Хеджирование в среднеквадратическом в стохастических моделях финансовой математики

Одним из ключевых понятий стохастической финансовой математики является понятие модели финансового рынка. В контексте данной работы, финансовым рынком называется совокупность активов, которые определяются своими ценами, эволюционирующими во времени. В случае двух активов, безрискового В и рискового 5, говорят о (В, 5)-рынке (см. [7]). Рынок может содержать и бесконечное число активов. Например, рынок облигаций в большинстве случаев предполагается состоящим из бесконечного числа ценных бумаг с различными сроками погашения (см. [15], [8], [12]). Цены облигаций являются сильно зависимыми и представляют определенную структуру, которая естественным образом определяет и ставки привлечения средств, ввиду чего модели рынка облигаций часто именуются моделями структуры процентных ставок.

Участник финансового рынка, заключая контракт на некоторый период (например, на покупку или продажу актива), принимает на себя платежное обязательство, определяемое всей эволюцией цен, а иногда и другими факторами (действиями других участников рынка, решениями финансовых властей и т. п.).

Действия на рынке сводятся к формированию портфеля (стратегии), состоящего на каждый момент из двух составляющих: количества безрискового и рискового активов. Поскольку инвестор вынужден принимать решения в условиях неопределенности, его стратегия может основываться только на доступной информации, иными словами, должна быть предсказуемой. Если средства только перераспределяются в портфеле, то говорят о его самофинансируемости.

Рынок называют безарбитражным, если с помощью самофинансируемого портфеля нельзя создать положительный капитал, исходя из нулевого начального без риска разорения (получения отрицательного капитала). Если же произвольное (зависящее от всей эволюции цен) платежное обязательство на рынке может быть выражено терминальным капиталом некоторого самофинансируемого портфеля (репликация), то такой рынок называют полным.

Проблема хеджирования платежного обязательства понимается как построение портфеля, терминальный капитал которого «доминирует» это обязательство. Следовательно, для полного рынка она может быть решена в точности построением реплицирующего портфеля (см. статью [7], в которой могут быть найдены формальные определения используемых понятий: финансовый рынок, арбитраж, полнота, портфель, самофинансируемость и т. д.). Однако, даже в условиях полного рынка встречаются ситуации, когда реплицирующий портфель (стратегию) использовать невозможно (например, ввиду недостаточного начального капитала).

В условиях неполного рынка эта проблема еще менее однозначна. Здесь необходимо выделить в первую очередь подход, основанный на построении нижних и верхних цен заданного платежного обязательства. При этом основополагающую роль играет опциональное разложение (см. [16]). Другой же подход, впервые предложенный в [13] и развиваемый в целом ряде других работ (см. [14],[19]—[22]), состоит в том, чтобы минимизировать в среднеквадратическом разность между терминальным капиталом самофинансируемой стратегии и заданным платежным обязательством. К этому направлению относится и настоящая работа.

Первая часть работы посвящена рассмотрению задач хеджирования произвольного платежного обязательства на дискретном рынке. В отличие от целого ряда работ (см. [13, 14],[19]-[22]) предлагаемые решения свободны от дополнительных технических предположений, подобных «условию N0» (см. п. 2.1.3 и [20]), относительно процесса цен. Представлены решения двух вариантов проблемы хеджирования в среднеквадратическом, которые можно было бы охарактеризовать как хеджирование при полной информации относительно цен, когда инвестор в момент п владеет точной информацией относительно значений ¿-ои хеджирование при ограничениях на доступную информацию, когда инвестор в момент п не имеет полной информации относительно значений 5о,., 5″ (см. также [23]). Поток информации, которой обладает инвестор определяется фильтрацией (В — ({5″)о<�п, заданной на некотором стохастическом базисе (Г^,^7, Ж, Р), где Ж = (Тп)о<�п — фильтрация, характеризующая всю информацию относительно цен активов и иных факторов, которая имеется на рынке. Таким образом, задача естественным образом формализуется. Если инвестор обладает полной информацией, то фильтрации Ж и (Б совпадают, в противном случае, фильтрация С лишь содержится в Р1. Очевидно, что поскольку инвестор в момент п обладает лишь информацией то его решения в этот момент должны основываться только на этой информации (быть ¿-/&bdquo—измеримыми).

Во второй части работы предлагается решение проблемы хеджирования в средне-квадратическом на рынке облигаций для случаев дискретного и непрерывного времени. В качестве модели рынка облигаций использованы модель Хо-Ли [15] и ее непрерывный аналог, являющийся частным случаем модели Хиса-Джерроу-Мортона [12]. Основной особенностью данного типа моделей является наличие бесконечного количества активов на финансовом рынке, цены которых являются зависимыми. Условие безарбитражности, накладываемое обычно на цены облигаций, позволяет установить форму этой зависимости и представить структуру процентных ставок. Предложенные решения позволяют также решить проблему хеджирования в среднеквадрати-ческом на финансовых рынках, отвечающих указанным моделям, при ограничениях на используемые активы.

Третья часть посвящена рассмотрению задачи хеджирования в среднеквадрати-ческом на рынке фьючерсных контрактов, модель которого была предложена автором (см. [4]). Одной из основных особенностей указанной модели, продиктованных механизмом расчетов на фьючерсном рынке, является наличие такого специфического актива, как маржинальный счет и зависимость между количеством совершенных сделок и средствами, которые инвестор обязан держать на маржинальном счете. Мартингальные методы и проекционная техника пространства ?2 позволяют решить задачу хеджирования и в этом случае.

В заключение, хочу выразить огромную благодарность моим учителям — члену-корреспонденту РАН А. Н. Ширяеву и доктору физико-математических наук А. В. Мельникову за постоянное внимание и поддержку, а также сотрудникам Отдела т. е.

1 Задача, когда Ж содержится в (В не представляет интереса, поскольку сводится к задаче простым расширением базиса до (С1, Р) ории вероятностей и математической статистики Математического Института РАН им. В. А. Стеклова за поддержку и полезные обсуждения.

1. Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев, Статистика случайных процессов, Москва, Наука, 1974.

2. А. В. Мельников, Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет ценных бумаг, Москва, ТВП, 1997.

3. А. В. Мельников, М. Л. Нечаев К вопросу о хеджировании платежных обязательств в среднеквадратическом, Теория вероятностей и ее применения, 1998, т.43, вып. 4, стр. 672−691.

4. М. Л. Нечаев, Структура оптимальной инвестиционной стратегии на фьючерсном рынке, УМН, т.52 (1996), вып. 2, стр. 177−178.

5. М. Л. Нечаев, Риск и минимизация риска на фьючерсном рынке, Управление риском, 1997,1,стр.45−48.

6. М. Л. Нечаев, О хеджировании в среднеквадратическом в диффузионной модели Xo-JIu., Теория вероятностей и ее применения, 1999, т.44, вып.1.

7. Ширяев А. Н., Кабанов Ю. М., Крамков Д. О., Мельников A.B., К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. I. Дискретное время., Теория вероятностей и ее применения, 1994, т.39, 1, стр. 23−79.

8. А. Н. Ширяев, Основы стохастической финансовой математики, Москва, ФАЗИС, 1998.

9. А. Н. Ширяев, Вероятность, Москва, Наука, 1989.

10. Т. Bjork, G. Di Masi, Yu. Kabanov, W. Runggaldier, Towards a general theory of bond markets, Finance and Stochastics, 1, 1997, 141−174.

11. F. Black, M. Scholes, The pricing of Options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, 1973, v.81, N 3, p. 637−659.

12. D. Heath, R. Jarrow, A. Morton, Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation, Econometrica, vol. 60 (1992), No. 1,77−105.

13. Foellmer H., Sonderman D., Hedging of non-redundant contingent claims, Contributions to Math. Economics/Ed. by W. Hildebrand and A. Mas-Colel, 1986, p. 205- 223.

14. Foellmer H., Schweizer M., Hedging of contingent claims under incomplete information, Appl. Stochastic Analysis /Ed. By M. Davis and R. Elliot, London: Gordon & Breach, 1991, p.389−414.

15. T. S. Y. Ho, S.-B. Lee Term structure movements and pricing interest rate contingent claims, The journal of finance, vol. XLI, 5, 1986.

16. Kramkov D.O., Optional decomosition supermartingales and hedging of contingent claims in incomplete security markets., Probab. Theory Related Fields, 1996, v. 105, 4, p. 459−479.

17. R. Merton, Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Management Science, 1973, N 4, p.141−183.

18. Richardson H.R., Minimum variance result in continuous trading portfolio optimization, Man. Sci., vol. 35, No. 9, 1989.

19. Schal M., On quadratic cost criteria for option hedging, Mathematics of Operations Research, 19 (1994), 131−141.

20. M. Schweizer, MeanVariance Hedging for General Claims, Ann. of Appl. Probability, 1992, 2, p.171−179.

21. M. Schweizer, Variance-Optimal Hedging in Discrete Time, Mathematics of Operations Research 20 (1995), 1−32.

22. M. Schweizer, Approximation Pricing and The Variance-Optimal Martingale Measure, The Annals of Probability, 24(1996), No. 1, 206−236.

23. M. Schweizer, Risk-minimizing hedging strategies under restricted information, Mathematical Finance, 4(1994), No. 4, 327−342.