Исследование функции. 
Вычисление производных функции

Федеральное агентство связи Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

По дисциплине: Математический анализ

Выполнил: Калинин Максим

Проверил: Агульник Ольга Николаевна Новосибирск, 2015 г

1. Найти пределы

а) б) в) .

Решение.

Воспользуемся формулами:

(19)

(20)

(21)

(22)

(23).

— воспользуемся тождественными преобразованиями: разделим числитель и знаменатель выражения на .

.

Поскольку ~, то ~, тогда

.

в)

Ответ: а), б) 0, в).

2. Найти производные данных функций б)

г) .

Решение.

Свойства производной:

(24)

(25)

(26)

(27)

.

.

.

— функция задана неявно.

Продифференцируем обе части равенства:

;

;

;

Выразим производную :

;

;

.

Ответ: а); б); в); г) .

3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию. Используя результаты исследования, построить её график Решение. Схема исследования функции

1. Найдем область определения функции:. Точек разрыва нет. 2. Проверим, не является ли функция четной или нечетной; проверим также, не является ли она периодической.

функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат, непериодическая

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

Пересечение с: точка

Пересечение: .

4. Найдем производную функции и ее критические точки.

 — критические точки.

5. Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции.

Определим знак производной на каждом из интервалов методом частных значений:

,

.

.

Табл.1.

Значит при (-2;2), при и

— точка минимума; - точка максимума .

6. Найдем вторую производную, ее нули и интервалы знакопостоянства.

.

, .

, .

, ,

Табл.2.

В интервалах, где < 0, то есть при и график функции выпуклый, а где >0 — и — вогнутый.

7. Найдем асимптоты.

Уравнения наклонных асимптот, где, тогда наклонных асимптот не существует.

Горизонтальная асимптота (ось)

График данной функции имеет вид:

Рис. 3.

4. Дана функция. Найти все её частные производные второго порядка Решение.

Для вычисления частных производных будем пользоваться правилом: все переменные, кроме той, по которой дифференцируем, считаем постоянными. Тогда учитывая (24) — (27). Найдем вначале производные первого порядка.

— считаем постоянной, а — переменной.

— считаем постоянной, а — переменной.

Найдем производные второго порядка:

— дифференцируем по, считая постоянной.

— дифференцируем по, считая постоянной.

— дифференцируем по, считая постоянной.

Ответ: ,

.

5. Найти неопределенные интегралы а) б) в) г).

Решение.

Воспользуемся свойствами интеграла:

(28)

. (29)

(30) — внесением под знак дифференциала необходимой переменной.

(31)

Воспользуемся формулой понижения степени, тогда

.

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся формулами

если (32)

(33).

экстремум дробь монотонность подынтегральный

Воспользуемся для разложения методом неопределенных коэффициентов:

получим систему:. Тогда

.

— выполним замену переменной, тогда .

.

Выполним обратную замену, тогда .

Ответ: а), б), в), г) .

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. 8-е изд. — М.: Наука, 1966 — 872 с.

2. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М.: Наука, 1972 — 544 с.

3. Задачи и упражнений по математическому анализу для втузов.: Учебное пособие для студентов высших техн. учебн. заведений/под. ред. Б. П. Демидовича. — М.; ООО «Издательство Астрель», 2004 — 495с.

4. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 4-е изд. — М.: Высшая школа, 1966 — 460 с.

5. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М. :Наука, 1985. — 560с.

6. Справочник по математике для экономистов/В.Е. Барбаумов, В. И. Ермаков, Н. Н. Кривенцова и др.; Под ред. В. И. Ермакова. — М.: Высшая школа, 1987. — 336 с.