Math, 155, № 1 (2002), 131 156.

104. Krstic S and McCool J The non-finite presentability of IA (F3) and GL^Zfi,*-1]), Inven Math, 129, № 3 (1997), 595−606.

105. Lawrence R J Homological representation of the Hecke Algebra, Commun Math Phys, 135, № 1 (1990), 141−191.

106. Long D D, Paton M The Burau representation is not faithful for n > 6, Topology, 32, № 2 (1993), 439−447.

107. Maclachlan C Generalizations of Fibonacci numbers, groups and manifolds, London Math Soc Lecture Notes Series, 204, 1995, 233−238.

108. McCool J On basis-conjugating automorphisms of free groups, Can J Math, 38, № 6 (1986), 1525−1529.

109. Moody J A The Burau representation of the braid group Bn is unfaithful for large n, Bull Amer Math Soc, 25, № 2 (1991), 379−384.

110. Moran G Reflection classes whose cubes cover the alternating group, J Comb Theory, A21, № 1 (1976), 1−19.

111. Newman M Matrix completion theorem, Proc Amer Math Soc, 94, N° 1 (1985), 39−45.

112. Newman M Ummodular commutators, Proc Amer Math Soc, 101, N° 4 (1987), 605−609.

113. Odom R W K Some Diophantme problems arising m the theory of cyclically presented groups, Glasgow Math J, 41, № 2 (1999), 157−166.

114. Ol’shanskn, On calculation of width m free groups, London Math Soc Lecture Note Series, 204, Cambridge University Press, 1995, 255−258.

115. Ore S Some remarks on commutators, Proc Amer Math Soc, 2, (1951), 307−314.

116. Prischepov M I Asphericity, atoricity, and symmetrically presented groups, Commun m Algebra, 23, JY° 13 (1995), 5095−5117.

117. Rhemtulla AHA problem of bounded expressibility m free products, Proc Cambridge Phil Soc, 64, № 3 (1969), 573−584.

118. Rhemtulla A H Commutators of certain finitely generated solvable groups, Canad J Math, 21, № 5 (1969), 1160−1164.

119. Rosenblatt J M Invariant measures and growth conditions, Trans Amer Math Soc, 193, № 1 (1974), 33−53.

120. Servatius H Automorphisms of graph groups, J Algebra, 126, JV° 1 (1989), 34−60.

121. Servatius H, Droms C and Servatius B Surface subgroups of graph groups, Proc Amer Math Soc, 106, № 3 (1989), 573−578.

122. Shoda K Emige Satze uber Matnzen, J Math, 13, (1936), 361−365.

123. Shutzenberger M P Sur ?'equation a2+n = b2+mc2+p dans un group libre, C R Acad Sci Pans, 248, (1959), 2435−2436.

124. Sieradski A Combinatorial squashmgs, 3-manifolds, and the third homology of groups, Invent Math, 84, (1986), 121−139.

125. Soardi P M Potential theory of infinite networks, Lect Notes Math, 1590, Springer, 1994.

126. Squier C C On certain 3-generator Artm groups, Trans Amer Nath Soc, 302, № 1 (1987), 117−124.

127. Stallmgs J On the recursiveness of sets of presentations of 3-manifold groups, Fund Math, 51, (1962/63), 191−194.

128. Szczepanski A and Vesnin A On generalized Fibonacci groups with odd number of generators, Communication m Algebra, 28, № 2 (2000), 959−965.

129. Thomas R The Fibonacci groups F (2, 2m), Bull London Math Soc, 21, (1989), 463−465.

130. Thomas R The Fibonacci groups revised, London Math Soc Lecture Notes Series, 160, 1989, 445−456.

131. Thompson R C Commutators m the special linear and general linear groups, Trans Amer Math Soc, 101, № 1 (1961), 16−33.

132. Vaserstem L and Wheland E Commutators and companion matrices over rings of stable rank 1, Linear Algebra Appl, 142, № 1 (1990), 263−277.

133. Vdovma A A Constructing of orientable Wicks forms and estimation of their number, Comumcations m algebra, 23, № 9 (1995), 3205−3222.

134. Wicks M J Commutators m free products, J London Math Soc, 37, N° 4 (1962), 433−444Работы автора по теме диссертации.

135. Бардаков В Г К теории групп кос, Матем сб, 183, № 6 (1992), 3−42.

136. Бардаков В Г Разложение четных подстановок на два множителя заданного циклового строения, Дискр матем, 5, № 1 (1993), 70−90.

137. Бардаков В Г О разрешимости одного уравнения в свободной группе, Третья международная конференция по алгебре памяти М И Каргаполова Тезисы докладов, Красноярский государственный университет, Красноярск, 1993, 33−34.

138. Бардаков В Г О разложении автоморфизмов свободных модулей на простые множители, Известия РАН, серия математическая, 59, № 2 (1995), 109−128.

139. Бардаков В Г О вербальных подгруппах групп Артина, Фундам проб матем и механ Матем ч 1, МГУ, 1994, 285—287.

140. Bardakov V G Uniqueness theorem for the solution of the inverse problem for a generalized kinetic equation, J Inv Ill-Posed Problems, 3, N° 5 (1995), 383−391.

141. Бардаков В Г Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Артина, Групповые и метрические свойства отображений Сборник работ, посвященных памяти Ю И Мерзлякова, НГУ, Новосибирск, 1995, 8−18.

142. Бардаков В Г Ширина вербальных подгрупп некоторых HNN-расширений, Препринт Института математики СО РАН, Новосибирск, 1995, 25 с.

143. Бардаков В Г О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций, Алгебра и логика, 36, № 5 (1997), 494−517.

144. Бардаков В Г Четные подстановки, не представимые в виде произведения двух подстановок заданного порядка, Матем заметки, 62, N° 2 (1997), 169 177.

145. Бардаков В Г О классификации по старшей части дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными, Дифференциальные уравнения, 36,№ 2 (2000), 187−197.

146. Бардаков В Г Вычисление коммутаторной длины в свободных группах, Алгебра и логика, 39, № 4 (2000), 379—424.

147. Бардаков В Г Построение регулярно исчерпывающей последовательности в группах субэкспоненциального роста, Алгебра и логика, 40, № 1 (2001), 22−29.

148. Бардаков В Г Об автоморфном вхождении в подгруппы свободной группы, Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп, Межвузовский сборник научн трудов, Тула, 2001, 4−8.

149. Bardakov V G, Vesnm A Yu, On Cavicchioli-Hegenbarth-Repovs groups, RIM-GARC Preprint Series, 02−3, 2002, Seoul, Korea, 28 p.

150. Бардаков В Г О точной представимости групп кос сферы матрицами над полем, Междун конференция «Алгебра и ее приложения», Красноярск, КрасГУ, 2002, 11−13.

151. Bardakov V G Inverse problem for systems of kinetic equations, J Inverse and Ill-Posed Problems, 10, № 5 (2002), 465−485.

152. Бардаков В Г Решение обратной задачи для матричного уравнения переноса, Сиб журн индустриальной математики, 5, № 3 (2002), 35−52.

153. Бардаков В Г, Веснин, А Ю Об обобщении групп Фибоначчи, Алгебра и логика, 42, N° 2 (2003), 131—160.

154. Бардаков В Г О связи тождества Аниконова-Амирова с тождеством Пе-стова, Сибирский журнал индустриальной математики, 6, № 2 (2003), 15— 25.

155. Bardakov V G One property of groups of subexponential growth, International Conference on Group Theory, Gaeta, Italy, June 1−6, 2003, 13— 14.

156. Бардаков В Г Строение группы сопрягающих автоморфизмов, Алгебра и логика, 42, № 5 (2003), 515−541.

157. Бардаков В Г К вопросу Д И Молдаванского о р-отделимости подгрупп свободной группы, Сиб матем журн, 45, № 3 (2004), 505—509.

158. Bardakov V G Linear representations of the braid groups of some manifolds, Acta Applicandae Mathimaticae, 84, № 2−3 (2004).

159. Бардаков В Г Линейные представления группы сопрягающих автоморфизмов и групп кос некоторых многообразий Сиб матем журн, 46, N° 1 (2005), 17−31.