Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум

Диссертация 1 посвящена разработке аналитических методов математического моделирования истечения идеального газа в вакуум. Исследуются основные конфигурации одномерных и многомерных течений, возникающие при истечении в вакуум политроппого газа, а также газа с другими уравнениями состояния. В частности, моделируется эволюция примыкающих к вакууму течений газа, которые испытывают воздействие внешних массовых сил или гравитируют по Ньютону. Кроме этого рассматриваются смежные проблемы, связанные с появлением в исследуемых течениях бесконечных градиентов.

Значительная часть физических процессов и явлений, происходящих в сплошных средах, описывается с помощью систем дифференциальных или интегродифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения — это сложный математический объект исследования, особенно если они нелинейные или имеют особенности. Построение и исследование решений нелинейных уравнений с частными производными в настоящее время ведется с помощью двух подходов: аналитического и численного.

Численные методы решения развиваются очень активно, что в первую очередь связано с наличием мощных процессоров. Однако для многих нелинейных задач, решения которых обладают различными особенностями (большие градиенты, малые или очень большие значения плотности, состыковка областей с принципиально различными значениями параметров потока, наличие особых точек на границах областей существования решений и т. д.), применение численных методов зачастую не дает надежных результатов.

Исследование нелинейных задач с помощью аналитических методов имеет свои принципиальные трудности, в основе которых лежат все те же особенности решений нелинейных задач. Эти затруднения связаны во многих случаях с отсутствием строго доказанных фактов о существовании решений и знаний об их свойствах. Очень осложняет положение большой объем выкладок и построений, необходимых для практического применения аналитических подходов. К тому же, не очень велик и сам набор эффективных аналитических методов исследования нелинейных задач: метод дифференциальных связей [158]- групповой анализ нелинейных уравнений с частными производными [131]- представление решений в виде рядов [35, 156]- различные асимптотические разложения и некоторые другие аналитические подходы.

В данной диссертации математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум проводится с помощью аналитического исследования решений нелинейных начально-краевых задач, в том числе с использованием различных сходящихся рядов.

Исследование поддержано РФФИ, проекты 02−01−1 122, 04−01−205.

Одним из самых важных результатов аналитических исследований служит установление и выявление физических и газодинамических эффектов, которые трудно (а порой и невозможно) предсказать с помощью численных расчетов. Это, в свою очередь, позволяет строить вычислительные процедуры, учитывающие особенности решений конкретных математических моделей. Яркий пример подобных вычислительных процедур — это разностная схема С. К. Годунова [73] и ее модификации, построенные на базе точного решения задачи о распаде разрыва уже почти полвека используемые при численном решении задач газовой динамики.

Начальным этапом математического моделирования был и остается выбор математической модели. В настоящей диссертации исследуется система уравнений газовой динамики, являющаяся системой гиперболического типа. Поскольку в работе исследуются газовые течения либо без ударных воли, либо до момента их возникновения, то основным элементом при построении сложных конфигураций течений служат характеристические поверхностиповерхности слабых разрывов. У системы уравнений газовой динамики имеются две звуковые характеристики, каждая кратности один, а также контактные характеристики, которые в зависимости от размерности задачи имеют кратность от нуля до трех. При учете более сложных физических эффектов математическая модель, то есть система уравнений газовой динамики, усложняется. В частности, при учете сил гравитации по Ньютону приходится рассматривать интегро-дифференциальную систему, у которой подынтегральная функция имеет известную особенность.

Среди всех краевых задач для нелинейных систем уравнений с частными производными особое место занимают задачи со свободными границами. На таких границах заданы значения некоторых искомых функций (как правило, давление), но положение самих границ и законы их движения заранее не известны, и они — искомые элементы в соответствующих начально-краевых задачах. К таким задачам со свободными границами и относятся задачи об истечении газа в вакуум, рассматриваемые в настоящей диссертации.

Сформулируем две основные задачи, исследуемые в диссертации:

1). Задача о распаде специального разрыва, при котором возникает истечение газа в вакуум;

2). Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму.

Постановки этих задач следующие.

Задача о распаде специального разрыва. Пусть в момент времени t = to поверхность Г, проходящая через точку х° = {ж^, х®-, ?<]}, отделяет находящийся по одну сторону от Г идеальный газ от вакуума (рис. 01). В этот момент времени t = to известны распределения параметров газа: р — ро (х) — плотность газаV = Vo (x) — вектор скорости газаS = 5о (х) — энтропия. Предполагается, что плотность газа ро (х) всюду больше нуля, в том числе ро (х)|г > 0. В момент времени t = to начинается движение газа, определяемое заданными при t = to распределениями ро, Vo, So, которое в дальнейшем называется фоновым течением. В частности, фоновое течение может быть однородным покоем. В тот же начальный момент времени t = to помимо начала движения фонового течения поверхность Г мгновенно разрушается и начинается истечение части газа в вакуум. Возмущения, возникшие в результате мгновенного разрушения поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Гх, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму: ро (х)|г0 — где Го — заранее неизвестная свободная поверхность, являющаяся границей, разделяющей волну разрежения и вакуум (рис. 02).

В задаче о распаде специального разрыва требуется построить фоновое течение и волну разрежения, а также найти законы движения Гх и Го.

Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Пусть в некоторый момент времени t = to по одну сторону от заданной поверхности г известны параметры газа pt=to = ро (хЬ vlf=fo = vo (x) — St=to = 50(х), а по другую сторону от г — вакуум, причем /?о (х)|г = 0 (рис- 03).

В задаче о непрерывном примыкании газа к вакууму требуется при t > to определить закон движения самой свободной поверхности Го и построить течение в ее окрестности.

Если начальные распределения параметров газа ро (х), Vo (x), ?о (х) и поверхность Г задаются функциями, аналитическими в окрестности точки х° = {xj, х^х^}, то в решении задач свободная поверхность Го (хотя бы некоторое время) будет гладкой. Такая задача называется квазиодномерной, поскольку какое-то время основные свойства течений будут близки к свойствам одномерных течений, примыкающих к вакууму.

Другой случай в задаче о распаде специального разрыва — задача с угловой точкой на свободной поверхности — можно получить двумя способами.

Во-первых, начальные распределения газодинамических параметров могут быть аналитическими функциями, но точка х° при этом является угловой точкой исходной поверхности Г (рис. 04), то есть начальная поверхность Г состоит из двух или из большего числа разных частей.

Вторая возможность появления угловой точки на Го: исходная поверхность Г задается одной аналитической функцией, но начальные распределения газодинамических параметров или их производные терпят разрыв (например плотность газа (рис. 05)).

Сложность исследованию задачи о распаде специального разрыва придают следующие обстоятельства:

— необходимо с помощью задания специальных граничных условий описать особенность решения, которая имеет место в момент мгновенного убирания стенки Г, то есть в момент времени t = to (в момент распада разрыва);

— при описании примыкания волны разрежения к фоновому течению возникает характеристическая задача Коши, когда начальные данные задаются на характеристической поверхности, и следовательно, определитель матрицы перед вектором выводящих с этой поверхности производных равен нулю;

— необходимость построения нелокального решения начально-краевой задачи в том числе для того, чтобы определить закон движения свободной поверхности и найти значения параметров газа во всей области течения от Г1 до Г0.

В задаче о непрерывном примыкании газа к вакууму сложности следующие:

— начальные данные задаются на характеристике кратности, равной числу уравнений в системе уравнений газовой динамики;

— в течении возникают бесконечные производные от газодинамических параметров, поскольку градиентная катастрофа имеет место не только в волнах сжатия, но также и в рассматриваемых волнах разрежения.

Все указанные обстоятельства существенно осложняют описание течений численными методами особенно в начальные моменты времени после распада разрыва, а также в непосредственной окрестности границы «газ-вакуум» .

Работы предшественников.

Математическому описанию движения сплошной среды, в той или иной мере связанному с моделированием истечения газа в вакуум, посвящен ряд работ. Эти работы (может быть несколько условно) можно разбить па две части. В первой — исследуются общие свойства используемых математических моделей. Вторая группа работ, посвящена приложениям.

Для работ из первой части выделены следующие разделы: гиперболические уравнения и системыхарактеристическая задача Кошитранспортные уравнения и градиентная катастрофавырожденные замены переменных.

Во второй части обсуждаются результаты, полученные по следующим направлениям: течения со свободной границей, в том числе формирующиеся под действием массовых силзадача о распаде разрывазадача об истечении газа в вакуум.

Гиперболические уравнения и системы.

Теоремы существования и единственности решений у различных начально-краевых задач для линейных и нелинейных гиперболических систем уравнений приведены во многих учебниках по теории уравнений с частными производными и по газовой динамике [120,121,125,132,134,136,172,175]. Теорема Ковалевской (ее доказательство изложено в [120,134]) применима к системам гиперболического типа, поскольку те заведомо являются системами типа Ковалевской: при записи системы в нормальном виде в правой части не возникают производные более высокого порядка, чем производные в левой части.

Характеристическая задача Коши.

Такая задача возникает, когда, во-первых, ставится задача Коши, то есть на конкретной поверхности задаются начальные данные для всех искомых функций. Во-вторых, по заданным начальным данным из системы дифференциальных уравнений невозможно определить выводящие с несущей начальные данные поверхности производные всех искомых функций. Эта ситуация возникает, когда обращается в нуль определитель матрицы, которая стоит перед вектором выводящих производных.

В случае линейных гиперболических систем В. М. Бабич [15, 16], Д. Людвиг [184], Р. Курант [120] разработали метод представления решений в виде обобщенной бегущей волны — бесконечного ряда по специальным системам функций, зависящим от (р, где (р = 0 — это уравнение характеристической поверхности исходной линейной гиперболической системы. Фактически этот метод есть постановка характеристической задачи Коши для линейной задачи и представление ее решения в виде специальных рядов. При соответствующей замене независимых переменных эти ряды становятся обычными рядами Тейлора, коэффициенты которых последовательно определяются из рекуррентных соотношений. Часть из этих соотношений являются алгебраическими, часть — обыкновенными дифференциальными уравнениями. В случае аналитичности входных данных задачи В. М. Бабич [16] и Д. Людвиг [184] доказали сходимость этих рядов в малом. Д. Людвиг свел вопрос о сходимости обобщенной бегущей волны к вопросу о существовании аналитического решения у линейной характеристической задачи Коши, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке. Для этого случая Дж. Дафф [179] и Д. Людвиг [184] доказали соответствующие аналоги теоремы Ковалевской.

В нелинейном случае для системы уравнений газовой динамики постановки конкретных характеристических задач Коши в случае, когда данные на характеристике взяты из однородного покоя или однородного движения с постоянной скоростью, были впервые рассмотрены в работе А. А. Дородницына [93] и в работе Л. В. Овсянникова [126]. В этих работах А. А. Дородницыным и Л. В. Овсянниковым построены представления решений соответствующих задач виде степенных рядов с рекуррентно определяемыми коэффициентами и доказана их сходимость. Однако с точки зрения теории уравнений с частными производными это две принципиально разные характеристические задачи Коши.

В работе А. А. Дородницына [93] для описания сверхзвуковых двумериых стационарных течений решение поставленной характеристической задачи Коши построено в случае, когда у части бесконечных рядов коэффициенты определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. И поэтому решение такой характеристической задачи Коши обладало дополнительным произволом.

В работе JI.B. Овсянникова [126] доказана сходимость ряда, описывающего стационарное осесимметричное течение Мейера в окрестности оси симметрии, па которой система уравнений имеет известную особенность: 1/г. В этом случае коэффициенты ряда определялись из разрешенной в явном виде системы линейных алгебраических уравнений и поэтому дополнительного произвола в решении данной характеристической задачи Коши нет.

Позже работы А. А. Дородницына [93], в которой коэффициенты рядов определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, в работе Е. Н. Зубова и А. Ф. Сидорова [101], а также в работах А. Ф. Сидорова [147 — 149] в пространстве годографа в виде формальных степенных рядов (в последующем названных авторами характеристическими рядами) построены потенциальные двуи трехмерные нестационарные течения в задачах о плавном вдвижении поршня в покоящийся однородный газ и об обтекании тел сверхзвуковым однородным потоком газа. При этом коэффициенты рекуррентно определялись при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Сходимость построенных формальных рядов в работах Е. Н. Зубова, А. Ф. Сидорова не была доказана. Как и обобщенная бегущая волна, так и характиристические ряды являются решениями соответствующих характеристических задач Коши, которые при стандартной замене переменных становятся обычными рядами Тейлора с рекуррентно определяемыми коэффициентами. Сходимость рядов из работ [101, 147 — 149], а также рядов, решающих характеристическую задачу Коши стандартного вида в общем случае квазилинейной аналитической системы, была доказана С. П. Баутиным [17, 21, 22]. В последующем методика решения различных характеристических задач Коши, возникающих в задачах газовой динамики, была применена в работах А. Ф. Сидорова [72, 150, 151, 156, 180], С. П. Баутина [18 — 20, 22 — 27, 29 — 44, 47 — 65], И. А. Башкирцевой [66, 67], И. Б. Гаврилушкина [72], СЛ. Дерябина [49 — 54, 74 — 92], АЛ. Казакова [55 — 57, 104, 105], М. Ю. Козманова [107,108], З. Л. Ольхи [133,188], А. В. Рощупкина [58,137] Л. И. Рубипой [141], С. С. Титова [168, 170], Ю. Ю. Чернышова [59 — 62, 174], Н. П. Чуева [176], С. А. Ягупова [63 — 65, 177, 178]. Заметим, что указанный подход успешно применен не только для случая гиперболической системы уравнений газовой динамики, но так же и для описания течений как теплопроводного невязкого [42 — 44, 59 — 62, 174], так и теплопроводного вязкого газа [30 — 34]. Представление решений нелинейных уравнений с частными производными в случаях, когда одна из рассматриваемых задач фактически является характеристической задачей Коши с дополнительным произволом в решении, имеются в работах В. А. Куликовского [119] и В. М. Тешукова [162, 164 — 166].

Характеристическая задача Коши, близкая к рассмотренной в работе JT.B. Овсянникова [126] с точки зрения отсутствия дополнительного произвола в решении, а также близкая по методике доказательства сходимости рядов, решающих эти задачи, возникает при описании тепловых волн, распространяющихся по холодному фону (см. [46]). Применение методологии характеристических рядов к построению тепловых воли было предложено А. Ф. Сидоровым в [152], в которой для нелинейного уравнения теплопроводности в одномерном плоскосимметричном случае доказано существование и единственность аналитического решения при задании закона движения фронта тепловой волны в виде многочлена от t или от ехр (—nt), к = const > 0. В работе С. П. Баутина [28] при заданной произвольной аналитической функции a (t), определяющей фронт движения тепловой волны, доказано существование и единственность аналитического решения у нелинейного уравнения теплопроводности, а также приведено обобщение данного результата как на многомерный случай, так и на другие уравнения параболического типа. В работе А. Ф. Сидорова [153] сформулирована теорема о существовании тепловой волны при заданном специальном краевом режиме, однако эта теорема осталась недоказанной (см. [156]). В работах С. П. Баутина [45, 46] доказано существование и единственность аналитического решения у нелинейного уравнения теплопроводности (в том числе многомерного) при заданном произвольном аналитическом краевом режиме с отличной от нуля в момент t = 0 производной по времени. Построение тепловых волн в течениях теплопроводного вязкого газа приведено в работе С. П. Баутина [33].

Транспортные уравнения и градиентная катастрофа.

Решения нелинейных систем уравнений с частными производными имеют некоторые свойства, принципиально отличающиеся от свойств решений линейных систем уравнений с частными производными. Одним из таких свойств решений нелинейных гиперболических уравнений является градиентная катастрофа: в некоторый конечный момент времени частные производные искомых функций неограниченно растут, хотя сами искомые функции при этом остаются ограниченными. Наиболее содержательные и физически осмысленные примеры градиентных катастроф имеются в газовой динамике: градиентная катастрофа обязательно возникает в волнах сжатия, но так же она может возникнуть из-за других внешних причин, в частности, геометрических. Например, когда к центру или к оси симметрии движется вся волна разрежения, включая свободную границу. Градиентная катастрофа так же происходит в момент прихода в точку г = 0 слабого разрыва, отделяющего однородный покой от волны разрежения, распространяющейся в этом случае вместе со свободной поверхностью в сторону увеличения г.

Работа Б. Римана [135, 190], а также работы А. Гюгонио [183] и О. Рэлея [189] положили начало аналитическим исследованиям свойств решений уравнений газовой динамики, в том числе по описанию явления градиентной катастрофы. В частности, в простой центрированной волне Римана точно определяется время и место градиентной катастрофы [132, 136, 159]. Однако для определения момента возникновения градиентной катастрофы можно не строить полностью какое-либо решение системы уравнений газовой динамики. Для этого бывает достаточно знать значения первых производных, выводящих с какой-либо звуковой характеристики, разделяющей искомое и заданное течения. Уравнения, описывающие поведение таких производных, называются транспортными.

Имеется достаточно много работ, посвященных получению транспортных уравнений и исследованию их свойств. В книге Р. Куранта [120] для случая линейных гиперболических систем получено транспортное уравнение и указано на возможность получения подобного уравнения для квазилинейной системы. В случае квазилинейной системы двух уравнений с двумя независимыми переменными в работе И. Нитше [187] получено транспортное уравнение и * исследованы свойства его решений. В работах А. Джеффри [181, 182] для квазилинейной системы произвольного порядка со многими независимыми переменными получено транспортное уравнение и для случая одномерных течений приведены формулы, определяющие время и место возникновения градиентной катастрофы. В работе А. Н. Крайко [111] результаты из [181] обобщены на случай одномерных нестационарных неравновестных течений газа. А. Ф. Сидоровым в случае двумерных [144] и трехмерных [145, 146] течений политропного газа, непрерывно примыкающих к однородному покою, выписаны транспортные уравнения и найдены их решения. В работе С.П. Ба-утина [38] транспортные уравнения и их решения для системы уравнений газовой динамики в цилиндрическии сферическисимметричном случаях получены при построении первых коэффициентов рядов, решающих характеристические задачи Коши, с помощью которых описываются течения газа при движении одномерных непроницаемых поршней.

В работах Л. И. Рубиной [138, 139] для системы уравнений магнитной газовой динамики, а также для произвольной квазилинейной гиперболической системы со многими независимыми переменными (в случае характеристической поверхности постоянной кратности больше единицы) получены и про-^ интегрированы системы транспортных уравнений. Тем самым Л. И. Рубина получила универсальные законы распространения слабых разрывов по однородному фону. В работе [140] Л. И. Рубина также исследовала поведение слабых разрывов, распространяющихся по областям центрированных волн Римапа и Прандтля-Майера.

В работах С. П. Баутина [42, 43] рассмотрены транспортные уравнения и их решения, описывающие явление градиентной катастрофы на звуковых и контактных характеристиках в течениях теплопроводного невязкого газа, а также на контактной характеристике в случае теплопроводного вязкого газа [30].

Впервые системы транспортных уравнений, которые в одномерном случае описывают поведение производных, выводящих со свободной поверхности, разделяющей газ и вакуум, выписаны и проанализированы в работе Я. М. Каждапа [102] и в его совместных с Ю. В. Житниковым работах [94, 95]. В работах [24 — 26] С. П. Баутиным получена аналогичная система транспортных уравнений в одномерном и в двумерном случаях и сведена к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка. При численных расчетах этого уравнения показано, что при определенных значениях входных параметров задачи градиентная катастрофа наступает в момент фокусировки свободной поверхности в центр симметрии, а в других случаях бесконечные значения производных возникают на свободной поверхности еще до момента ее фокусировки. C.JT. Дерябиным в работах [74 — 79, 82, 88] получены и исследованы транспортные уравнения при трехмерном истечения газа в вакуум, в том числе в условиях действия внешних массовых сил, а работах C.JT. Дерябина [82], C.JT. Дерябина и Н. П. Чуева [91] — для случая одномерных течений и в условиях самогравитации. В работе С. С. Титова [169] в виде сходящихся рядов с особенностями построены решения системы транспортных уравнений на свободной границе в случае разлета в вакуум газового шара.

Вырожденные замены переменных.

При исследовании решений нелинейных систем уравнений с частными производными, включая систему уравнений газовой динамики, часто используются вырожденные замены переменных: при переходе от исходных независимых переменных, обозначенных как х, к новым независимым переменным у, якобиан преобразования на одной из новых координатных плоскостей (например, i/i = 0) равен нулю d (у).

J = 0. j/i=o.

D (x).

Одна из простейших вырожденных замен такая: У = ех у2 = х2] J = дуг dxi dyi дх2 У1 0 ду-2 ОУ2 0 1 дх 8X2.

У1.

В этом случае соответствующая новая координатная плоскость становится характеристической поверхностью, поскольку справедливо равенство д д дх Ш дух и на поверхности у = 0 зануляется коэффициент перед производной по у. И тогда, в частности, становится возможным применение методики построения решения характеристической задачи Коши с соответствующим дополнительным произволом. Кроме этого, в газовой динамике построение автомодельных решений, включая центрированные волны Римана и Прандт-ля-Майера, фактически является использованием специальных конкретных вырожденных замен переменных. Одной из целей использования вырожденных замен переменных является раскрытие особенностей у цилиндрически-и сферически-симметричных течений в окрестности точки г = 0, что достаточно хорошо разработано в случае обыкновенных дифференциальных уравнений [106].

Таким образом, несмотря па некоторое математическое единство идеи использования вырожденных замен переменных, цели их введения могут разными: 1) получение характеристической задачи Коши- 2) избавление от особенности в исходной системе уравнений- 3) то же самое по отношению к на-^ чальным или граничным условиям- 4) внесение конкретных особенностей в искомое решение и расширение тем самым класса используемых функций.

При первом подходе возможно существенное увеличение произвола в решении. Это позволяет получить больший класс частных решений или удовлетворить большему числу краевых условий, что повышает область применимости математической модели. В работах О. В. Коковихиной и А. Ф. Сидорова [109]- Л. Г. Корзунина и М. Ю. Филимонова [110]- А. Ф. Сидорова, Л.Г. Кор-зунина и М. Ю. Филимонова [180]- С. С. Титова [167, 168, 170] решения различных нелинейных задач, включая газодинамические, строились в виде рядов по специально подобранным базисным функциям. Основное достоинство этих рядов — дополнительный произвол, возможно позволивший бы удовлетворить дополнительному краевому условию. Заметим, что использование произвола в построенных решениях для точного удовлетворения произвольным заданным краевым условиям в настоящее время остается нерешенной проблемой. Фактически, в основе специальных рядов, использованных в перечисленных работах, лежит вырожденная замена переменных, что показано в работах С. П. Баутина [30 — 34]. К этому подходу также близка и идея введения дополнительной независимой переменной типа у = In я, использованная щ в работах С. П. Баутина, С. С. Титова (см., напр., [23], [171]).

При реализации второй из целей введения вырожденных замен переменных — раскрытие особенности типа 1 /г в исходной системе уравненийнаиболее часто используется введение автомодельных переменных. С точки зрения математического формализма вначале делается замена переменных? = r/ta, т = t, а затем полагается д/дт = 0. Такой подход убирает особенность типа 1/г из одномерных уравнений газовой динамики [131] ^ и существенно упрощает задачу. Анализ размерностей во многих случаях определяет значение константы ои позволяет получить решения ряда важных одномерных задач [142], например, задачи о сильном точечном взрыве. Применению автомодельных решений в задачах газовой динамики, помимо упомянутой книги Л. И. Седова [142], посвящено много работ. Это труды: К. В. Брушлинского и Я. М. Каждана [71]- И. Е. Забабахина и В. А. Симоненко [97]- Я. М. Каждана [103]. Более сложная, но и более содержательная ситуация возникает при введении нестационарных автомодельных переменных, когда рассматривается случай д/дт ф 0. Тогда размерность исходной задачи не понижается, но зато появляется возможность удовлетворить дополнительному краевому условию. Например, в работах С. П. Баутина и А. Л. Казакова [55 — 57], а также в работах А. Л. Казакова [104, 105] исследована задача об отражении волны сжатия от оси или центра симметрии, решение которой строится в виде сходящихся рядов. В работе С. Л. Дерябина [88] об эволюции закрученных газовых течений внесение особенности типа 1/г в искомые функции позволило убрать особенность этого типа у системы уравнений га-4 зовой динамики.

К третьему направлению введения вырожденных замен переменных с целью убирания особенностей из начальных данных или из краевых условий также можно отнести автомодельные решения типа центрированных воли Римана и Прандтля-Майера, которые применяются, в частности, для описания решений задачи о распаде произвольного разрыва в плоскосимметричном случае (когда в начальный момент времени имеется разрыв [132, 136]), а также в задаче о неограниченном безударном сжатии плоского слоя (когда в финальный момент времени образуется особенность [132, 159]). Многомерные решения с подобными особенностями использовались В. М. Тешуковым в работах [162 — 166] с применением более сложных конструкций при описании распада произвольного разрыва на криволинейной поверхности. Одним из эффективных способов убирания особенности из начальных данных, в частности, в задаче о распаде специального разрыва и в задаче о безударном сильном сжатии оказалась перемена ролями зависимых и независимых переменных. Когда в физическом пространстве есть начальный или финальный разрыв плотности в виде условия вертикали, то перемена ролей плотности газа и одной из пространственных переменных позволяет перенести V особенность в само преобразованиеа у искомого решения в новом функциональном пространстве особенность отсутствует. Этот прием был использован С. П. Баутиным в [20] для описания ранее пе встречавшихся цилиндрическии сферически-симметричных течений газа, имеющих особенность, аналогичную особенности центрированной волны Римана. Эти течения возникают при мгновенной остановке вдвигающегося в газ поршня. Позже этот прием использовался для описания истечения газа в вакуум, когда имеется особенность, аналогичная особенности в центрированной волне Римана, в следующих работах: А. Ф. Сидорова [151], С. П. Баутина [24 — 27], С. П. Баутина и C.JI. Дерябина [50 — 54], C.JI. Дерябина [74 — 90], C.JI. Дерябина и Н. П. Чуева [91, 92]. Так же этот подход для убирания особенности типа условия вертикали применялся при описании безударного сильного сжатии газа в работах: С. П. Баутина [35 — 37, 44, 47], С. П. Баутина и А. В. Рощупкина [58], С. П. Баутина и Ю. Ю. Чернышова [59, 60], С. П. Баутина и С. А. Ягупова [63 — 65], А. В. Рощупкина [137], Ю. Ю. Чернышова [174], С. А. Ягупова [177, 178].

Четвертая из идей использования вырожденных замен переменных предполагает использование достаточно сложных вырожденных замен с тем, чтобы особенности внести в вид искомых функций. Построение различных асимптотических разложений часто использует именно этот подход. Например, в работах Я. М. Каждана [102], Ю. В. Житникова и Я. М. Каждана [94, 95] с помощью достаточно сложных асимптотических разложений исследовалось одномерное истечение газа в вакуум. В работе А. Ф. Сидорова [155] и в его совместной с О. Б. Хайруллииой работе [157] построено одно точное автомодельное течение, описывающее конический разлет газа или безударное сильное сжатие газа в окрестности оси вращения и имеющее конкретную особенность. Детально это решение исследовано И. А. Башкирцевой в работе [67]. В работах А. Н. Крайко [116, 117] с помощью специальных замен переменных построено течение, возникающее при отражении слабого разрыва от оси или центра симметрии в предположении о непрерывности искомого течения. В книге С. П. Баутина, C.JI. Дерябина [54] для полного построения решения задачи распаде специального разрыва при одномерном разлете газа в вакуум в окрестности оси или центра симметрии использовались нестационарные автомодельные переменные и одновременно с этим вносились конкретные особенности в искомые функции. Это позволило убрать особенность из системы уравнений и получить аналитические краевые условия. Решение начально-краевой задачи построено в виде ряда, коэффициенты которого получены в явном виде.

Течения со свободной границей, в том числе формирующиеся под действием массовых сил.

Исследованием движений сплошной среды с учетом сил гравитации занимались П. Г. Дирихле, Р. Дедекинд, Б. Риман. Они изучали фигуры равновесия вращающейся идеальной несжимаемой жидкости. Сюда относятся и классические работы об определении формы Земли, восходящие еще к И. Ныотону. Обзор некоторых из этих результатов можно найти в [122, 124, 173]. Исследованию неустановившихся движений жидкости со свободной границей в точной постановке для уравнений идеальной жидкости, включая теоремы существования и единственности, посвящены работы JI.B. Овсянникова [127 — 130]. Так же JI.B. Овсянникову принадлежат постановка и первые результаты в задаче о малых возмущениях неустановившихся движений жидкости со свободной границей, полученные в [127]. Исследованию корректности этих задач и устойчивости их решений посвящены работы В. К. Андреева [1 -14]. Имееется много работ по описанию схлопывания полости в несжимаемой жидкости (см., напр., кн. Е. И. Забабахина и И. Е. Забабахина [96]).

В монографиях К. П. Станюковича [159], Л. И. Седова [142] рассматривается движение гравитирующего газового шара как модель для описания поведения звездных образований. М. Л. Лидовым [123] в явном виде найдено точное решение для сферически симметричного течения гравитирующего газа с переменной плотностью. В работах О. И. Богоявленского [69, 70] рассмотрена динамика адиабатических течений с однородной деформацией гравитирующего газового эллипсоида. Исследованию адиабатических течений с однородной деформацией при учете сил гравитации и магнитного поля посвящены работы А. Г. Куликовского [118], А. Д. Зубова и В. А. Симоненко [99, 100]. Численное исследование гравитационого сжатия вращающегося газового шара проведено А. Ю. Бисяриным и А. Д. Зубовым в [68]. Работа Nishida Т. [186] содержит обзор некоторых результатов по математическому описанию истечения газа в вакуум. В ней, в частности, приведен результат Makino Т. [185] разрешимости начально-краевых задач для эволюции самогравитирую-щих газовых звезд.

Одномерные и многомерные нестационарные движения газа в поле внешних массовых сил при наличии свободной границы рассматривались в работах С. П. Баутина [18, 19]. В работах С. Л. Дерябина [78, 79] исследовались трехмерные задачи об истечении газа в вакуум с учетом произвольной внешней массовой силы. Решения этих задач были построены в виде сходящихся степенных рядов во всей области волны разрежения, включая свободную границу газ-вакуум. В работах С. Л. Дерябина и Н. П. Чуева [91], С. Л. Дерябина [82] аналогичные результаты получены для одномерных течений идеального политропного газа, гравитирующего по Ньютону. В работе Н. П. Чуева [176] при исследовании трехмерных течений идеального политропного газа, гравитирующего по Ныотону, рассматривалась интегро-дифференциальная система. В виде степенного ряда было построено формальное решение задачи об эволюции закрученного газового шара и доказана аналитичность коэффициентов этого ряда. В этой работе получен приближенный закон движения свободной границы газ-вакуум для вращающегося гравитирующего газового шара. Оказалось, что при определенных соотношениях параметров газа и угловой скорости вращения шар принимает форму сплюснутого эллипсоида, симметричного относительно оси вращения. При других соотношениях параметров газа и скорости вращения происходит сжатие шара вдоль оси вращения и одновременный разлет в перпендикулярных направлениях — шар превращается в плоскую фигуру, ограниченную расширяющимся вдоль обеих осей эллипсом.

Задача о распаде специального разрыва.

Задачи о распаде специального разрыва — это частный случай классической задачи о распаде разрыва (см. напр., [132, 136]). В случае плоской симметрии решением задачи о распаде специального разрыва является центрированная волна Римана, состыкованная с однородным покоем.

Как уже отмечалось, такие задачи о распаде специального разрыва решаются, в частности, при перемене ролей зависимых и независимых переменных. А. Ф. Сидоровым в [151] использованы ранее построенные в пространстве годографа характеристические ряды [101, 147] для описания решения задачи о распаде специального разрыва. Сходимость рядов в окрестности звуковой характеристики в работе А. Ф. Сидорова [151] обеспечивали теоремы, доказанные С. П. Баутиным в [17, 21], а сходимость рядов в окрестности свободной границы в [151] не исследовалась. Впервые в случаях цилиндрической и сферической симметрий полное решение задачи о распаде специального разрыва для описания истечения газа в вакуум как решение характеристической задачи Коши в специальном функциональном пространстве с дополнительным краевым условием вертикали получено С. П. Баутиным в [24]. Решение построено в виде степенных рядов и доказано, что область сходимости этих рядов покрывает всю зону волны разрежения от слабого разрыва до свободной поверхности. Также получен точный закон движения свободной поверхности. Затем подобные задачи были решены в многомерных случаях С. П. Баутиным [26, 27], С. П. Баутиным и СЛ. Дерябиным [49 — 54], СЛ. Дерябиным [74 -90], СЛ. Дерябиным и Н. П. Чуевым [91]. Позже часть из этих решений была использована С. П. Баутиным для описания безударного сильного сжатия газа (см., напр., [35, 44]).

В работах В. М. Тешукова [162 — 166] рассмотрены задачи о распаде произвольного разрыва на криволинейной поверхности, когда по обе стороны от поверхности разрыва плотность газа больше нуля в случае общих пространственных течений нормального газа, которые либо являются характеристическими задачами Коши, либо одно из составляющих искомого кусочно-аналитического решения есть решение характеристической задачи Коши. В указанных работах В. М. Тешукова не только построены решения таких характеристических задач Коши, но и доказаны их существование и единственность в классе аналитических и кусочно-аналитических функций. При этом методами, отличными от примененных в работах [22, 24], для некоторых решений детально описана область существования решений.

Задача об истечении газа в вакуум.

Известны три точные решения системы уравнений газовой динамики, описывающие процесс истечения газа в вакуум, который в начальный момент времени был однороден и покоился внутри конкретных геометрических тел: 1) простая центрированная волна Б. Римана [132,136] с линейными профилями скорости газа и скорости звука газа и с постоянной скоростью движения свободной поверхности- 2) двумерное решение В. А. Сучкова [160], описывающее истечение в вакуум с косой стенки при согласованных значениях показателя 7 и угла наклона стенки- 3) трехмерное решение А. Ф. Сидорова [143] - истечение из многогранника при согласованных значениях 7 и двухгранных углов. У течений газа, описываемых последними двумя точными решениями, все части свободной границы движутся с постоянной скоростью. Все три перечисленные решения являются автомодельными. Использование точных решений возможно для описания только очень ограниченного круга газодинамических задач, а для исследования достаточно общих ситуаций эти решения, как правило, применить не удается.

В работах Я. М. Каждапа [102], Ю. В. Житпикова и Я. М. Каждана [94, 95] различные автомодельные решения и асимптотические разложения применяются для описания цилиндрически и сферически симметричного истечения газа в вакуум. В работах С. П. Баутина [24 — 27], а также в совместных с C. J1. Дерябиным работах [49 — 54] при t > to рассматриваются однои двумерное истечения газа в вакуум в различных ситуациях, в том числе и в случае произвольного уравнения состояния р = p7f (p, S) с аналитической функцией f (p, S).

В книге Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера [98] приближенное аналитическое исследование течений газа в задаче о разлете шара или цилиндра дало следующие результаты. В главных порядках при больших значениях времени имеет место инерционный разлет, приближенно описываемый автомодельными решениями с произвольными функциями, которые отражают предысторию неавтомодельной стадии расширения газа в вакуум. При этом траектории частиц являюся прямыми, вдоль которых плотность уменьшается по степенному закону от времени. Распределение плотности по радиусу не меняется с течением времени, а только растягивается с ростом г, оставаясь подобным самому себе. В серии работ А. Н. Крайко [112 — 115] исследовались.

R такие конфигурации течений, которые либо возникают при одномерном истечении газа в вакуум, либо могут быть использованы для описания подобных течений. В частности, в работе А. Н. Крайко [113] изучаются асимнтотические закономерности нестационарного течения газа при его свободном расширении в вакуум, и получены главные слагаемые, описывающие поведение траекторий частиц газа и плотности газа. В работе А. Н. Крайко [114] система уравнений газовой динамики интегрируется в первом приближении, а также строятся решения с неполной автомодельностыо, когда только часть искомых функций зависит от автомодельной переменной. Кроме этого, в упомянутой работе установлена асимптотика второго приближения цилиндрически-и сферически-симметричного истечения газа в вакуум.

C.JI. Дерябиным [74 — 79] построено обобщение центрированной волны, испольуемое для описания трехмерного истечения газа в вакуум, в том числе в условиях действия внешних массовых сил. В работе C.JI. Дерябина [82], а также в работе C.JI. Дерябина и Н. П. Чуева [91] указанное обобщение простой волны переносится на случай одномерных течений в условиях самогравитации. И. А. Башкирцевой [66] для передачи одномерного истечения газа в вакуум применены методы ускорения сходимости рядов. Детальная структура коэффициентов этих рядов и их сходимость установлены ранее в работах С. П. Баутина [24, 25]. Л. И. Рубиной в [141], по-видимому, впервые в случае состыковки одномерной простой волны Римана с соответствующим двумерным автомодельным течением поставлена характеристическая задача Коши и сведением к теореме из [21] доказано существование у нее решения. Благодаря этому Л. И. Рубиной построено кусочно-составное решение задачи об истечении газа в вакуум с гладкой стенки. В работе А. Ф. Сидорова [154] одно известное точное решение задачи об истечении газа в вакуум с особенностью в момент t = to состыковано с волной сжатия, имеющей особенность в другой момент времени t = t > to. В. М. Тешуковым доказано существование в целом вплоть до свободной поверхности решения задачи Гурса для уравнения плоских конических течений [161].

Основная цель данной диссертации — моделирование различных течений идеального политропного газа, примыкающих к вакууму. Эта цель достигается с помощью последовательного решения следующих задач:

— построение с помощью рядов решений квазиодномерных задач о распаде специального разрыва и о непрерывном примыкании газа к вакууму;

— исследование областей сходимости построенных рядов;

— установление точного закона движения свободной поверхности;

— выявление тех особенностей и особых точек течений, которые имеют место на свободной поверхности и на слабом разрыве;

— исследование свойств течений в окрестностях этих особых точек;

— построение течений, имеющих на свободной поверхности угловые точки;

— исследование течений политропного газа в условиях действия внешних массовых сил и гравитирующих по Ньютону;

— рассмотрение течений газа с другими уравнениями состояния;

При решении сформулированных задач используется методология характеристической задачи Коши и представление ее решения в виде степенных рядов. Но поскольку большинство из построенных в работе решений имеют какие-либо особенности, то для их раскрытия часто делаются вырожденные замены переменных (например, с использованием логарифмов или дробных степеней) и строятся ряды в специальных пространствах.

Кроме этого, проводится исследование особых точек в построенных течениях: центры симметрии, угловые точки свободных поверхностей и звуковых характеристик — в этих точках решения, как правило, теряют аналитичность. Для состыковки различных течений производится переразложение построенных решений в окрестностях особых точек. При этом, как правило, невозможно полное описание сложных течений с помощью функций, аналитических во всей рассматриваемой области. В этом состоит ограниченость используемого метода представления решения характеристической задачи Коши в виде рядов.

Исследования, проведенные в диссертации, привели к созданию единой методики решения задач об истечении газа в вакуум. Эта методика состоит из следующих основных моментов.

1.

Введение

вместо декартовой системы координат другой координатной системы, обусловленной конкретной геометрической и газодинамической ситуацией.

2. Перемена ролей у зависимых и независимых переменных для описания течений, возникающих в задаче о распаде специального разрыва и имеющих в физическом пространстве бесконечные значения производных.

3. Постановка начально-краевых задач в пространстве специальных независимых переменных. Как правило, эти задачи являются характеристическими задачами Коши, которые удается свести к стандартному виду.

4. Представление решений полученных характеристических задач Коши в виде рядов с рекуррентио определяемыми коэффициентами. При этом коэффициенты для части искомых функций находятся при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а для остальных — из решения систем линейных алгебраических уравнений с отличным от пуля главным определителем.

5. Установление локальной сходимости рядов сведением к теореме о существовании и единственности аналитического решения у характеристической задачи Коши стандартного вида.

6. Детальный анализ структуры коэффициентов рядов с целью выявления их особенностей, а также полиномиальной структуры коэффициентов по каким-либо переменным и описание на этой основе области сходимости рядов.

7. Установление свойств решений, в том числе определение точного закона движения свободной границы и значений газодинамических параметров на ней.

8. Построение решения характеристической задачи Коши в физическом пространстве в случае непрерывного примыкания газа к вакууму, когда кратность характеристики, несущей начальные данные для этой задачи, совпадао ет с числом уравнений в исходной системе уравнений с частными призвод-ными.

9. Выявление особенностей, которые возникают на свободной поверхности, с помощью исследования системы транспортных уравнений, описывающих поведение первых выводящих со свободной поверхности производных.

10. С помощью специальных вырожденных замен переменных внесение конкретных особенностей в решения для построения течений в окрестностях особых точек, включая ось или центр симметрии.

В диссертации проведено законченное исследование одномерных и многомерных задач об истечении газа в вакуум. Разработаны теоретические положения по методологии исследования этих задач. Тем самым решена научная проблема по адекватному моделированию истечения идеального газа в вакуум.

Это потребовало формулировки новых начально-краевых задач, а именно, характеристических задач Коши с данными на звуковых характеристиках и на кратных характеристиках как в физическом, так и в специальном функциональном пространствах.

Поскольку в начальные моменты времени после распада специального разрыва, а также в окрестности границы «газ-вакуум» исследование этих задач численными методами практически невозможно, разработана методология аналитического решения сформулированных задач.

В основе этой методологии лежит доказательство существования локально-аналитических решений начально-краевых задач и их конструктивное построение в виде степенных рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами.

Далее для описания всей картины течения построенные решения состыковываются между собой непрерывно или приближенно. Это позволило с большой степенью достоверности представить всю картину истечения газа в вакуум, выявить возникающие особенности и, в частности, во многих случаях получить точный закон движения границы «газ-вакуум» и значения параметров газа на ней.

Практическая ценность работы определяется ее важностью с точки зрения приложений. Построенные решения могут использоваться для:

1. Описания процесса разлета газового шара, а также его схлопывания под действием самогравитации;

2. Исследования эффектов кумуляции при схлопывании полости в сплошной среде. Именно такие течения возникают в некоторых физических экспериментах при получении больших локальных значений плотности специальных сред, в том числе для инициирования термоядерного синтеза. Кроме того, подобные течения возникают при кавитации воздушных пузырьков на гребных винтах и подводных крыльях;

3. Исследования различных струй, включая кумулятивные, границы которых априори являются свободными;

4. Описания процессов неограниченного сжатия газа. Исследование процессов либо неограниченного, либо очень сильного сжатия газа имеет принципиальное значение для многих физических экспериментов по осуществлению управляемого термоядерного синтеза.

Кроме того полученные в диссертации результаты можно использовать для правильной постановки начально-краевых задач и граничных условий в численных исследованиях задач со свободными границами.

И наконец, построенные решения могут использоваться для тестирования численных методик.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается: математически строгой постановкой начально-краевых задачпостроением в виде рядов полных разложений решений этих задач и их исследованиемдоказательством теорем о свойствах областей сходимости построенных решений.

— то есть математически строго доказанными фактами.

Личный вклад автора.

Постановка одномерных начально-краевых задач о распаде специального разрыва и их решения, приведенные для полноты изложения в § 1 пункте 1.2, получены С. П. Баутиным [25]. Задачи об истечении в вакуум нормального газа, представленные в § 2, решены автором совместно с С. П. Баутиным в работе [53], в которой автору принадлежат постановка задачи, построение решения и анализ структуры коэффициентов ряда, а С. П. Баутиным доказана теорема 2.2. Задачи об истечении в вакуум газа гравитирующего по Ньютону (§ 3) решены автором совместно с Н. П. Чуевым [91], а также исследованы автором в работе [82]. В работе [91] автору принадлежат постановка задач, построение решений и доказательство всех теорем, а Н. П. Чуевым исследовалась задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Исследования в совместных работах [49, 50, 51] проведены автором и С. П. Баутиным с равным творческим вкладом. В совместно с С. П. Баутиным опубликованной книге [54]: автором единолично написаны §§ 4−9,11, 12- автором совместно с С. П. Баутиным написаны введение, §§ 2, 3, 10, заключение и библиографический обзорС.П. Баутиным единолично написаны §§ 1, 13−16.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в 24 печатных работах, куда входят: одна книга [54], издательства Наука, а также 12 статей [49−51, 53, 74, 75, 78, 79, 82, 85, 88, 91], опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях.

Результаты диссертации докладывались на IX Всероссийской школе — семинаре «Аналитические методы в газовой динамике» (Свердловск 1982 г.), Всесоюзной конференции «Многомерные задачи механики сплошной среды» (Красноярск 1982 г.) Всесоюзной конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики» (Москва 1990 г.), Международной конференции «Free-boundary problems in continuum mechanics» (Новосибирск 1991 г.), Всероссийских школах — семинарах «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Екатеринбург 1992 г., Саров 1994 г., Уфа 1998 г., Абрау-Дюрсо 2004 г.), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Пермь 2001 г.), VII, VIII Международных конференциях «Заба-бахинские научные чтения», (Снежинск 2003, 2005 гг.), Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академика А. Ф. Сидорова «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», (Екатеринбург 2003 г.), Всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию академика JI.B. Овсянникова «Новые математические модели механики сплошной среды», (Новосибирск 2004 г.), Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М. А. Лаврентьева «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», (Новосибирск 2005 г.).

Диссертация состоит из введения трех глав и заключения.

Список литературы

содержит 191 наименование. Объем диссертации 227 страниц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

При подведении итогов полученных в данной диссертации результатов исследований можно сделать следующие выводы.

Для поставленных начально-краевых задач как в задаче о распаде специального разрыва, так и в задаче о непрерывном примыкания газа к вакууму в случае многомерных течений политропного газа построены кусочно-аналитические решения, описывающие истечение газа в вакуум. В качестве одного из элементов составного решения построено обобщение простой центрированной волны Римана на случай (t, х, х2, xz). Доказано существование и единственность аналитических решений во всей области волны разрежения от слабого разрыва до свободной поверхности включительно.

На основе анализа построенных решений установлены законы движения свободной поверхности как в задаче о распаде специального разрыва, так и в задаче о непрерывном примыкания газа к вакууму. В многомерных течениях каждая частица газа на свободной поверхности движется по своей прямой со своей постоянной скоростью. В этом случае скорость истечения газа па свободной поверхности определяется как геометрией исходной поверхности раздела «газ-вакуум», так и начальными распределениями параметров газа — на пей. В частном случае линейчатых свободных поверхностей доказано, что свободная поверхность до возникновения особенностей в течении стоит на месте, а частицы газа движутся каждая со своей постоянной скоростью вдоль образующих этой поверхности.

Получены системы транспортных уравнений, описывающих поведение первых производных, выводящих со свободной поверхности, и исследованы их решения. Это позволило определить моменты времени и места возникновения в течениях газа градиентных катастроф, которые в свою очередь определили временные границы существования построенных решений. В том числе в случае разлета газа бесконечные значения производных возникают на поверхности фокусирующегося слабого разрыва, а на свободной поверхности никаких особенностей нет. В случае схлопывания одномерной полости, наоборот, бесконечные значения производных возникают на свободной поверхности. В общем случае трехмерных течений при исследовании систем транспортных уравнений для свободной поверхности найдена зависимость 7* = 7*(&i, к2): если 7 < 7*, то градиентная катастрофа наступает в момент появления угловой точки на свободной поверхностиесли 7 > 7*, то градиентная катастрофа возникает еще до этого момента. I В задаче о распаде специального разрыва и в задаче о гладком примыкании газа к вакууму полученные результаты обобщены на случай одномерных течений нормального газа с достаточно общим уравнением состояния, на случай трехмерных течений нолитроппого газа, который находится в поле действия внешних массовых сил, а также на на случай одномерных течений политропного газа, гравитирующего по Ньютону. В частности установлено, что при наличии внешней силы каждая частица на свободной поверхности движется как материальная точка в поле этой силы. Определена для са-могравитирующего газа ситуация, когда при разлете газ останавливается и после этого момента начинается схлопывание всей массы газа. Выявлено регулирующее воздействие гравитации на течение газа: отсутствие градиентной катастрофы па свободной поверхности до момента фокусировки газа на ось или в центр симметрии.

Построены решения задачи со специально подобранными начальными условиями, моделирующие закрученные и струйные течения. Установлено, что в случае закрученных течений свободная поверхность остается осесим-метричной и всегда движется от оси симметрии. При исследовании систем уравнений переноса и систем транспортных уравнений показано, что особенности в струйных течениях возникают в двух ситуациях: 1) частицы газа, движущиеся вдоль Г, набегают одна на другую и течение «опрокидывается» — 2) градиентная катастрофа происходит за счет уплотнения среды, примыкающей к свободной поверхности. Следовательно, в струйных течениях градиентные катастрофы на поверхности Го возникают по двум разным па-правлениям.

Построены кусочно-составные течения, возникающие как при одновременном, так и при последовательном убирании в разные моменты времени двух взаимно перпендикулярных плоскостей, отделяющих в начальный момент времени однородный покоящийся газ от вакуума. Установлено существование угловых точек на свободной поверхности, а также определены законы движения различных частей свободных поверхностей и поверхностей слабых разрывов.

Построены различные представления решений одномерных уравнений газовой динамики в окрестности оси или в центра симметрии и исследованы их свойства. Описано течение, возникшее в результате разрушения конической поверхности, по одну сторону от которой находился вакуум, а но другуюоднородный покоящийся газ. В частности решение задачи о распаде специального разрыва вдали от точки фокусировки слабого разрыва на ось симметрии построено в виде сходящихся рядов во всей области течения, включая свободную поверхность. В окрестности точки фокусировки слабого разрыва установлено, что область сходимости рядов имеет секториальный вид. Также построено другое представление решения в окрестности оси симметрии, которое стыкуется с исходным однородным покоящимся газом.

В заключение можно сказать — в диссертации проведено законченное исследование одномерных и многомерных задач об истечении газа в вакуумразработаны теоретические положения по методологии исследования этих задач — тем самым решена научная проблема по адекватному моделированию истечения идеального газа в вакуум.