Регуляризованные следы и спектральные асимптотики обыкновенных дифференциальных операторов

В 1953 г. И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан [17] получили формулу.

Е (*" - -2) = 4 п=1 где {Ап}?(^11 — собственные значения задачи Штурма-Лиувилля:

— у" + 9 {х)у =^У, у (0) = у (<�к) = 0, д (х) — вещественная дифференцируемая на отрезке [0,7г] функция,.

7 Г причем j g (x)dx = 0. о.

Формула (1) стала называться регуляризованным следом оператора Штурма-Лиувилля и послужила источником многочисленных работ. Л. А. Дикий [22], [23] и И. М. Гельфанд [18] для оператора Штурма-Лиувилля вычислили регуляризованные следы всех порядков, т. е. суммы вида.

А™-Лт (п)), (2) п—1.

Ат (п) — вполне определенные числа, предъявляемые по асимптотике собственных значений п по степеням п при п —> сю и обеспечивающие сходимость рядов.

Л.Д. Фаддеевым и B.C. Буслаевым [8], [9], [89] получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром.

С. Хальберг, В. Крамер, Р. Гильберт [19]-[21] получили формулу.

00 оо.

Ап — Цп) = (ВсРп> <Рп), (3) п—1 П = 1 оо.

При условии, ЧТО ряд (в<�рп, </?") СХОДИТСЯ. Здесь Ц < < • • •.

— собственные значения с учетом кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора, А, действующего в гильбертовом пространстве Н, а • • • соответствующая этим собственным значениям последовательность ортонормированных собственных векторов, А2 < А2 <.. — собственные значения с учетом кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора С, причем операторы, А и С имеют одинаковую область определения.

Д4И В = С-А.

Так, для оператора, А = ——г, действующего в пространстве ахг.

•?[0,71-] на функции, удовлетворяющие краевым условиям.

2/(0) = з/(7г) = 0, собственные значения ¡-лп = п2, нормированные собственные функции (рп (х) = у^этих. Пусть, как и ранее, Ап — собственные значения оператора 9, с1х у (0) = «М = 0, где д (х) — дифференцируемая на [0,7г] функция, среднее значение которой на этом отрезке равно 0. Оператор В является операоо тором умножения на функцию д (х). Тогда ряд [дфп, <рп п—1 сходится [2−3], причем ч ^(0) +^(тг) {9<Рп, 4>п) =—^п=1 и формула (3) переписывается в виде (1).

Если, А — регулярный оператор ШтурмаЛиувилля в гильбертовом пространстве Ь2[0,7г], а В — оператор умножения на вещественную дифференцируемую на [0, тг] функцию д (х), причем.

7 Г оо д{х)(1х = 0, то ряд ^ (В (рП1 срп) сходится и находится его п= 1 0 сумма [19] [21].

Р.Ф. Шевченко [94], [95] вычислил сумму разности собственных значений для несамосопряженных операторов, А и, А + В, задаваемых дифференциальными выражениями на отрезке [0, 1] п ¿-п.

-,—1- д (х) соо тветственно хп с1хп и одинаковыми регулярными краевыми условиями [52]. 1.

Функция д (х) достаточно гладкая и J д[х)(1х — 0. Тогда о.

0(1)+ <7(0.

У^ (Ап — дП/ п=1.

Для сингулярных операторов Штурма-Лиувилля сумму разностей собственных значений вычислили М. Г. Гасымов и Б. М. Левитан [15], [16]. Пусть, А — полуограниченный самосопряжённый оператор в 1у2[0,+сю), заданный на полуоси выражением.

1(у) =-у" + ч{х)у, 9(х)еС (И+) (2.3) и закрепленным граничным условием имеет дискретный спектр ¡-лГ1, п = 1,2,., В — оператор умножения на вещественнозначную функцию д (х), причём о.

Со (М+) — множество непрерывных, финитных на М+ функций.).

Обозначим через Хп спектр возмущённого оператора, А + В. Тогда.

А.Г. Костюченко [31] вычислил регуляризованные следы (2.5) для полуограниченных дифференциальных операторов высших порядков, при этом предполагалось, что возмущение д (х) удовлетворяет условиям (2.4).

В 1967 г. В. Б. Лидский и В. А. Садовничий [1] предложили метод вычисления регуляризованных сумм корней^, ? = 1,2,3,. целой функции ¡-(г), принадлежащей классу К:

2.4).

2.5) П n оо г-юо, к= 1 1/=0.

1/=0.

Регуляризованные суммы корней функции /(г): оо явно вычисляются через параметры асимптотики f (z), Вт{£) -отрезок в асимптотическом представлении z™ по степеням i при t —оо, обеспечивающий сходимость ряда.

К изучению корней целых функций класса К приводят наиболее общие краевые задачи на отрезке. А именно, рассмотрим краевую задачу на отрезке [0, 1], порождаемую дифференциальным уравнением dnv dn~1v dn~2v Pl (x' + P2{x> +'''+ Pn (x'X)y = 0 (u) и краевыми условиями п-1.

Щу, Л) = £МА)^'>(0) + МЛ)/?)(1)1 = 0, г = М. (1.2) з=о.

Спектральный параметр Л? С входит в уравнение (1.1) и краевые условия (1.2) полиномиально: а.

Ра{х, А) = ^Р0/3(:г)А0Л, а = ~Т/п, (1.3) о а^-(А) , — многочлены по, А, при этом предполагается, что при каждом фиксированном, А краевые условия (1.2) линейно независимы, Pa?(x) — достаточно гладкие на отрезке [0, 1] функции.

В классической теории таких краевых задач, заложенной в работах Биркгофа Г. Д. [4], [5], Тамаркина Я. Д. [72] и Лангера P.E. [35] и продолженной в работах Келдыша М. В. [29], [30], Наймарка М. А. [52], Ильина В. А. [25]—[27], Лидского В. В., Садовничего В. А. [1], [2], Хромова А. П. [92], [93], Моисеева Е. И. [48], Шкаликова A.A. [96], [97], предполагалось (за исключением отдельных случаев, о которых будет сказано ниже), что характеристический полином по Тамаркину [72].

ПИ = + Р10шп-г + • • • + P*, un-a + • • • + Рп0 (1.4) не имеет кратных корней. Тогда характеристический определитель Д (А), нулями которого являются собственные значения задачи (1.1)—(1.2), принадлежит классу К .

Поэтому регуляризованные следы (2) краевых задач (1.1)—(1.2), при условии простоты корней характеристического полинома (1.4), вычисляются по формулам (4) регуляризованных сумм корней целой функции класса К .

Мы снимаем условие простоты корней характеристического полинома (1.4).

В общем случае кратных корней ., шп полинома (1.4) фундаментальная система решений уравнения (1.1) имеет более сложные, чем в случае простых корней, асимптотические разложения в некоторых бесконечных областях комплексной плосткости, А .

Отметим, что и в случае кратных корней возникают ситуации, когда фундаментальная система решений уравнения (1.1) имеет такие же асимптотические разложения как и в случае простых корней. Так, например, в известном уравнении Орра-Зоммерфельда [3] характеристический полином (1.4) имеет один корень = О кратности два и два однократных корня а^/2 = ¦ Однако асимптотическое разложение фундаментальной системы решений не содержит дробных степеней спектрального параметра, А в показателях экспонент (см. (1.5)). Поэтому характеристический определитель, А (А) краевой задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда принадлежит классу К .

Рассмотрению краевых задач (1.1)—(1.2) вне зависимости от кратности корней характеристического полинома (1.4) посвящена первая глава настоящей работы.

В работах Тржитзинского В. [77] и Территтина X. ([79], теорема 1) построены п независимых формальных решений уравнения и дан алгоритм нахождения параметров kj? N, ?lji (t), o-Jly (x) разложения (1.7). Для нахождения асимптотики собственных значений, I = 1, 2,. краевой задачи (1.1)—(1.2) необходимо, чтобы формальные решения (1.7) уравнения (1.1) являлись асимптотическими решениями при, А —> ос в неограниченных областях, и эти области покрывали внешность круга достаточно большого радиуса с центром в начале координат.

Наложим следующее.

Условие 1. Параметры > j =, i = kj — 1 в формальном представлении (1.7) решений уравнения (1.1) являются постоянными.

Установить постоянство параметров uJt в терминах коэффициентов Ра[з{х) уравнения (1.1) позволяет приведенный в первой главе алгоритм построения формальных решений (1.7) с использованием диаграмм Пюизо. Так, например, если коэффициенты Pai, а = 1, п являются постоянными и кратность корней полинома Щбо") не превышает двух, то условие 1 будет выполнено. Тогда каждому простому корню ш полинома П (о-) отвечает формальное решение.

1.1):

1.7).

ОО у (х, А) = е*А* а каждому двукратному корню с^о отвечают два независимых формальных решения уравнения (1.1) (утверждение 1.1):

1 ОС и=0 оо.

У2(хА) = и=О где 2 ½.

При условии 1 во внешности круга |А| < Щ, Дд — достаточно большое положительное число, существует конечное число простых гладких кривых (р — полярный угол, /т — некоторый интервал), причем ш (^) —+00 при (р —(рт, <р € 1 т (Теорема 1.1).

Эти кривые Фт, т = 1, М (см. Рис. 11) разбивают внешность круга |А| < Яо на конечное число неограниченных замкнутых областей 5 т, т = 1, М (см. Рис. 12). В каждой области Бт формальные решения (1.7) уравнения (1.1) являются асимптотическими и справедлива.

Теорема 1. 3. В каждой области, т = 1, 2, ., М существует фундаментальная система решений уШ1(ж, А). Ут2(ху А). ., Утп (х1 А) уравнения (1.1) такая, что.

Лг / Л г оо ут](х, Х}~ем:>т (- + Ц-(А)) (1.13).

Л —у оо, A G Sm, i = 1, 2, ., п .

Из асимптотического разложения фундаментальной системы решений (1.13) уравнения (1.1) следует, что характеристический определитель Д (А) задачи (1.1)—(1.2) является целой функцией первого порядка, имеющей асимптотическое представление во всей плоскости при, А —у оо:

Н h-]0 xh-l.

A (A)~^V=o ^ (3Ik), (1.14) к—1 v=0 где h — наименьшее общее кратное чисел к^,. ., кп, ? Z, fe? ^ ^? Аз^ 0 ~ параметры асимптотики функции А (А), определяемые через коэффициенты дифференциального уравнения (1.1) и краевых условий (1.2).

Характеристический определитель Д (А) не принадлежит классу К. Однако метод Лидского-Садовничего [1] введения дзета-функции, ассоциированной с классом К, можно распространить и на целые функции Д (А), имеющие асимптотические представления (1.14). Дзета-функция, ассоциированная с функцией Д (А), вводится с помошью интеграла.

Z (a) = — [ Rea > 1, (1.17) v 7 2тTiJ Д (А), v — г где Г — некоторый контур на римановой поверхности л/А, и многозначная функция А~а определяется фиксированной ветвью логарифма, регулярной во внешности контура Г. Дзета-функция Z (a) аналитически продолжается во всю a-плоскость как целая функция, причем.

Z (-h)=kw"h' Р = °' 2' ••• ' коэффициент асимптотического разложения.

А € Г, А -> оо, (1.16).

Д'(А).

Д (А) m л h — v.

4 } = v = 0,. h- 1. h.

Нули Л^,? = 1, 2, 3,. функции Д (А) асимптотически при больших номерах I располагаются в секторах ES1 s = 1, ., М раствора 2ё каждый, е > 0 — достаточно малое, биссектрисами которых являются критические направления arg, А = ф3 (следствие 1.3). Для установления формул (4) регуляризованных сумм корней функции Д (А) нужна детальная информация об асимптотике нулей А^, а именно необходимо получить явные выражения Вт{£), обеспечивающие сходимость ряда (4). Для нулей функций класса К возникает ситуация [63], при которой получение асимптотических формул для нулей А^ по степеням? принципиально невозможно. Это приводит к необходимости получения формул ре-гуляризованных следов с помощью теории возмущений. Поэтому, распространяя теорию Лидского В. Б. и Садовничего В. А. [1] на более широкий класс целых функций, чем класс К, будем считать выполненным следующее.

Условие 3. Для корней А£ = 1, 2, 3,. функции Д (А), лежащих в секторе ES1 s = 1, ., М, справедливо асимптотическое представление где а3 — некоторое не равное нулю комплексное число, ms.

Xns ~ asnms п —оо.

1.19) k=1 nms натуральное число, полиномы относителъно Inп степени k — h + 1 при k>h и нулевой степени при 1 < к < h — 1 .

Справедлива.

Лемма 1. 4. При Reer > 1 I где h, <т = 0, ±1, ±2, .

Л (СГ) = < е-2тг/г^ 2.

I —-—:-. в остальных точках.

К е~2&trade-1 — 1 '.

Возведем асимптотическое соотношение (1.19) в степень —а, по формуле Тейлора получим (1.20.

V k=i nms J где k-h+l.

Q{s](oMn)= e 4tV) b n и щ?1(сг) — полиномы относительно, а степени к .

Для фиксированного натурального т заключаем, что функция.

00 м / Е Е п=1 S=1 i-a I, , V^ <3tS)(o, lnn).

А"т — 1 + E k=1 nms.

1.21) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость т + 1.

Rea >—-— + i. h.

В асимптотической формуле (1.19) конечное число нулей функции Д (А) могут оказаться непронумерованными или же, наоборот, может оказаться избыток целочисленных индексов в конечном числе. В случае, когда оказываются непронумерованные корни, они включаются в сумму (1.21). Так как их конечное число, то они не влияют на существование аналитического продолжения Фт (а). Если имеется избыток целочисленных индексов в (1.19), то в сумме (1.21) A~SCT, снабженные избыточными индексами, считаются нулями. Поэтому в (1.21) поставлен штрих над знаком суммы. Рассмотрим функцию +, (1−22) п = S = l V к= 1 nms ! регулярную при Re, а > 1 .

Из соотношения (1.21) и леммы 1.4 при Rea > 1 имеем.

Отсюда следует, что функция Фт (сг) аналитически продолжается как мероморфная функция в полуплоскость т + 1.

Rea >——-Ь 1, h и значения Фг (о") выражаются через (-функцию Римана и ее производные. Вычисляя значения Фт (о") по формуле (1.23) при сг = 0, —1, —2,. , мы доказываем основную теорему первой главы т + 1.

Теорема 1. 5. При любом целом т < ——-1 справедливы равенства оо м.

Е’Е n = 1 5=1 т.

Лпз hm a™nms а, т. Е к=1 к—hm.

П ms J.

1) ш+1)/г.

Фт (-гг1 где ^(^+1)/?. ~~ К0ЭФФиииенты разложения в (1.16), Фт (—ш определяются через (-функцию Римана и ее производные, as — коэффициент при главном члене в асимптотике (1.19), Qk—т, Inn) — полином относительно Inп в представлении 1.20.

Иллюстрацией теоремы 1.5 служит краевая задача второго по рядка с кратным корнем характеристического полинома (1.4):

0 — 2А^ + {ф) — А + А2) у = 0, (1.25 dx.

3/(0) = 2/(1), 2/(0) = 2/(1),.

Р (Ж) ес°°[о, 1].

Характеристический полином (1.4).

П (и) = ш2−2и + 1.

1.26 имеет корень = 1 кратности 2 .

Собственные значения краевой задачи, начиная с некоторого, простые, образуют четыре серии, причем для этих серий справедливы асимптотические разложения при к —> +оо 1.

00 J1].

Хк1 ~ 2тiik + Vbrik + - + }.

U=1 l 00 k2 ~ 2nik — у/ЪНк + - + > u=1 л т.

— 27тгк + у/-21ък + - + У^ ос [з] V.

1/=1.

Чь ки/2 л. 1 оо [4] м ~- + ^ +?^, и=1 коэффициенты г/1., у — 1, 2,. последовательно определяются по рекуррентным формулам, причем 1.

I т>1 1) I / ч — 1.

2л/2 Щ И 1 иг.

5−1.

Р№-~ I, г = 1,2, Г]11] = '??1, =.

87гг.

V1 р{г) I^щм — ^ 1.

2 5 = 1,4.

0 0 Дефект регуляризации н, т. е. целое число, равное недостатку или избытку собственных значений краевой задачи, равен 2. Поэтому, при заданном способе нумерации два собственных числа окажутся непронумерованными. Формула регуляризованного следа первого порядка имеет вид: оо 4 к/.

ЕЕ.

1 2 т и к1/' 1 к=1 з=1 где, а = а<2 — 27гг, аз = оц = — 27гг.

Асимптотическое разложение фундаментальной системы решений (1.13) уравнения (1.1), полученное в теореме 1.3, позволяет установить базисные свойства системы собственных и присоединенных функций задачи (1.1)-(1.2). Если характеристический полином П (ы) не имеет кратных корней, то базисные свойства системы собственных и присоединенных функций хорошо изучены в.

G (x,?, л)| < a g гдг работах [4], [5], [И], [29], [30], [45], [54], [83]—[85] [92], [93], [96], Обратимся к краевой задаче (1.25)—(1.26).

В А-плоскости построена расширяющаяся система контуров^ Г]у, на которых функция Грина А) задачи (1.25)—(1.26) имеет равномерную по х и? , 0 < х < 1, 0 <? < 1 оценку: С где С — некоторая положительная постоянная. Из этой оценки функции Грина методом контурного интегрирования получается двукратная разложимость функций в равномерно сходящийся на [0, 1] ряд по собственным функциям задачи (1.25)—(1.26).

Теорема 1. 6. Пусть функции f (x), д (х) удовлетворяют следующим условиям:

1) f (x) е С4[0, 1], g (x) g С3[0, 1].

2) функции }{х), }'(х), }" (х), д (х), д'{х), cp (x)f (x) удовлетворяют краевым условиям (1.26).

Тогда справедливо разложение пары функций f (x) и д (х) в равномерно сходящийся на отрезке [0, 1] ряд.

00 cy, и= 1 где.

1 /" п.

9{X)Jу Л"УЛх), к} №)ш.