О формулах следов для обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями

В общей спектральной теории операторов важным разделом является спектральная теория дифференциальных операторов. Результаты, полученные в этой области, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, теория возмущений исследует возмущения собственных значений и собственных функций некоторой задачи, вызываемые небольшим изменением условий задачи.

Изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [45], [46], в которых был рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Основы спектральной теории для сингулярных операторов были заложены Г. Вейлем в его работе [47]. Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э. Шредингеру [43], [44]. В первом из этих заметок, Шредингер получает стационарное уравнение для электрона, известное под его именем, и этим закладывает математический фундамент квантовой механике. Под влиянием успехов квантовой механики в середине 20 века, в печате систематически появляются работы по спектральному анализу. Начиная с 1950 г., в отечественной литературе публикуются исследования по спектральному анализу дифференциальных операторов высших порядков и по изучению природы спектра многомерных сингулярных краевых задач.

Впоследствии свое развитие получили два основных метода изучения спектра: аналитический и теоретико-операторный. Эти два метода в определенной мере соответствуют асимптотическому методу Лиувилля и вариационному методу Куранта.

Аналитическое направление опирается на асимптотические методы и аппарат теории аналитических функций. Аналитическим методам в теории дифференциальных операторов второго порядка посвящены работы Е. Ч. Титчмарша [38], Б. М. Левитана [14]. Из результатов относительно природы спектра дифференциальных операторов высших порядков, достигнутых аналитическим путем, следует отметить И. М. Рапопорта [24], и некоторые результаты М. А. Наймарка [23].

Теоретико-операторныо методы rio-другому можно назвать прямыми методами качественного спектрального анализа. Развитие теоретико-операторных методов исследования спектра было подготовлено работами Г. Вейля, Р. Куранта [13].

Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов дан в [25], там же можно найти подробную библиографию по этой тематике.

К настоящему времени • разработаны достаточно много методов нахождения асимптотики спектра дифференциальных операторов, в основном на отрезке. Для задачи Штурма-Лиувилля на отрезке также решен вопрос об асимптотическом представлении собственных значений в случае негладких потенциалов [3], [4] и даже для потенциалов, содержащих^{-функцию} [5].

Теория следов линейных операторов берет свое начало с инвариантности матричного следа линейного оператора В и совпадение его со спектральным следом в конечномерном пространстве n n n k=l к=1 к=1 где {Afc} - собственные числа оператора В, а {Фк}^=и {фк}^i ~ Два произвольных базиса пространства.

Этот результат был перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом — иначе называемых ядерными, а именно, доказано утверждение (см. [11]), если В — ядерный оператор, то для любой пары {'/'fcjfcLi ортонормированных базисов справедливо оо оо.

Wfc, фк) = Ы- (0−2) к=1 к=1.

Доказано равенство, известное как теорема В. Б. Лидского ([12], [16]), оо оо к=1 к=1 где fik ~ собственные числа оператора В.

Таким образом, этими результатами классическая теория была завершена, так как они охватывают весь класс операторов, имеющих след.

Дальнейшее развитие теории следов привело к рассмотрению понятия инвариантности следа на операторы, не имеющие следа, которое начато в цикле работ И. М. Лифшица, завершенном работой [19], мотивировано некоторыми вопросами квантовой статистики и теории кристаллов.

Так как для неядерных операторов В ряд из матричных элементов расходится, из теории расходящихся рядов естественно возникает следующая постановка задача: указать класс операторов и соответствующую пару базисов {(j>k}kLi, {v^fclbU таких, что будет справедлив аналог равенства (0.2) — соотношение оо.

Г [{Вфк, фк) — (В<�рк, <рк)} = 0. (0.4) fc=i.

Для дискретных операторов выбор одного базиса естественно предопределяется из спектральной подстановки (0.3), то есть выбирается базис из собственных векторов {.

0, (0.5) к=1 где Л к ~ собственные числа оператора Bq, ~ собственные числа оператора В.

Начало теории регуляризованных следов было положено в 1952 -1953 г. в работах И. М. Лившица [19], М. Г. Крейна [11] и И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана [8].

И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан [8] для оператора Штурма-Лиувилля задачи Дирихле с потенциалом q (x) получили формулу, названную впоследствии формулой Гелъфанда-Левитана: где со = - f g (x)dx. И почти сразу Л. А. Дикий в работе [9] показал, п о что формула Гельфанда-Левитана эквивалентна тождеству т. е. равенству вида (0.5). Оказалось, что в работе И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана член (Уфк, фк) в формуле (0.5), который есть для оператора Штурма-Лиувилля самим методом — разложение характеристического определителя и следа резольвенты оператора по степеням, а затем сравнивания коэффициентов при одинаковых степенях — был разбит на две части, и главный член, образующий расходящийся ряд, оставлен в левой части формулы (0.5), а сходящаяся часть просуммирована и сумма записана в правую часть.

Такой подход, при котором член (Уфк, фк) разбивается на расходящуюся часть, которая выражается в терминах собственных чисел и параметров оператора Во, а сходящая часть суммируется и выносится в правую часть, долгое время оставался центральным в многочисленных исследованиях. На этом пути открывается связь теории следов с теорией дзета — функций операторов.

7 Г.

7 Г о.

И.М. Гельфанд [7] предложил использовать метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа револьвенты по параметру и впервые для оператора Штурма-Лиувилля получил формулы регуляризованных следов высших порядков: оо.

J2(A~Ak (n))=B (k), п=1 где Ak (n) — расходящаяся часть разложения по степеням собственных чисел Ап, В (к) — сумма сходящейся части разложения которая в конечном виде выражается через q (x) и ее производные.

В начале 60-х годов ряд интересных результатов в виде (0.5) был получен в работах Ч. Хальберга, Р. Гильберта и В. Крамера [40], [41], [42]. В этих работах авторы, предполагая, что для ограниченного возмущения V дискретного самосопряженного оператора В0 с ядерной резольвентой ряды оо оо к=1 к=1 сходятся, доказали равенство.

00 оо к~1 к=1 Для сингулярных дискретных обыкновенных дифференциальных операторов крупное продвижение в теории регуляризованных следов было сделано А. Г. Костюченко в его докторской диссертации [10].

В связи с завершением исследований регулярных дифференциальных операторов второго порядка с середины.

60-х годов основным направлением исследований многих математиков стало распространение теории следов на обыкновенные дифференциальные операторы выше второго порядка. Наиболее сильные результаты в этом направлении получены В. А. Садовничим [28], [29], [30], [31]- особо следует подчеркнуть результат для обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка полученный методом тета-функции. Исключительным продвижением в теории следов стало применение методов теории функций в исследовании дзета-функции оператора в работах В. Б. Лидского и В. А. Садовничего [17], [18]. Развитие этого направления теории следов, в основном, было завершено в работах В. А. Садовничего, В. А. Любишкина и Ю. Беллабасси [35], [36].

С конца 70-х годов на первый план выдвигается изучение следов операторов в частных производных, однако даже первую поправку теории возмущений /&) из-за сложной структуры спектра операторов в частных производных не всегда удается эффективно исследовать, не говоря о последующих поправках теории возмущений. В связи с этим возобновились активные исследования формул следов вида (0.5) и близких к ней (с вычитанием нескольких поправок теории возмущений). Пионерскими работами в этом направлении стали работы В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [33], [34].

Принципиальным прорывом в теории следов является метод исследования и доказательства регуляризованного следа для абстрактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, предложенный Х. Х. Муртазином и З. Ю. Фазуллином в статье [22]. Этими авторами доказаны формулы регуляризованных следов с вычитаниями одной поправки теории возмущений при более слабых, «близких» к необходимых, условиях на функцию распределения спектра невозмущенного оператора в зависимости от возмущения, чем во всех известных ранее результатах. В работе [39] предложена методика исследования формул следов для операторов в частных производных. Данный метод используется в диссертации.

Для оператора Штурма-Лиувилля значительным продвижением в этом направлении следует отметить результаты работ [26], [6] и [27]. Савчук A.M. [26] и независимо Винокуров В. А. и Садовничий В. А. [6] получили формулы регуляризованных следов для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с потенциалом, содержащим J-функ-цию. Также в работе Савчука A.M. и Шкаликова А. А. [27] получена формула регуляризованного следа для операторов Штурма-Лиувилля на отрезке с сигулярными потенциаломи, не являющимися локально интегрируемыми функциями. Достаточно полный обзор истории теории следов дан в [37], там же можно найти подробную библиографию вышеуказанных авторов.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

В первой главе изучается спектральная задача Дирихле на отрезке [0,7г].

— у" {г) + V{r)y® = А у (г), 2/(0) = у (тт) = 0, (0.6) где V® — измеримая (комплекснозначная) функция, которая не обязательно суммируема, но удовлетворяет условию: при некотором е € [0,1] r?(ir-rYV{r)dr < оо. (0.7).

J о.

Примером потенциала является функция.

N Лк, Л0 Вс ^ гак (.п — гУк + г2(\пгШ1 + 1) + (тг-г)2(|1п (тг-г)Г2 + 1)' где 0 < ак < 2, 0 < (Зк < 2, 1 < ик (в (0.7) при А0 + В0 = 0? < 1, а при |Л0| + В0 ф 0? = 1).

Исследованию задачи (0.6), в случае регулярных коэффициентов, посвящено много работ [15] и в цитированных выше работах. Отметим, что в работах [3]-[4] с помощью довольно тонкого анализа системы первого порядка, к которой сводится уравнение Штурма-Лиувилля, исследована асимптотика спектра и соответствующих собственных функций краевых задач с суммируемым потенциалом.

В § 1 изучается асимптотика спектра задачи (0.6).

Спектральная задача (0.6) при Л ф n2, п G N эквивалентна интегральному уравнению в банаховом пространстве С[0,7г] y®+ [ RQ (r, t, X)V (t)y{t)dt = 0, J о где RQ (r, t,) ядро интегрального оператора Rq (X) = (Hq — Л)-1, Н0 — невозмущенный оператор задачи Дирихле, порожденный дифференциальным выражением —d?y (x)/dr2 и нулевыми граничными условиями. Спектр) = оператора.

Щ состоит из чисел Хк = /г2, соответствующие нормированные собственные функции суть fk® = /2/и sin кг.

Ядро Ro (r: t, Л) оператора Rq (X) имеет вид Rq (t, t, Л) = G (r, t, Л) -f g (r, t,), где.

1 cos л/г sin y/Xt, t < r C?(r, f, A) = -= 1 " ,.

V a I sin V Ar cos V At, t > r g (r, t, А) = — !lJL!L sin y/r sjn y/~t v A причем Im/A > 0 при Л ф (О, оо)).

Все дальнейшие построения основаны на проекционном методе, где показано, что в асимптотических формулах для собственных чисел и собственных функций, важную роль играет часть резольвенты невозмущенного оператора Ron (Л) = Ylk^n^k — A)1Pfc, где Рф = (h, fk) fk> (•> •) — скалярное произведение в Ь2[0,7г]. Имеет место.

Лемма 1.2−1.3 Пусть |А — Ап| < Тогда для всех (r, t) €.

О, тг] х [0, тг].

Доп (М, А)| < ^ Ron (r, t, А)| < |i"r, t, А)| <

7Ъ 7Ъ ТЪ.

Лемма 1.4 Если V® принадлежит классу (0.7), то для нормы ||-йоп (А)У|| оператора Ron (X)V в пространстве С[0,7г] имеет место соотношение lim sup ||#on (A)V|| = 0.

Пусть {finl^Li — спектр краевой возмущенной задачи (0.6), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Справедлива следующая.

Теорема 1.1 Пусть V® комплекснозначная функция и г (-7Г — г) |V®| dr < оо.

J о.

При п 1 собственное число /in лежит в круге z — Ап| < При этом цп есть решение уравнения, А = ФП (А), где сжимающая функция.

Фп (А) = An + (Vfn, fn) — (VRn (X)Vfn, fn), а интегральный оператор Rn (X) определяется из уравнения Rn (А) + Л0п (Л)^Яп (А) = Л0 В (А).

Теорема 1.3 Пусть выполнено условие (0.7), тогда для всех п 1 справедливо асимптотическое разложение + (0.8) k=1 где.

4П) — / (* - An) tr [Ro (z)Vlk Ro (z)dz, tr — след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.8) (3{ш] =.

Lm+1 представляется в виде = У (zА&bdquo-) tr [Mz)V]m R (z)VRo (z)dz к-АпНг^ и допускает оценку fiffl < m{fit)e, где Спостоянная, не зависящая от п.

Следствие 1.1 Если в (0.7) е < 1, и число т удовлетворяет условию т > (1 + ?)(1 — ?)-1. Тогда справедливо представление т, где? ffl < оо. п) о к=1 п.

В частности, если в (0.7)? = 0, то есть V® 6 L[0,7r], то имеем.

Vn = K + (Vfn, fn) — (W*on (An)V7n, fn) + 0(n~2).

В § 2 получена формула следа задачи (0.6).

Ядро До (г, t, А) интегрального оператора Ro (X) можно представить в другом виде о {г, t, А) = Gx{r, t, Л) + pi (г, t, Л), где.

Gi (r, i, A) =.

1 I ехр (гл/Аг) sin VA I sin лДг л. ехр (гл/А-я-). /г. /г,.

7i (г, t, А) = —у=—=гsin V, А г sin V A t.

V A sin V А7Г причем Imy/X > 0 при, А ^ (0, оо)).

Лемма 1.5 При n > 1,? ? [0,1], An = (An + An+i)/2- s Е R t?(-K -1)?

Яо (г,?, An + «s) C.

An + is l-?)/2' где С > 0, С — абсолютная постоянная.

Лемма 1.6 Если V® принадлежит классу (0.7), то для нормы ||i?o (.

Ro (n + is) V 7п п + is.

1-е 2 lim 7n = 0. n—"00.

Верна следующая теорема о следах.

Теорема 1.4 Пусть б (0.7) 0 < s < 1, amминимальное натуральное число, такое, чтот > (1+£)(1—е)-1. Тогда справедлива формула следов оо ?

П=1.

РпЛП —? Щ. т к=1 0, (0.9) где ряд сходится абсолютно, а числа а^ равны.

4П) = f ztr [Bo{z)Vk Mz) dz. z-An|=.

27raQ.

Замечание 1.1 Если в (0.7)? = 0, то есть V® G L[0,7г]- то т — 2 и формула (0.9) представляется в виде оо.

Y, — An — (V/", /") + {VBvn{n)Vfni /")] = 0. n=l.

Если же V® принадлежит пространству Соболева И²[0,7г] (иначе говоря, V'{r) еZ>2[0,то в (0.9) т = 1 и последовательность.

Ап — (У/п, /п) абсолютно суммируема и 00.

J2&n-n-(VfnJn)}= О, п=1 откуда вытекает известная формула следов Гельфанда-Левитана.

В главе II рассматривается спектральная задача Дирихле на отрезке [0, -к] z/2 1.

— У" + —р^у + Vy® = Ау (г), I/ > -, у (0) = 0, у (тг) = 0, (0.10) где Vоператор умножения на (вообще говоря, комплекснозначную) функцию из Ь2[0,7г], удовлетворяющая условию (0.7).

Отметим, что задача (0.10) получается при разделение переменных оператора Лапласа — A+V заданного в шаре или на плоскости в круге радиуса 7 г.

Спектр {Ап}^=1 невозмущенной задачи (0.10) хорошо известен и определяется из уравнения <�Л,(/А^7г) = 0, а нормированная последовательность соответствующих собственных функций имеет вид г) = /L y/fJv (VА) г, xJlWK 71″) где Jv{z) — функция Бесселя и-го порядка.

Резольвента Ro (X) = (Lq — А)-1 есть интегральный оператор с ядром До (г, t, А) = G (r, t, А) + g (r, t, А), где тс Y"(V г) J"(y/Xt), t.

G (r, t, X) = ~Vrt<

2 [ Jv (Vr)Yv (VXt), t >r g (r, t,) = l^^^Vx^ViMVxti.

4 Ju[y Л7Г) где Yv (z) — функция Неймана индекса v.

Пользуясь асимптотическими разложениями функций Jv{z) и Y^z), мы получим следующие оценки:

ЯопМ, An)| < R0n (r, t, Xn) < п nl? где ao = const > 0, (далее, все a^ = const > 0, i — 1,2,3 .).

При |A — An| < и для всех (r, t) G [0,7г] x [0,7г] справедливы следующие неравенства:

2a0t? |D ^ + 2a0(ir-t)?

П1 С. с. п1е.

Если V® принадлежит классу (0.7), то для нормы ||Доп (А)У|| оператора Ron ()V в пространстве С[0,7г] имеет место соотношение.

Пусть спектр задачи (0.10), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Для данной задачи справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1 Пусть V® комплекс-позначная функция и г{-к — r) V®? L[0,7г]. При n «1 собственное числоⁱⁿ лежит в круге z — Ап| < При этом есть решение уравнения, А = ФП (А), где сжимающая функция.

Теорема 2.2 Пусть выполнено условие (0.7), тогда для всех п 1 справедлива асимптотическое разложение lim sup ||Яоп (А)У|| = 0. —оо |ААп,< «.

Ф"(А) = An + (Vfn, fn) — (VRn ()Vfn, fn) а интегральный оператор Rn{А) определяется из уравнения.

Rn (А) + RonWVRniX) = Доп (А).

0.11).

Jfe=l где tr — след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.11) 0, п) т.

Ylh=m+1представляется в виде (-l)m+1.

2 т j> {zХп) tr [Ro{z)V]m R{z)VRo{z)(k.

2ffOo Д n) m.

С > 0 — постоянная, не и допускает оценку зависящая от п.

Основным результатом параграфа § 4 является следующая теорема о следе для задачи (0.10).

Теорема 2.3 Пусть в (0.7) 0 < е <, amминимальное натуральное число, такое, чтот > (1+?)(1—?)-1. Тогда справедлива формула следов.

00 п=1 т.

Ц>п~ Ап — ^ al" > 0, где ряд сходится абсолютно, а числа а^ равны (-1) fc+i к =.

27гг ztr г-А"|=.

27toq.

В третьей главе изучается спектральная задача Дирихле четвертого порядка на отрезке [0,7г] у (Л0(г) + у у (г) = Ay (г),.

0.12) у (0) = у (тг) = у'(0) = у'{ тг) = 0,.

0.13) где у (г) = p2®y" ® + Pi{r)y'{r) + p0®y{r), (0.14) комплекснозначные функции Pi{r)(i — 0,1,2) удовлетворяют условиям: при некотором е Е [0,1) re (ir-r)ep2®dr < оо, (0.15).

J о ге+1(7Г — r) E+1 |pi®| dr < ОО, (0.16).

Jo I ге+2(тг — r)?+2 p0®dr < оо,. (0.17) 0.

Спектр задачи y^IVr) — vAy{r) с краевыми условиями (0.13) определяется из уравнения cos и-к ch vk = 1, и ик = к + + ак, ак = ехр (—(АГ+ ½)тг) + О (ехр (-2Ьг)), к > 1.

Пусть, Но — невозмущенный оператор задачи Дирихле, порожденный дифференциальным выражением d ffl и граничными условиями (0.13). Через {fk}kLi обозначим ортонормированные собственные функции оператора Hq, и fk® = Ак {cos щг — sin vkr — ехр (~ukr) + Вк (sh vkr — sin vkr)}, где.

Ak = — (l~ 4+(-1)*9ехр (-^тг) + Q ехр (-2^тг)Л лМ 4? r vk Vk /'.

Bk = 2(-l)A:exp (-i/fc7r) + 0(ex р (-2^7г)).

Пусть Ro (r, t, Л) ядро оператора .Ro (A) = (#о — А)-1, А = И. Лемма 3.1 Ядро Ro (r:t:X) резольвенты Ro (X) имеет вид.

Ro (r, t, X) = G (r, t, A) + g (r, t, A), где.

G (r, t, А).

1 I exp (iur) smut — exp (—ur) shut, t.

2i/3 sin ur exp (iut) — sh*/r exp (—ut), t > r a,. sh ur.. sini/r. g (r, t, A) = «2³- exp (—1/?) — —exp (ti/i)+ uj{t, i/)(cos 1/1— ch i/r) + u^i, ^)(sin ur — sh ur), где.

4г/3Ф (1/) sin u{t — 7г) — sh i/(i — 7r))(sin + sh uir) — —(cos u (t — 7г) — chi/(? — it))(cos uir — chuir)], a-2(t, u).

4и3Ф (и) sini/(i — ir) — shz/(? — 7r)) (cos uir — ch. uir)+ +(cos u (t — ir) — chu (t — 7r))(sinuir — shuir)],.

Ф (^) = 1 — cos итт ch U7T.

Лемма 3.2 Для любого е € [0,1) справедливы следующие оценки: а0г2(тг — r)2te (ir — t)?

Ron (r, t, А&bdquo-)| < п.

1-е d dr.

Rqn (r, t, n) aor (n — r) te (ir — t)? n.

1-е dr2.

Ron{r, t, An) a0t?(ir -1)(n.

1-е.

Имеют место следующие утверждения.

Лемма 3.3−3.4 Пусть |А — А&bdquo-| < Тогда для всех (r, t) G.

0,7г] х [0,7г] справедливы следующие неравенства:

Ron{r, t, А)| < Ц, |Доп (г,*, А)| < ^.

Лоп (г,", А)| < аог2(7Г — r)2t а0г2(7г — г)2(7г — ?) е.

Введем пространство 5[0,7г], состоящий из дважды непрерывных дифференцируемых на отрезке [0,7г] функций /(г), таких, что /(г) и /'(г) обращаются в нуль в точках 0 и 7 г. Норму в этом пространстве определим равенством:

Демма 3.5 Если V® принадлежишь классу (О.Ц), то для нормы ||JRon (A)V|| оператора Ron ()V в пространстве В[0,7г] при |А — Ап| < п3 имеет место неравенство.

Пусть {fin}n=i ~ спектр задачи (0.12)-(0.13), пронумерованный в порядке роста модулей и с учетом алгебраических кратностей. Справедлива следующая.

Теорема 3.1 Пусть выполнены условия (0.15)-(0.17), тогда для всех 1 справедливо асимптотическое разложение.

И/МИ = |/"|).

Ron (X)V\ < ~ т) 1 с.

ОО.

0.18) где (-1) fc+1 ak =.

2m f (z — An) tr [Rt{z)V]k Ro{z)dz, tr — след ядерного оператора. При этом остаток ряда (0.18) = YlT=m+1 представляется в виде.

— l) m+1 2 т.

У (zХп) tr [Ro (z)V]m R (z)VRo (z)dz z-«.

2na0 A n (m+i)(i-?)-3, где Спостоянная, не и допускает оценку^т зависящая от п.

Ядро Ro (r, t, Л) интегрального оператора Rq (X) можно представить в другом виде.

Ro (r, t, X) = G (r, t, X) + g (r, t, X),.

I ехр (гг/г) sin i/t — exp (—vr) shut, t<

I sin it exp (ivt) — shi/r exp (—i>t), t > r a g (r, t. A) = uJi (t, г/)(sin г/г — sh vr) +u>2(t, v)(cosvr — ch vr) — iG (r, t, A) |r=o v sh i/г, где i/) =.

2Ф (и) г/ sh vir) (sin z/7rfsh г/7г)+ fg (r, t, A)|r=7r + jG (r, t, X) ^ v v ch vir) (cos г/7Г — ch vtt).

W2(t, v) =.

2Ф (и) г/ sh 1/7г) (cos 1/7г — ch viг) — и и ch v 7г) (sin г/7г — sh i/7r).

Лемма 3.6 Пусть Xn — (AnIAn+i)/2, s e R. Тогда при n 1 и e [o, l) С.

Яо (г, t, Xn + is).

Anfzs.

¾' s.

Яо (г, An + is).

Cr2(7T-r)2^(7r-t)?

An + is l-e)/4 ' dr.

Ro (r, t, Xn + is).

Cr{iг — r) if (7r — ty.

Xn + is l-e)/4.

До (г, t, Xn + is).

Cte{ir — ty.

Xn + is.

1−0/4' где С > О, С — абсолютная постоянная.

Лемма 3.7 Если V® принадлежит классу (О.Ц), то для нормы Ц-йо^УЦ оператора Rq (z)V имеем оценку:

Ro (Xn + is) V.

In.

Хп + is.

1-е)/4> где {7n} - положительная последовательность, такая, что lim 7″ = 0. п—>00.

Верна следующая теорема о следах.

Теорема 3.2 Пусть в (0.15)-(0.17) 0 <? < 1, am — минимальное натуральное число, такое, чтот > (3+£:)(1—е)-1. Тогда справедлива формула следов п=1.

Vn, а к=1 0, где ряд сходится абсолютно, а числа ocjf* равны, а (-1) it+i.

2ттг.

1. Ахмерова Э. Ф., Муртазин Х. Х. Спектральная асимптотика для негладких возмущений дифференциальных операторов и формулы следов // Доклады АН, 388:6 (2003), 731 — 733.

2. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ. 1949.

3. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Об асимптотике решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка в нормальной форме Лиувилля // Дифференциальные уравнения, 34:8 (1998), 1137−1139.

4. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных функций краевой задачи Штурма Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения, 34:10 (1998), 1423−1426.

5. Винокуров В. А., Садовничий В. А Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 6 функции // Дифференциальные уравнения, 38:6 (2002), 735 -751.

6. Винокуров В. А., Садовничий В. А Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 5-функции // Доклады РАН, 376:4 (2001), 445−448.

7. Гельфанд И. М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. // Успехи математических наук, 11:1 (1956), 191−198.

8. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР, 88 (1953), 593−596.

9. Дикий Л. А. Об одной формуле Гелъфанда-Левитана. // Успехи математических наук, 8:2 (1953), 119−123.

10. Костюченко А. Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов: Дисс. .д-ра физ.-мат. наук // М. 1966.

11. Крейн М. Г. О формуле следов в теории возмущений. // Математический сборник, 33:3 (1953), 597−626.

12. Гохберг И. Ц. Крейн М.Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

13. Курант и Гильберт (R. Courant, D. Hilbert) Методы математической физики, т. I и II, Гостехиздат, 1951.

14. Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. Гостехиздат, 1950.

15. Левитан Б. М., Саргсян И. С.

Введение

в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 672 с.

16. Лидский В. Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след. // ДАН СССР, 125:3 (1959), 485−488.

17. Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функциональный анализ и его приложения, 1:2 (1967), 52−59.

18. Лидский В. В., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций. // Математический сборник, 1968. Т. 75(117). № 4. С. 558−566.

19. Лифшиц И. М. Об одной задачи теории возмущений, связанной с квантовой статистикой. // Успехи математических наук, 7 (1952), 173−180.

20. Муртазин Х. Х., Садовничий В. А., Тулькубаев Р. З. Асимптотика спектров и формулы следов для дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами // Доклады АН, 416:6 (2007), 740−744.

21. Муртазин Х. Х., Садовничий В. А., Тулькубаев Р. З. Асимптотика спектров и формулы следов для дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами // Дифференциальные уравнения, 44:12 (2008), 1628−1637.

22. Муртазин Х. Х., Фазуллин З. Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов // Математический сборник, 196:12 (2005), 123−156.

23. Наймарк М. А. Исследование спектра и разложение по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка на полуоси // Труды Московского математического об-ва, 3 (1954), 181—270.

24. Рапопорт И. М. О сингулярной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР, 79 (1951), 21−24.

25. Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фунд. напр., 64 (1989), 248 с.

26. Савчук A.M. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с S-потенциалом // Успехи математических наук, 55:6 (2000), 155−156.

27. Савчук A.M., Шкаликов А. А. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / / Математические заметки, 69:3 (2001), 427−442.

28. Садовничий В. А. О следе разности двух обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков. // Дифференциальные уравнения, 2:12 (1966), 1611−1624.

29. Садовничий В. А. О следах дифференциальных операторов высших порядков. II Математический сборник, 72:2 (1967), 293 317.

30. Садовничий В. А. Формулы следов для обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков. / / Математические заметки, 1:2 (1967), 179−188.

31. Садовничий В. А. О тождествах для собственных значений системы Дирака и некоторых других систем высшего порядка. // Вестник МГУ, серия 1, Математика и механика, 3 (1967), 37−47.

32. Садовничий В. А. О некоторых тождествах для собственных чисел сингулярных дифференциальных операторов. Соотношения для нулей функции Бесселя. // Вестник МГУ, серия 1, Математика и механика, 3 (1971), 77−86.

33. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Об одной абстрактной теореме теории возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функции операторов. // Дифференциальные уравнения, 13:7 (1977), 1264−1271.

34. Садовничий В. А., Дубровский В. В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных производных. // Дифференциальные уравнения, 13:11 (1977), 2033;2042.

35. Садовничий В. А., Любишкин В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа. // Доклады АН СССР, 256:4 (1981), 794−798.

36. Садовничий В. А., Любишкин В. А., Белаббаси Ю. О нулях целых функций одного класса. // Труды семинара им. И. Г. Петровского, 8(1982), 211−217.

37. Садовничий В. А., Подольский В. Е. Следы операторов // Успехи математических наук, 61:5 (2006), 89−156.

38. Титчмарш Е. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. ИЛ, т. I, 1960; т. II, 1961.

39. Фазуллин З. Ю., Муртазин Х. Х. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора. // Математический сборник, 192:5 (2001), 87−124.

40. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for a perturbed operator. // Duke Math. J. 1963. V. 30. № 2. P. 275−286.

41. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for powers of Sturm-Liuoville operator. // Canad. J. Math. 1964. V. 16. № 4. P. 412−422.

42. Halberg C.J.A., Kramer V.A. A generalization of the trace concept. /1 Duke Math. J. 1960. V. 27. № 4. P. 607−628.

43. Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Ann. d Physik, Folge IV 79(1926), P. 361−376.

44. Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Ann. d. Physik, Folge IV 79(1926), P. 489−527.

45. Sturm C. Memoire sur les equations differentielles lineaires du second ordre J. Math. Pures Appl. 1836. — T.l. — P. 106 — 186.

46. Weil H. Uber gewdhnliche Differentialgleichungen mit Singuldritaten und die zugekorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen. // Math. Ann. 68 (1910), 220 269.I7.Ь.