Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных

• СОДЕРЖАНИЕ
• 1. Решение дифференциальных уравнений в частных производных 4
• 1.1 Элиптические уравнения 6
• 1.2 Параболические уравнения 9
• 1.2.1 Уравнение теплопроводности 9
• 1.2.2 Пример метода правовой разности 10
• 1.2.3 Метод Кранка-Николсона 11
• 2. Теория разностных схем 14
• 2.2 Разностные схемы для уравнения теплопроводности 16
• 3. Построение численных методов с помощью вариационных принципов 21
• 3.1 Метод Ритца 21
• 3.2 Метод Бубнова-Галеркина 24
• 4. Термодинамическое описание системы 27
• 5. Модельное уравнение теплопроводности 29
• 6. Дифференциальное исчисление тензоров 31
• 6.1 Понятие m-мерной поверхности 31
• 6.2 Тензорные поля на поверхности 33
• 7. Практическая часть 35
• 7.1 Общие сведения пакета Matlab 35
• 7.2 Общие сведения пакета Mathcad 37
• 7.3 Элективный курс «Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных» 38
• Заключение 45
• Список использованных источников 46

Важнейшая роль в развитии современного общества принадлежит информатизации, особенность которой состоит в том, что одним из основных видов деятельности членов общества, являются процессы, связанные с информацией (сбором, хранением, обработкой, представлением и т. д.). Естественно, эти процессы находят свое отражение и в образовании. Происходящие в настоящее время изменения в области образования, направленные на обеспечение развития и саморазвития личности обучаемого, влекут не только появление новых предметов изучения, но и изменение подходов к изучению традиционных дисциплин.

Овладение компьютерными навыками, умение использовать средства Интернет позволяет студенту расширять свое информационно-образовательное пространство, создает условия для самообразования.

Прошло то время, когда желающие получить знания в той или иной области должны были упорно штудировать книги и учебники, напечатанные на бумаге. Сегодня на смену серьезным учебникам пришли разнообразные мультимедийные пособия, благодаря которым можно намного быстрее получить высокий уровень знаний.

Цель курсовой работы заключается в повышении эффективности изучения элективного курса «Численные методы», позволяющего облегчить понимание материала.

Актуальность данной курсовой работы заключается в том, что в настоящее время большое внимание уделяется применению компьютерных технологий при вычислении задач.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) изучение теоретического материала;

2) выбор задач для программной реализации;

3) выбор программной среды для реализации;

4) реализация задач в пакетах Matlab и Machcad

Объектом исследования являются такие предметные области как физика, математика, механика.

Предметом исследования являются численные методы.

Практическая значимость наглядность изучаемого объекта.

Научная новизна заключается в том, что внедрение автоматизации процессов позволяет изучение нового материала применять сразу на практике.

Структура работы титульный лист, бланк технического задания на работу, аннотация, содержание, введение, теоретическая часть, практическая часть, заключение, список использованной литературы.

Объем работы 46 страниц.

1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Дифференциальное уравнение в частных производных вида

(1)

где А, В и С — постоянные, называется квазилинейным. Существует три типа квазилинейных уравнений:

если, уравнение называется эллиптическим, (2)

если, уравнение называется параболическим, (3)

если, уравнение называется гиперболическим. (4)

В качестве примера гиперболического уравнения рассмотрим одномерную модель колебания струны. Перемещение u(х, t) описывается волновым уравнением

для 0

с функциями, которые задают начальное положение и скорость

уравнение дифференциальный теплопроводность мatlab

u(х, 0) = f(x) для t = 0 и 0, (6)

u_t(х, 0) = g(х) для t = 0 и 0 < х < L,

и граничными значениями

u{0,t)=0 для х = 0 и 0?t , (7)

u (L, t) = 0 для х = L и 0? t

Рисунок 1- Волновое уравнение как модель колеблющейся струны

Рисунок.2- Уравнение теплопроводности как модель распределения температуры в изолированном брусе

Постоянная с — это плотность массы струны и Т — натяжение струны. На рисунке 1 изображена струна с закрепленными концами в точках (0;0) и (L; 0).

В качестве примера параболического уравнения рассмотрим одномерную модель распространения тепла в изолированном брусе длины L (рисунок 2). Уравнение теплопроводности, которое описывает температуру u (x, t) в брусе в точке х и в момент t, имеет вид

ku_xx(x, t) = дсu_t(х, t) для 0<x и 0<t<?. (8)

Начальное распределение температуры в момент t = 0 равно

u(х, 0) =f(x) для t = 0 и 0?x?L, (9)

и граничные значения на концах бруса равны:

u (0,t) = с₁ для х = 0 и 0? t

u (L, t)=c₂ для x = L и 0? t

Постоянная k — это коэффициент теплопроводности, д — удельная теплоемкость и с — плотность бруса.

В качестве примера эллиптического уравнения рассмотрим потенциал u(х, у), который можно рассматривать, как установившийся режим электростатического потенциала или установившийся режим распределения температуры в прямоугольной области на плоскости. Эта ситуация описывается уравнением Лапласа в прямоугольнике.

u_xx(x, y)+u_yy(x, y) = 0 для 0<�у<1 (11)

с заданными граничными условиями:

u (х, 0) = f₁(x) для у = 0 и 0? x? 1 (внизу),

u (х, 1) = f₂(x) для у = 1 и 0? x? 1 (наверху),

u (0, у) = f₃(у) для х = 0 и 0? y? 1 (слева),

u (1,у) = f₄(у) для x = 1 и 0? y? 1 (справа).

1.1 Эллиптические уравнения

В качестве примера эллиптического уравнения в частных производных рассмотрим уравнения Лапласа. Напомним, что оператор Лапласа функции u(х, у) равен

(12)

Используя такое обозначение, можно записать уравнения Лапласа в следующем виде:

уравнение Лапласа, (13)

Уравнение можно решить, используя численную технику, известную как метод конечных разностей.

Оператор Лапласа можно выразить в дискретном виде, подходящем для численных вычислений. Формула для приближения f" (x) получена из

(14)

Если этот оператор применим к функции u(x,y), чтобы получить приближение u_xx(x,y) и и_уу(х, у), и сложить результаты, то можно получить

(15)

Предположим, что прямоугольник R = {(х, y): 0? х? а, 0? у? b, где b/а = = т/п} разделен на n — 1 m — 1 квадратов со стороной, равной h (т .е. а = nh и b = mh). Для решения уравнения Лапласа используем приближение

(16)

которое имеет порядок точности 0(h²) во всех внутренних точках решетки (х, у) = (х_i,y_j) для i = 2, …, п — 1 и j = 2,…, т - 1. Точки решетки расположены на одинаковом расстоянии: x_i+i = х_i + h, x_i-1 = x_i-h, y_i+1 =y_i +h и y_i-1 =y_i -h. Используя приближение u_ij для u(x_i ,y_j), уравнение (15) можно записать в виде

(17)

Оно известно как пятиточечная разностная формула для уравнения Лапласа.

Эта формула связывает значение функции u_i,j с четырьмя ее смежными значениями (рисунок 3). Можно исключить член h² в формуле (15), чтобы получить формулу вычисления оператора Лапласа [3]

(18)

Рисунок 3- Решетка, которая используется с разностным уравнением Лапласа Рисунок 4 — Схема Лапласа

1.2 Параболические уравнения

1.2.1 Уравнение теплопроводности

Допустим, что рассматривается некоторое тело и изучается его тепловое состояние. Последнее будет известно, если для каждой точки тела мы будем знать температуру Т в любой момент; иными словами, тепловое состояние тела характеризуется скалярной функцией T(r,t)=T(x,y,z,t).

Если функция Т не зависит от времени, мы говорим о стационарной задаче теплопроводности, в противном случае о нестационарной.

Рассмотрим внутри тела некоторый объем V, ограниченный поверхностью S, и подсчитаем двумя способами изменение количества тепла, заключенного в объеме V (рисунок 5)

Рисунок 5 — тело с некоторым объемом, ограниченным поверхностью S

Плотность тела обозначим через с (если тело неоднородное, то с будет функцией точки с (r)=с (x,y,z)), а теплоемкость через с (в случае неоднородности тела с тоже есть функция точки).

Рассмотрим элемент dV объема; масса этого элемента равна сdV; за время dt этот элемент нагревается на

градусов; на это требуется, по самому определению теплоемкости, количество тепла, равное

интегрируя по всему объему, увидим, что за время dt всему объему V необходимо было сообщить количество тепла, равное.

1.2.2 Пример метода правовой разности

Используем метод правой разности для решения уравнения теплопроводности

u_t(х, t) = u_xx(x, t) для 0 < x < 1 и 0 < t< 0.20 (19)

с начальным условием

u(х, 0) = f (x) = 4x — 4x² для t = 0 и 0? х? 1, (20)

и граничными условиями

u (0,t) =g₁(t)?0 для x = 0 и 0?t?0,20,

u(l,t) =g₂(t) ?0 для x = 1 и 0?t?0,20. (21)

Сначала используем шаги Дх = h = 0,2 и Дt = k = 0,02 и с = 1. Таким образом, соотношение равно r = 0,5. Решетка состоит из n = 6 столбцов по ширине и m = 11 рядов по высоте. В этом случае формула уравнение правовой разности принимает вид

(22)

Формула (22) устойчива для r = 0,5 и может успешно использоваться для генерирования точных приближений к u(х, t).

Формула (22) неустойчива, так как r>½, и ошибки, появившиеся в одном ряду, будут увеличиваться в последующих рядах. Численные значения, для которых исключена неточность приближения к u(x,t).

1.2.3 Метод Кранка-Николсона

Неявная схема, открытая Джоном Крайком и Филлисом Николсоном, основана на численных приближениях для решений уравнения

для (23)

в точке (x, t + k/2), которая находится между рядами решетки. Более определенно, приближение, используемое для u_t(х, t + k/2)_, получено по формуле центрированной разности

(24)

Используемое для и_хх(х, t + k/2) приближение является средним значением приближений и_хх(х, t) и и_хх(х, t + k)_, которое имеет точность порядка 0(h²):

(25)

Подставим (24) и (25) в уравнение для и пренебрежем остаточными членами 0(h²) и 0(k²). Затем в обозначениях u_i,j = = u(x_i,t_j) получим разностное уравнение

(26)

Используем в (26) подстановку r = c2k/h2. Но в то же время его нужно решить для трех «еще не вычисленных» значений u_i-1,j+1,u_i,j+1 и u_i+1,j+1. Это возможно, если все значения перенести в левую часть уравнения. Затем упорядочим члены уравнения (26) и в результате получим неявную разностную формулу :

(27)

для i = 2, 3, …, n — 1. Члены в правой части формулы (27) известны. Таким образом, формула (27) имеет вид линейной трехдиагональной системы АХ = = В. Шесть точек, используемых в формуле Кранка-Николсона (27), вместе с промежуточной точкой решетки, на которой основаны численные приближения, показаны на рисунке 6.

Рисунок 6 — Схема метода Кранка-Николсона Иногда в формуле (26) используется значение r = 1. В этом случае приращение по оси t равно Дt = k = h²/c², формула (27) упрощается и принимает вид

(28)

для i=2, 3, …, п — 1. Граничные условия используются в первом и последнем уравнениях (т. е. в u_1,j = u_1,j+1 = с₁ и u_n,j = u_nj+i = с₂ соответственно). [5]

2/ ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Основным аппаратом численного решения уравнений с частными производными являются разностные методы (методы сеток). В этом случае уравнение и граничные условия аппроксимируются некоторыми разностными соотношениями (схемами), и проблема сводится к решению систем алгебраических уравнений.

2.1 Основные понятия теории разностных схем

Пусть в области D изменения переменных x,y определена некоторая дифференциальная задача (дифференциальное уравнение и граничные условия)

(29)

Здесь L-линейный дифференциальный оператор, u(x,y) —искомое решение,f(x,y) —заданная функция.

Перейдем к дискретному аналогу задачи (28). Прежде всего введем сеткуконечное множество точек из D, плотность распределения которых характеризуется параметром h — шагом сетки. В общем случае h — векторный параметр (вектор). Определим величину — длина (норма) вектора h. Сетка D_h строится таким образом, что при >0 число точек (узлов) сетки увеличивается (множество D_h «стремится» заполнить всю область D). Численное решение задачи (28) ищется в узлах сетки.

Функция, определенная в узлах сетки D_h, называется сеточной функцией. Введем линейное, нормированное пространство U_h сеточных функций с нормой .

Пусть u(x,y), (x,y) — точное решение дифференциальной задачи (28). Обозначим через u_h соответствующую сеточную функцию: u_h=u(x,y),(x,y) — точное решение в узлах сетки. Введем сеточную функцию v_h — приближенное решение в узлах сетки: v_h= u_h. Пусть далее f_h — сеточная функция, соответствующая функция f(x,y), например, f_h= f(x,y), (x,y).

Для вычисления приближенного решения v_h проведем аппроксимацию задачи (28), заменяя дифференциальный оператор L разностным L_h (заменяя производные в узлах сетки их разностными аппроксимациями). В результате получаем разностную схему (систему алгебраических уравнений относительно v_h)

L_h v_h=f_h. (30)

Здесь L_h — разностный оператор. Предположим, что L_h — линейный оператор, то есть разностная схема (29) — система линейных уравнений относительно сеточной функции v_h.

Установим, что связь между задачами (28), (29).

Сеточная функция называется погрешностью аппроксимаций разностной схемы (29) на решении u(x,y) задачи (29).

Величинаневязка разностной схемы (29) на решении u(x,y).

Говорят, что разностная схема (29) аппроксимирует задачу (28), если .

Если, то разностная схема имеет s-й порядок аппроксимации.

Разностная схема (29) называется корректной, если:

1) Решение v_h существует и единственно при любой правой части f_h;

2) Для любой правой части f_h имеет место оценка

Свойство (2) называют устойчивостью разностной схемы (29).

Основным вопросом теории разностных схем является вопрос о сходимости.

Введем сеточную функцию, которая называется погрешностью разностной схемы (29).

Решение разностной задачи (29) сходится к решению дифференциальной задачи (28) (разностная схема (29) сходится), если при .

Говорят, что разностная схема (29) имеет s-ый порядок точности, если. Установим связь между введенными понятиями.

Теорема 1 Пусть разностная схема (29) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (28). Тогда решение разностной задачи (29) сходится к решению дифференциальной задачи (28), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Основные этапы построения и исследования разностных схем:

1. устанавливается правило выбора сетки в области D;

2. строится одна или несколько разностных схем, выясняется порядок аппроксимации;

3. исследуется корректность (устойчивость) построенных разностных схем;

4. рассматривается вопрос о численном решении разностных схем.

2.2 Разностные схемы для уравнения теплопроводности

1. Явная разностная схема

В области (прямоугольник) требуется найти решение уравнения

(31)

с начальными и краевыми (граничными) условиями

(32)

Здесьзаданные функции. Предположим, что существует достаточно гладкое решение задачи (30),(31). Построим разностные схемы для поставленной задачи.

Введем сетку в прямоугольнике D как совокупность точек. Здесь h>0 — шаг сетки по переменной х, -шаг сетки по переменной t.

Узлы назовем граничными узлами сетки. Остальные узлы внутренние .

Совокупность узлов называется j-ым слоем сетки .

Перейдем к разностной аппроксимации дифференциальной задачи в узлах сетки. Обозначим:

— точное решение в узлах сетки,

— приближенное решение,

В граничных узлах известно точное решение, поэтому условия (31) аппроксимируются точно:

Для аппроксимации уравнения (30) в узлах сетки используем формулы численного дифференцирования:

(33)

.

В результате получаем разностную схему относительно сеточной функции:

(34)

.

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно переменных .

Соответствие (33) называют явной разностной схемой.

Совокупность узлов сетки, которые используются для разностной аппроксимации дифференциального уравнения (30) в узле , называется шаблоном.

В случае схемы (33) шаблон имеет представленный выше вид.

Рисунок 7 — Явный двухслойный шаблон

2. Неявная разностная схема Построим вторую разностную схему для задачи (30),(31). Сохраняя разностную аппроксимацию для второй производной, будем использовать левую разностную производную Далее проведем сдвиг по индексу: В результате получаем разностную схему

(35)

Для подсчета решения на (j+i)-м слое имеем линейную систему Для каждого это линейная система с трехдиагональной матрицей относительно переменных Решение существует, единственно и его можно найти с помощью метода прогонки, условия применимости которого в данном случае выполнены (матрица системы со строгим диагональным преобладанием:).

Таким образом, разностная схема (34) — неявная (чисто неявная) разностная схема, использующая неявный двухслойный шаблон. Разностная схема (34) аппроксимирует задачу (30), (31) с порядком .

Теорема 2. Разностная схема (34) абсолютно устойчива.

3/ ПОСТРОЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ С ПОМОЩЬЮ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ

3.1 Метод Ритца

Рассмотрим краевую задачу из :

(36)

Ее решение является точкой экстремума функционала

(37)

на классе функций, удовлетворяющих условию. Напомним, что - это класс функций с ограниченным интегралом, удовлетворяющих условиям

Задаются некоторым N и выбирают совокупность функций с ограниченным интегралом , удовлетворяющих условиям

Приближенное решение ищется в виде

Имеем

Здесь

Находим экстремум функционала I(y^N) по переменным и соответствующую функцию принимаем за приближенное решение задачи. При этом нахождение коэффициентов c_q сведется к решению системы линейных алгебраических уравнений

(38)

где А— матрица с элементами a_pq =, b-вектор с компонентами b_q.

Часто бывает удобнее сразу свести исходную задачу к задаче с однородными граничными условиями. В линейном случае (как (36)) обычно берут не зависящим от N. Часто бывает выполнено следующее условие. Краевая задача

имеет только нулевое решение, если. Тогда функционал I(y) ограничен снизу и искомое решение является не просто точкой экстремума, а точкой минимума функционала I(y) . В этом случае описанный выше метод построения приближенного решения называют методом Ритца. Существует ряд моментов, существенно влияющих на сходимость метода Ритца.

Чтобы приближенные решения у^N сходились к точному в норме, т. е. чтобы при, необходимо и достаточно выполнения следующего условия: для любой функции и любого существует линейная комбинация

Указанное условие обеспечивает сходимость метода Ритца в предположении, что все вычисления производятся точно. Пусть и — наименьшее и наибольшее по модулю собственные значения матрицы системы уравнений (38). Чтобы округления не повлияли на приближения y^N, существенно выполнение условия

(39)

где М не зависит от N.

Довольно часто не удается построить системы функций, удовлетворяющие условию (39). Тогда ограничиваются использованием систем функций, для которых

(40)

где — не очень большое число. В случаях (39), (40), как правило, удается так организовать процесс решения системы (38), что суммарная вычислительная погрешность будет порядка .

В ряде случаев нетрудно построить системы функций, удовлетворяющие условию (39), но, как правило, для них матрица А является полностью заполненной. Для задачи (36) такой системой является

В то же время для системы функций, соответствующих вариационно-разностному методу,, но зато матрица А трехдиагональная. Для системы функций величина растет быстрее любой степени N и матрица заполненная. Если вместо системы функций взять систему

(41)

где — многочлены Чебышева, то при отсутствии округлений получится одно и то же приближение. В то же время система (41) удовлетворяет условию (40) и при практическом использовании накопление погрешности будет не очень большим.

3.2 Метод Бубнова-Галеркина

Запишем исходную задачу в виде задачи нахождения решения из некоторого интегрального соотношения, справедливого для любой функции из соответствующего класса:

(42)

Под выражением в круглых скобках понимаем скалярное произведение Соотношение (42) в дальнейшем будем называть интегральным тождеством. Приближенное решение ищется в виде линейной комбинации

Задаются некоторой линейно независимой системой функций и требуют выполнения интегральных соотношений

(43)

Решение исходной задачи сводится к решению системы линейных уравнений (43) относительно неизвестных; в матричной форме система уравнений (43) записывается в виде, где — матрица размерности ,, d — вектор правой части.

Если исходная задача является задачей на экстремум функционала, не являющегося, как уравнение, квадратичным, то система уравнений Ac=d, где А-матрица с элементами — вектор с компонентами относительно, соответствующих точке экстремума, будет нелинейной. В случае нелинейного уравнения L(y) = 0 метод Бубнова-Галеркина сводится к решению нелинейной системы.

4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ

Первое начало термодинамики: количество теплоты, полученное системой, идет на изменение внутренней энергии системы и работу, совершаемую системой над внешними телами:

_. (44)

Второе начало термодинамики

(45)

Знак равенства соответствует равновесному состоянию системы.

Третье начало (постулат Нернста): энтропия системы S(T, a_s) при перестает зависеть от a_s, т. е. является постоянной величиной для всех веществ.

Метод термодинамики базируется на этих трех началах, используя факт, что S и Е являются функциями состояния системы, для которых

(46)

т. е. dE и dS—полные дифференциалы.

Условие полноты дифференциала dZ = X dx + Ydy состоит в равенстве смешанных производных второго порядка:

Приведем соотношения для других термодинамических потенциалов.

1. Свободная энергия F=E—TS:

(47)

2. Энтальпия

(48)

3. Потенциал Гиббса

(49)

Используя еще дополнительно уравнение состояния A_s= A_S(T, a_s) получаем ряд соотношений, которые проверяются на опыте. Численное же значение величин, входящих в эти соотношения, в термодинамике не находятся. (В формулах (47)—(79) черта над A_s опущена). 5]

5. МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности

(50)

при

t=0 T= v(x) , (51)

(52)

Bводим безразмерные величины, относя основные величины к характерным: длине l, температуре T₀. Пусть А— некоторая величина, имеющая размерность времени. Тогда

(53)

Подставляя эти выражения в соотношения (50)-(52), получим

(54)

при

(55)

(56)

Отсюда определяем величину А и вводим безразмерный источник тепла

(57)

Выражение в граничных условиях (56)

(58)

Называем критерием Био. Заметим, что из (56) следует, что если критерий Био равен нулю, то соответствующий край теплоизолирован; если, то на этом крае задана температура .

Опуская черту над буквами, сформулируем задачу (50)-(52) в безразмерном виде [6]:

(59)

при

(60)

.(61)

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ

6.1 Понятие m-мерной поверхности

Рассмотрим аффинное пространство Rⁿ_, состоящее из точек с координатами (a₁,…,a_n), a_j. Удобно также считать, что каждая точка задана своим радиус-вектором r = (a₁,…, a_n).

Представим себе, что в пространстве Rⁿ движется точка. Это значит, что ее радиус-вектор зависит от времени:

r(t) = (a₁(t),…,a_n(t)). (62)

В этом случае вектор-функция (62) задает кривую в пространстве Rⁿ_, которая является траекторией точки. Каждому значению параметра t соответствует точка кривой с радиус-вектором r (t).

Вектор

задает скорость точки в момент времени t и касается кривой.

Очевидно, если скорость точки не обращается в ноль, то ее траектория будет гладкой, т. е. не будет иметь изломов.

Кривая является примером одномерной поверхности в Rⁿ. Обобщая этот пример, введем определение поверхности.

Обозначим через B единичный шар пространства R^m, m < n:

Предположим, что задана вектор-функция

(63)

Тогда множество точек называется m—мерной поверхностью в пространстве Rⁿ, если выполнены следующие условия:

1) Отображение r : B >M взаимнооднозначно,

2) Векторы e_j(x) =, j = 1,…,m линейно-независимы при все . Они называются, базисными векторами на поверхности.

3) Числа x = (x¹,…, x^m) называются координатами точки поверхности с радиус-вектором, r (x).

4) Пространство R^п называется объемлющим пространством.

В дальнейшем мы будем отождествлять координаты точки поверхности с самой точкой и писать x = (x¹,…,x^m) M, кроме того, там, где это не приводит к недоразумениям, мы опускаем аргументы функций и пишем e_j вместо e_j(x).

Пусть. Линейное пространство с базисом , i = 1,…, m называется касательным пространством, к поверхности M в точке и обозначается .

Пространство, сопряженное с, называется кокасательным пространством в точке и обозначается .

Из определения поверхности следует, что размерность касательного пространства во всех точках равна m.

Геометрически пространство представляет собой m-мерную плоскость, которая касается поверхности M в точке и состоит из точек, заданных радиус-векторами

r = r () + b, b.

6.2 Тензорные поля на поверхности

В каждом касательном пространстве T_x(M), x M зададим тензор типа (p, q) с координатами

(64)

Соответственно, если в наборе функций (64) положить , где -любая фиксированная точка поверхности M, то мы получим набор чисел, задающий координаты тензора в касательном пространстве .

Функция

,

которая каждой точке x M ставит в соответствие тензор типа (p,q) в пространстве T_x(M), называется тензорным полем на поверхности M. Пространство таких функций мы обозначим через T (p, q, M).

Так тензор типа (0,0) — это скалярная функция f : M >R. Вместо слова «тензорное поле «мы иногда будем просто говорить «тензор» .

К элементам пространства T (p, q, M) применимы все операции, которые рассматриваются в алгебраической теории тензоров (тензорное произведение, свертка и т. д.).

В частности, при переходе от координат x к координатам x' на поверхности M, координаты тензора типа (p, q) преобразуются следующим образом:

где в силу формул и получим:

,

.

Однако, так как элементы пространства T (p, q, M) являются функциями точки x M, то кроме алгебраических операций, к ним применимы операции анализа, к изучению которых мы и переходим. 5]

7. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

7.1 Общие сведения пакета Matlab

Программа Matlab представляет собой высокоуровневый технический, вычислительный язык и интерактивную среду для разработки алгоритмов, визуализации и анализа данных, числовых расчетов. Программа содержит сотни команд для работы в области математики. Matlab можно использовать для построения графиков функций, решений уравнений, выполнения статистических тестов и многого другого. Можно создавать звук и анимационную графику, симуляцию и моделирование. Можно подготавливать материалы для экспортирования в интернет. Кроме того, можно использовать программу Matlab для объединения математических вычислений с текстом и графикой с целью создания совершенных, интегрированных интерактивных документов.

Пакет Mathcad более популярен в инженерной, чем в научной, среде. Характерной особенностью пакета является использование привычных стандартных математических обозначений, т. е. вид документа па экране максимально приближен к общепринятой математической нотации. Для использования пакета не требуется изучать какую-либо систему команд, как, например, в случае пакетов Mathematica или Maple. Пакет ориентирован, в первую очередь, на проведение численных расчетов, но имеет встроенный символьный процессор Maple, что позволяет выполнять аналитические преобразования. В последних версиях предусмотрена возможность создавать связки документов Mathcad с документами MATLAB.

Mathcad является средой визуального программирования, т. е. не требует знания специфического набора команд. Простота освоения пакета, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явились главными причинами того, что именно этот пакет был выбран нами для обучения студентов численным методам.

Окно программы содержит главное меню, панель инструментов и несколько подокон. Самое большое окно Command Windows — командное окно. Это главное окно. Оно служит для вызова функции и записи математических выражений для подсчета. В этом окне Matlab будет вести с нами диалог, если неправильно задать имя функции или команду. Окно Workspace — рабочая область — представляет собой таблицу со столбцами Name — имя переменной, Value — значение, min — минимальное значение переменной, max — максимальное значение переменной. В эту таблицу будут записаны будь то массив, матрица или просто вычисленное значение. В этом окне есть панель инструментов, позволяющая редактировать список переменных. Рассмотрим вкладку Current Directory — текущая директория. Это окно содержит панель инструментов с кнопками, позволяющими совершать действия с файлами и переходы на другие уровни дерева файлов и папок. При запуске программы Matlab мы находимся в папке мои документы. Путь к текущей папке можно посмотреть в специальном поле на панели инструментов под главным меню программы Matlab, рядом с названием находится кнопка со стрелкой, нажав ее можно выбрать недавно использовавшуюся директорию. На этой же панели можно осуществить переход к другой папке, поднявшись на уровень вверх с помощью стрелки Go up one level — перейти на уровень вверх или при помощи кнопки Browse for folder — обзор папок, выбрать другую директорию на другом логическом диске компьютера. Окно Command History — история командздесь записываются все команды, выполненные в Matlab. История сохраняется по дате и времени записка программ. Это окно удобно тем, что можно быстро выбрать недавно использованную функцию. При необходимости ненужные команды можно удалять, а также все команды сразу. При повторном запуске команды Matlab в окне Command History появляется новая запись числа и даты. На каждом окне имеются кнопки управления окна (свернуть, развернуть, вынести в отдельное окно, закрыть). При нажатии кнопки «Вынести в отдельное окно» все окна принимают стандартный вид Windows, но под стандартными кномками появляется кнопка «Dock» — закрепить, которая возвращает окно в среду Matlab.

7.2 Общие сведения пакета Mathcad

Чрезвычайная простота интерфейса Mathcad сделала его одним из самых популярных и безусловно самым распространенным в студенческой среде математическим пакетом. Он предоставляет пользователю обширный набор инструментов для реализации графических, аналитических и численных методов решения математических задач на компьютере. Выполняя рутинные или несущественные операции, пакет позволяет студенту, не владеющему в полной мере техникой математических преобразований, самостоятельно выполнить громоздкие вычисления, решить содержательные задачи, приобрести устойчивые навыки решения прикладных задач. При этом учащийся общается с вычислительно средой на уровне понятий, идей, общих подходов и за небольшое время может рассмотреть самостоятельно много примеров. Эти свойства общения со средой особенно важны для развития творческого, критического и независимого мышления, поскольку учащийся может всесторонне исследовать новые объекты, выделить общие закономерности и сформулировать обобщающие утверждения на основе собственных наблюдений.

Пакет Mathcad можно использовать как средство модернизации курсов, как среду для общения учащегося с преподавателем, как средство контроля и самоконтроля, как инструмент помощи учащемуся при самостоятельной работе.

Цель практикума — научить быстро и легко решать в среде Mathcad простейшие математические задачи.

7.3 Элективный курс «Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных»

В данной лекции рассмотрим параболическое и гиперболическое уравнения как одни из уравнений в частных производных. В качестве примера рассмотрим уравнение теплопроводности и волновое уравнение.

для

с начальным условием

для

и граничными условиями

для ,

для

Уравнение теплопроводности — это модель температуры в изолированном брусе, на концах которого имеется постоянная температура. Начальная температура по всему брусу равна .

Решим уравнение с помощью вычислительной среды Matlab.

Задача 1. Найти решение краевой задачи уравнения теплопроводности с начальными условиями:

где и граничными условиями:

на временном интервале [1,41].

Решение:

Рисунок 8 — Реализация решения Рисунок 9- Графическое изображение уравнения теплопроводности Рисунок 10- Графическое изображение уравнения теплопроводности (развернутый вид)

Получим явную вычислительную схему для нахождения числового решения уравнений в частных производных гиперболического типа на примере волнового уравнения:

(65)

Запишем полученное уравнение (65) в конечных разностях:

Полученное уравнение позволяет выразить значение функции u в момент времени через значения функции в предыдущие моменты времени:

(66)

Разностная схема (66) устойчива, если .

Чтобы начать вычисления нужно знать значения функции в моменты времени. Решаем уравнение второго порядка по времени. Чтобы найти решения в момент времени нужно использовать, например, начальное условие для первых производных функции u.

Задача 2. Найти решение краевой задачи волнового уравнения в котором, с начальными условиями:

где и граничными условиями:

на временном интервале [0,49].

Решение.

Рисунок 11- Реализация решения Рисунок 12- Графическое изображение волнового уравнения Рисунок 13- Графическое изображение волнового уравнения (развернутый вид) Изобразим теперь волновое уравнение и уравнение теплопроводности с помощью пакета Matchad (рисунок 5)

Рисунок 14 — Реализация решения волнового уравнения с помощью Mathcad

Рисунок 15 — Графическое изображение волнового уравнения в Mathcad

Рисунок 16 — уравнение теплопроводности в Mathcad

Рисунок 17 — Графическое изображение уравнение теплопроводности в Mathcad

Задания:

1)Найти решение краевой задачи волнового уравнения с граничными условиями:

для

для

для

Положите .

2) Найти решение краевой задачи уравнения теплопроводности для

с начальными условиями:

для

и граничными условиями:

для,

для.

Положите .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения курсовой работы был создан элективный курс «Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных», реализация в вычислительной среде. В результате выполнения курсовой работы, поставленные вопросы решены, цель достигнута.

В будущем данный материал будет использован при написании дипломной работы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Hunt, Brian R Matlab R2007 с нуля, М.:Лучшие книги, 2008, 352 с.

2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы, М.:БИНОМ, 2007, 636 с.

3. Гречко Л. Г., Сугаков В. И., Томасевич О. Ф., Федорченко А. М. Сборник задач по теоретической физике, М.: Высшая школа, 1972, 336 с.

4. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики, М.: Наука, 1966,664 с.

5. Зубелевич О. Э. Лекции по тензорному анализу, М.:Наука, 1998, 37 с.

6. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М.:Наука, 1965, 425 с.

7. Мэтьюз Дж., Финк Г., Куртис Д. Численные методы. Использование Matlab, ИД.:Вильямс, 2001, 720с.

8. Плис А. И., Сливина Н. А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров, М.:Финансы и статистика, 1999, 656 с.

9. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности, М.: МГУ, 1995, 366 с.

10. Поршнев С. В. Вычислительная математика, СПб.:БХВ-Петербург, 2004, 320 с.

11. Поршнев С. В., Беленкова И. В. Численные методы на базе Matchad, СПб.:БХВ-Петербург, 2005, 464 с.

12. Срочко В. А. Численные методы, С.-П.:Лань, 2010, 208 с.