Аддитивные задачи с целевыми числами из специальных множеств

В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. Это задачи о представлении натурального числа суммой слагаемых заданного вида.

В 1742 г. в письме к Л. Эйлеру X. Гольдбах высказал гипотезу, что каждое нечетное число, большее пяти, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. В ответ Л. Эйлер предположил, что четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. Эти задачи получили названия соответственно тернарная и бинарная проблемы Гольдбаха.

В 1770 г. Ж. Лагранж доказал, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов натуральных чисел (задача Лагранжа). В этом же году Э. Варинг высказал более общую гипотезу о том, что при любом целом п ^ 3 найдется к — к (п) такое, что всякое натуральное N может быть представлено в виде + = (1) где х, Х2, ¦ ¦ ¦, Хк — натуральные числа. Эта гипотеза получила название проблемы Варинга. А задачу о представлении числа N суммой п-ых степеней простых чисел: + = (2) где п ^ 1, к ^ 2, называют проблемой Варинга-Гольдбаха.

Первое общее решение проблемы Варинга в 1909 г. дано Д. Гильбертом [1]. Он доказал, что при любом целом п ^ 4 существует к = к (п), для которого число решений уравнения (1) положительно при любом N ^ 1.

В 1928 г. Г. Харди и Дж. Литтлвуд [2], применив свой круговой метод [3]-[6], получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы

Варинга при к порядка п2п~1. Число решений уравнения (1) записывается в виде интеграла от бесконечного ряда по окружности. Харди и Литтлвуд разбили окружность интегрирования определенным образом на «большие» и «малые» дуги. На «больших» дугах выделили главный член асимптотической формулы, а на «малых» — оценили соответствующую часть интеграла как о-малое от главного члена. Тем самым, Харди и Литтлвуд получили новое решение проблемы Варинга, в форме более точной, чем у Гильберта. С помощью кругового метода они также дали условный вывод асимптотической формулы для тернарной проблемы Гольдбаха [2], выписали гипотетические формулы для количества решений большого числа уравнений с простыми числами [5].

В 1924 г. И. М. Виноградов усовершенствовал рассуждения Харди и Литт-лвуда [7]. В круговом методе он заменил бесконечные ряды конечными тригонометрическими суммами, а также использовал разрывный множитель другого типа.

Введение

тригонометрических сумм существенно упростило метод Харди-Литтлвуда. Разбиение на «большие» и «малые» дуги у Виноградова в идейном плане совпадает с соответствующими разбиениями Харди-Литтлвуда, но в техническом плане схема значительно упростилась.

И. М. Виноградов предложил два новых метода оценок тригонометрических сумм [8]-[10]. С помощью первого метода (1934 г.), в основе которого лежит теорема о среднем, он получил оценки сумм Г. Вейля, значительно более точные, чем методом ван дер Корпута. Это дало возможность Виноградову доказать, что для числа решений проблемы Варинга асимптотическая формула Харди-Литтлвуда справедлива при к порядка п2 к^ п. и уравнение (1) разрешимо для всех достаточно больших N при числе слагаемых к порядка 7гlogn. Второй метод (1937 г.) позволил найти нетривиальные оценки тригонометрических сумм по простым числам. С помощью этой оценки и кругового метода Виноградов полностью решил тернарную проблему Гольдбаха [11].

Первоначально классические аддитивные задачи решались без введения ограничений на переменные. Позднее в теории чисел появилась тематика — решение классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству.

Один из первых вариантов специального множества возник в работах Виноградова [10], [12]. В 1940 г. И. М. Виноградов получил асимптотическую формулу для количества простых чисел р, не превосходящих с условием где 1 < с, / — действительное число, 0</<1,0<�сг<1. Этой задачей занимался Ю. В. Линник [13], а позднее Р. Кауфман [14], С. А. Гриценко [15]. С. А. Гриценко также рассмотрел аддитивные задачи с простыми числами такого вида. В 1988 г. он доказал, что для случая / = <�т = ½, 1<�с<2 В простых числах вида (3) разрешимы тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варинга-Гольдбаха [16].

Другой известный пример специального множества — множество простых чисел р таких, что для некоторого натурального п, нецелого с > 1. Аддитивные задачи с простыми числами такого вида изучались в работах [17]-[20]. В частности, в 1992 г. А. Балог и Дж. Фридлендер [21] решили тернарную проблему Гольдбаха в простых числах вида (4) при 1 < с < 21/20.

В 2003 г. М. Чанга в работе [22] ввел специальное множество простых чисел р таких, что

3)

4) где I, И — натуральные числа, I < И, с > 1 — нецелое число. Со специальными простыми числами вида (5) он решил аддитивные задачи: тернарную проблему Гольдбаха, частный случай проблемы Варинга-Гольдбаха — задачу Хуа Ло-Кена (к = 5, п = 2).

Первая глава диссертации содержит сведения из теории чисел, необходимые при дальнейшем изложении. Основные результаты научной работы сформулированы во 2—5 главах.

Во второй главе рассматривается вопрос распределения иа коротких промежутках простых чисел р с условием {(½)р1//с} < ½, где 1 < с < 2. Для решения этой задачи мы используем подход Ю. В. Лршника [13], связанный с применением явной формулы для функции Чебышева и теорем о плотности распределения нулей дзета-функции в критической полосе.

В 1986 г. С. А. Гриценко [15] получил асимптотическую формулу для 7гс (М) — количества простых чисел р, р ^ М, с условием {(½)р1/с} < ½, 1 < с < 2. тгс (м) = ^ + о (д), (6) где е > О, М²+^2с+?, если 1 < с ^ 4/3, «| если 4/3 < с ^ 2 Очевидно, 7тс{М) — количество простых чисел, ие превосходящих М и принадлежащих промежуткам [(2ж)с, (2х + 1) с), х = 1, 2, Отметим, что чем меньше с, тем короче промежутки. По отдельности в каждый из этих промежутков может не попасть даже ни одного целого числа. Из результата С. А. Гриценко видно, что в таких промежутках содержится примерно половила простых чисел.

Если применить метод Линника и вместо плотностных теорем воспользоваться гипотезой Римана, то получить в асимптотической формуле (6) остас точный член лучше, чем 0(М½+1/2с+?), без дополнительных соображений не удается.

При Н < ^½+1/2с, 1 < с ^ 2 из асимптотической формулы (6) не следует, что на отрезок [ЛГ, N + 11] попадает хотя бы одно простое число такое, что {(½)р1/, с} < ½. В диссертации доказано (теорема 1), что в предположении справедливости гипотезы Римана при Н > N½+10? простые числа такого вида распределены регулярно на промежутке [ЛГ, N + 11].

Теорема 1. Пусть Н > л/^/з+ю^? > 0. Если верна гипотеза Римана то справедлива асимптотическая формула

Фс{№ + Я) — = | (1 + О > где

Фс (х) = Л (п)'

Ь1/с}

Заметим, что при с > 2 промежуток [Л/", N + 11] оказывается короче промежутков [(2ж)с, (2х + 1) с), определяемых условием {(½)р1⁰} < ½. Поэтому при с > 2 теорема 1 перестает быть справедливой.

Далее, в диссертации приведены решения аддитивных задач с ограничениями на переменные. Везде в дальнейшем тексте полагаем, что г — квадратичная иррациональность, а, Ь — произвольные фиксированные действительные числа, 0 ^ а < Ь ^ 1.

В третьей главе рассматривается тернарная проблема Гольдбаха: Р1+Р2 + р3 = N для достаточно большого нечетного N с простыми числами р{, на которые наложены ограничения вида, а < {г]р{ < Ь, г = 1,2,3. Основным результатом является теорема 2. В ней /зд (Лг) — число решений классической проблемы Гольдбаха, J31 (N) — проблемы Гольдбаха с введенными ограничениями на переменные р-. Для h, i (N) в 1937 г. И. М. Виноградов получил асимптотическую формулу, а именно доказал, что: w — П 0 + (fhу) п (i — ?п^+з) ¦

ТЕОРЕМА 2. Для любого фиксированного положительного С справедливо равенство

ЫЮ = a, b) + 0(N2 log-c N), где o{N, a, b) — У 62^iy-i, 5(a+b))Sin37nri (ba) то|<�оо

Заметим, что полученная формула будет асимптотической при большом нечетном N и b — a > у/2С (3)/п > 0,42. Если неравенство не выполняется, то мы не можем утверждать, что сумма ряда

Опишем схему доказательства теоремы 2. Число решений задачи Гольдбаха представим в виде интеграла

J3,i (iV)= I' Sl (x)e-2™Ndx,

J о где

Р<�ЛГ х) — характеристическая функция интервала (а, 6), продолженная с периодом 1 на всю числовую ось.

Разложив предварительно «сглаженную» функцию в ряд Фурье, перейдем к рассмотрению сумм

У^ с (т1)с (т2)с (тз) / + 771 177) й1 (я + 771 277)5(ж + П12, г])е~2тхН ¿-х, т.1,тп2,т3 f

Jo p

Если mi = 7712 — тЪ — ш, TO

S3(x + mrf) e~2nixN dx = e2™'mNI3A (N). 0

Если среди mi, m2, Г77з есть два не равных друг другу числа, то допустим, что mi < 7772- Сделаем замену t = х + гпТ].

Отрезок интегрирования разбиваем на две части: множество точек находящихся близко к рациональным числам с малыми знаменателями («большие» дуги Е), множество остальных точек («малые» дуги .?2). На «малых» дугах известна оценка для |(?)|. На «больших» дугах получаем оценку дня |S (t + 777,77)j, m = 7712 — mi. Здесь используем то обстоятельство, что 77 — квадратичная иррациональность, и числа t+mrj хорошо приближаются несократимыми дробями со знаменателями, которые «не слишком малы» и «не слишком велики». Тогда интеграл «1

S (x + mi 77)5 (ж + m2rj) s (x + m3r])e~2lTixNdx

J о 0 оценивается как

7r (iV)(maxS (t + mrj) + maxS (t)) < t&Ei t€E2

C N2 log~c N и попадает в остаток.

В 1938 г. Хуа JIo-Кен доказал [23], что достаточно большое натуральное TV, N = 5 (mod 24), представимо суммой квадратов пяти простых чисел: Pi + Р2 + Рз + Ра + Ръ — N (задача Хуа Ло-Кена). Число представлений обозначим /5i2(N). Хуа показал [24], что дгЗ/2 (log TV)5 10

В главе 4 рассматривается задача Хуа JIo-Кена с простыми числами Pi такими, что, а < {r]p2} < b, i = 1, 2, 3,4,5. Число решений задачи обозначено как •h, 2{N). Приближенная формула для J^^iN) приведена в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 3. Для достаточно большого натурального N, N = 5 (mod 24), справедлива формула

При доказательстве теоремы 3, как и при доказательстве теоремы 2, используется круговой метод Харди-Литтлвуда-Виноградова.

Полученные нами в третьей и четвертой главах диссертации формулы отличаются от асимптотических формул классических задач Гольдбаха и Хуа Ло-Кена в простых числах без ограничений. У нас в главных членах появляются ряды <�т (Л^, а, й), ¿-(ТУ, а, Ь) специального вида. Изучение свойств этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая в данной диссертации не рассматривалась.

В пятой главе рассматривается вариант задачи Лагранжа с целыми числами ??, удовлетворяющими условию, а < {г}1{} < Ь, г = 1,2, 3,4. Результатом является теорема 4. Число решений задачи Лагранжа обозначено /(-/V). Известно, что [25]

•МN) = ISi2(N)s (N, а, Ъ) + 0(./V3/2−0'2), где

ОО 1

I (N) — tt2N ^Г^ -j S^ae~2niNa/q + 0(TV17/18+e) 1 q—1 ^ 1

S (qia) = e2niaj2/q сумма Гаусса. Число решений задачи Лагранжа с рассматриваемыми нами целыми числами обозначено J{N).

ТЕОРЕМА 4. Для любого положительного малого е справедлива формула

В 1926 г. X. Клоостерман рассмотрел обобщение задачи Лагранжа. Он нашел асимптотическую формулу для количества представлений числа N диагональной квадратичной формой с четырьмя целыми переменными [25]. Число решений задачи представляется в виде интеграла. Идея Клоостермана состоит в том, что промежуток интегрирования он разбивал на дуги посредством дробей Фарея. Дуги, получаемые таким способом, «равноправны», они не делятся на «большие» и «малые». Далее Клоостерман оценивал тригонометрические суммы специального вида, названные позднее суммами Клоостермана. При доказательстве теоремы 4 мы, в основном, следовали схеме Клоостермана [25].

Опишем схему доказательства теоремы 4. Характеристическую функцию ф (х) интервала (а, Ъ) продолжим периодически на всю числовую ось. Пусть

Разложим предварительно «сглаженную» функцию ф (х) в ряд Фурье. В результате получим суммы вида

7(Д0 = (6 — а)4/(Л0 + 0(№>9+е). оо

509) =? е^'-^фМ, тогда 1 тп1, т2,т3,тп4 1

X) I— — оо

При Ш1 = ГП2 = тз = 777.4 = 0 получим главный член асимптотической формулы. Для остальных наборов (7711,7712, тз, 7714) в сумме т) представим /3 в виде

3 = - + у, (<*,</) = 1, г = [ZiVj, у<�—.

9 ЯТ

Введем обозначение? = 2у + г/(ттЫ). После применения функционального уравнения для тета-функции имеем

1 7Г2

5(/?, т) = —^ ехр (-^(п-тт7д)2)5(д, сг, 7г), * п=—сю где? — некоторое значение л^Т, сумма Гаусса. Подставим полученное для ?> (/?, т) выражение в формулу

7).

Пусть с1″ /д", с/'/д' — соседние дроби Фарея такие, что а" а в! ,

-<-<-, т < д + д', д + д" < т + д. д" д д'

Тогда

5(/3, то2)5(/?, т3)5(А т^е" 2**" ^

1 Г й1- 1 оо оо ОС ± V* — /) р-2тгч/ЛГ^ ^ ^ С4 I1?2 2-^1

Ц — ч (д+9″) 711 = —ОО П2 = —ОО Пз = —о оо? X оо оо х ^^ е-^((т-" г17?9)2+(п2-т27?д)2+(пз-тз77д)2+(п4-т477д)2) х Пц = — ОО

Пользуясь точными значениями сумм Гаусса и оценкой А. Вей ля суммы Клоостермана [26], [27], получим неравенство

5(д, с1, щ)5(д, й, п2)5(д, Ъ п3) Б (д, 6, п4) е-27Г^ «д5/2т (д)(Л^, д)½. 1

При доказательстве теоремы 4 нам приходится оценивать тригонометрические суммы вида оо ехР (-^1>(п-т77?)2), (8) п——оо которых не было в работе Клоостермана [25]. Отдельную сложность доставляет оценка суммы (8), когда ¿-ид «маленькие». В этом случае выделяем слагаемые, у которых п — тщ = ЦтгудЦ. Поскольку г] — квадратичная иррациональность, ее можно представить в виде

Л 1

При выборе д х лг0'3 выполняется неравенство поэтому существует /с > О

7гг &bdquo—км ехр (-—^(п — тщ)) <�С е сд

Откуда следует нужная оценка для суммы (8). Для остальных п таких, что п — тщ ф рассуждения проводим по схеме Клоостермана из [25].

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах автора [1]-[6].

1. D. Hilbert Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)//Math. Annalen.—1909.— 67.-P. 281−300.

2. Hardy G. Collected papers of G. H. Hardy, including joint papers with J. E. Littlewood and others, ed. by a committee appointed by the London Mathematical Society, vol. I. Oxford: Clarenon Press, 1966.

3. Hardy G.H., Littlewood J.E. A new solution of WaringYs problem, Quart. J. Math., 48, (1919), 272Ц293.

4. Hardy G.} Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorum»: I A new solution of Waring’s problem//Gottingen nachrichten. —1920. —P. 33−54.

5. Hardy G., Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorurn»: III On the expression of a number as a sum of primes// Acta. Math. —1923. —44. — P. 1−70.

6. Hardy G., Littlewood, J. Some problems of «Partitio Numerorum»: V A further contribution to the study of Goldbach’s problem//Proc. Lond. Math. Soc. -1923. -(2) 22. -P. 46−56.

7. Виноградов И. M. Sur un theoreme general de Waring //Матем. сб. -19 221 924. -Т. 31. -С. 490−507. Рез. на рус. яз.

8. Виноградов И. М. Избранные труды. —М.: Изд. АН СССР, 1952.

9. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. —М.: Наука, 1980.1. Виноградов И. M. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1983.

10. Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел//ДАН СССР. -1937. -Т. 15. -С. 169−172.

11. Виноградов И. М. Некоторое общее свойство распределения простых чи-сел//Матем. сб. -1940. -Т. 7, вып. 2. -С. 365−372.

12. Линник Ю. В. Об одной теореме теории простых чисел//ДАН СССР. — 1945. -Т. 47. -С. 7−8.

13. Кауфман Р. М. О распределении {.^/р}//Матем. заметки. —1979. —Т. 26, вып. 4. -С. 497−504.

14. Гриценко С. А. Об одной задаче И. М. Виноградова//Матем. заметки. — 1986. -Т. 39, вып. 5. -С. 625−640.

15. Гриценко С. А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха-Вариига с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида//Успехи матем. наук. -1988. -Т. 43, вып. 4 (262). -С. 203−204.

16. Пятецкий-Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательности вида /(п)]//Матем. сб. -1953. -Т. 33(75), №. -С. 559−566.

17. Карацуба А. А. Об одной задаче с простыми числами//ДАН СССР. — 1981. Т. 259. № 6. -С. 1291−1293.

18. Kolesnik G. Primes of the form nc]//Pacific J. Math. -1985. -Vol. 118. No. 2. -C. 437−447.

19. Deshouillers J. M. Sur la repartition dey nombres rf] dany les progressions arithmetiques//Acad. Sc. Paris. -1993. -T. 277. Serie A. -C. 647−650.

20. Balog A., Friedlander J. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro//Pacific Л. Math. -1992. -Vol. 156. No. 1. -P. 45−62.

21. Чанга M. E. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами//Матем. заметки. —2ППЗ. — Т. 73, вып. 3. — С. 423−436.

22. Ниа L. К. On the representation of numbers as the sum of powers of primes// Math. Z. -1938. -44. -P. 335−346.

23. Хуа Ло-геп. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. —М.: Мир, 1964.

24. Kloosterman Н. D. On the representation of numbers in the form ax2 -f by2 -f cz2 + dt2//Acta mathematica. -1926. -49. -P. 407−464.

25. Weil A. On some exponential sums//Proc. Nat. Acad, of Sci. —1948. —34. — P. 204−207.

26. Estermann T. On Kloosterman’s sum//Mathematica. —1961. —8. —P. 8386.

27. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. —М.: Наука, 1983. — 240 с.

28. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. —М.: Наука, 1975.

29. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. —М.: ИЛ, 1953. —408 с.

30. Бухштаб А. А. Теория чисел. —М.: Просвещение, 1966. —384 с.

31. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. —М.: Физмат-лит, 1994. -376 с.

32. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. —M.: Мир, 1985. —184 с.

33. Хуа Л.-К. Аддитивная теория простых чисел. —М.: Изд. АН СССР. — 1947. -Т. 22.

34. Мардоюанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы//Докл. АН СССР. -1939. -Т. 22. № 1. -С. 391−393.

35. Мамфорд Д. Лекции о тета-фуикциях. —Новокузнецк: ИО НФМИ. — 1998. -440 с.

36. Hua Loo-Keng. Introduction to number theory, Springer, 1982.

37. Estermann T. A new application of the Hardy-Littlewood-Kloosterman method//Proc. London Math. Soc. -1962. —12. -P. 425−444.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

38. Мотькина H. Н. О простых числах специального вида на коротких промежутках // Матем. заметки. -2006. -Т. 79. -Вып. 6. -С. 908−912.

39. Мотькина H. Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха / С. А. Гриценко, H. Н. Мотькина // Доклады АН Республики Таджикистан. — 2009. -Т. 52. 6. -С. 413−417.

40. Мотькина H. Н. Задача Хуа Ло-кена с простыми числами специального вида / С. А. Гриценко, H. Н. Мотькина // Доклады АН Республики Таджикистан. -2009. -Т. 52. 7. -С. 497−500.

41. Мотъкина Н. Н. О некоторых аддитивных задачах теории чисел / С. А. Гриценко, Н. Н. Мотъкина // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. —2010. —№ 5 (76). Вып. 18. -С. 83−87.