Эллиптические функции Якоби

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ГОУВПО «АмГУ»)

кафедра математического анализа и моделирования

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

на тему: эллиптические функции Якоби по дисциплине: теория функций комплексного переменного Исполнитель студент группы 551

Руководитель

(ассистент) ________________

Нормоконтроль

(ассистент) ________________

Благовещенск 2007

РЕФЕРАТ Работа 42с., 1 рис., 3 таблицы, 7 источников.

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ЭЛЛИПТИЧКСКИЙ ИНТЕГРАЛ, ТЕТА-ФУНКЦИЯ, ПЕРИОД, S-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, Q-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, -ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА, АМПЛИТУДА КОЛЕБАНИЙ, ДИСКРИМИНАНТ.

Идея обращения эллиптических интегралов и введение в рассмотрение в связи с этим эллиптических функций принадлежит К. Гауссу, Н. Абелю и К. Якоби.

К. Гаусс, исследуя в 1797 году задачу обращения интеграла представляющего собой длину дуги лемнискаты r=sin2ц, ввел в рассмотрение две функции («лемнискатический синус и косинус»), являющиеся частным случаем функций Якоби. Позднее, рассматривая эллиптический интеграл первого рода, Гаусс ввел также обратную функцию, которую он назвал «универсальнейшим лемнискатическим синусом».

В 1827—1829 гг. были опубликованы труды Н. Абеля, посвященные эллиптическим функциям. Исследуя эллиптический интеграл первого рода в форме

y=

Абель помимо обратной функции x = ц (y) вводит в рассмотрение еще две функции также являющиеся эллиптическими. Определив эти функции ц (y), f(y), F(y) для чисто мнимого аргумента, он на основании теорем сложения распространил далее определения этих функций на область комплексной переменной.

В сентябре 1827 года (в том же самом месяце, когда появился первый труд Абеля) была опубликована заметка К. Якоби, посвященная преобразованию эллиптических интегралов. Свой основной труд по теории эллиптических функций, в котором представлена развернутая теория эллиптических функций, К. Якоби опубликовал в 1829 г.

СОДЕРЖАНИЕ Введение Основная часть

1. Определение функций Якоби

2. Разложение в ряды Фурье

3. Связь с функциями Вейерштрасса

4. Теоремы (формулы) разложения

5. Обращение функции Вейерштрасса Заключение

Список используемой литературы

Приложение

эллиптический функция якоби фурье вейерштрасс

В математике эллиптические функции Якоби являются набором основных эллиптических функций, и вспомогательными тета-функциями, которые обладают исторической важностью, а также имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение sn для sin. Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сказано на основе эллиптических функций Вейерштрасса, однако они не выводятся из моды. Они были открыты Якоби, в 1827 году.

В данной курсовой работе будут рассмотрены эллиптические функции зависящие от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье, так же их связь сфункцией Вейерштрасса.

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ

Исторически первыми были подробно исследованы эллиптические функции, зависящие лишь от одного параметра, а поэтому обладающие меньшей общностью.

Рассмотрим эллиптический интеграл первого рода в форме Якоби

(1)

как функцию верхнего предела ц и одного параметра 0 < k < 1. Из определения (1) очевидно, что функция u(ц) определена для любого вещественного значения. Ее производная

du/dk= при 0<k<1

конечна и отлична от нуля, и, поскольку du/dц> 0, функция u(ц) является монотонно возрастающей.

Обратная к u(ц) функция (то есть зависимость интервала интегрирования от величины интеграла (1)) называется амплитудой, и для нее принято следующее обозначение:

ц (u)=am (u;k) или ц=am (u). (2)

Функция ц=am (u), являющаяся результатом обращения эллиптического интеграла первого рода (1), определена для любого значения u, непрерывна и имеет конечную производную

Введем теперь следующие функции:

(3)

которые, как нетрудно видеть, являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми функциями от переменной u.

Функции (3) впервые были введены К. Якоби и называются эллиптическими функциями Якоби. Для этих функций в настоящее время приняты следующие обозначения:

(4)

Из определений (3) непосредственно следует, что рассматриваемые функции Якоби связаны между собой простыми соотношениями:

(5)

так что каждые две из этих функций легко могут быть выражены через третью.

Покажем далее, что эллиптические функции Якоби (4) вещественного аргумента u являются периодическими, причем snu и cnu имеют вещественный период 4K, а функция dnu обладает действительным периодом 2K, где K— полный эллиптический интеграл первого рода вида:

(1.1)

Для этого докажем сначала, что при увеличении переменной u на 2K функция амплитуды (2) ц=am (u) возрастает на величину, то есть что

am (u + 2K) = am (u) +. (6)

В самом деле, поскольку подынтегральное выражение (1.1) на отрезке 0? ц? симметрично относительно ц= / 2, то

2K=, (7)

поэтому, если в равенстве Осуществить замену t' = t ?р, тогда будем иметь

или

Полученное равенство свидетельствует о том, что при увеличении эллиптического интеграла первого рода (1) на 2K его амплитуда возрастает на р, что и доказывает соотношение (6).

На основании (6) и (4) сразу устанавливаем искомые условия периодичности:

(8)

И аналогично

dn (u+2K)=

(9)

Нули функции snu, согласно (4), определяются из условия

ц= am (u) = рn, n = 0,±1, …,

так что, как следует из (1), (7) и (8), функция Якоби snu от вещественной переменной u обращается в нуль при

u = 2nK, n = 0,±1, … (10)

Функция cnu, как следует из (4), обращается в нуль, когда

ц =am (u) = р/2 + рn, n = 0,±1, …

Следовательно, нулями функции cnu являются вещественные значения

u = (2n ?1)K, n = 0,±1, … (11)

В то же время при 0<k<1, как следует из (4), функция dnu не обращается в нуль ни при каких действительных значениях переменной u.

Введенные эллиптические функции Якоби (4) нетрудно обобщить и на случай комплексного аргумента u. Для этого обратимся к тета-функциям Якоби и рассмотрим функции вида

(12)

Полагая

(13)

и учитывая ++=0, в случае действительных инвариантов заключаем, что условию (13) соответствует вещественность всех корней, = 1?2, =?1, так что дискриминант D характеристического уравнения положителен. Поэтому при выполнении условия (13) сразу находим

= K(k), = iK(k'), =?1. (14)

Здесь по-прежнему K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода, k'=, а согласно (7), k= — модуль полного эллиптического интеграла. С другой стороны, как следует из (13) для справедливо также представление

(15)

в котором, q = exp (iрф), ф= ?, то есть

q = exp[-рK (k')/K (k)].

Из вида правой части выражения (12) и следует, что нули функции от комплексной переменной z совпадают с нулями функции, которые, имеют простые (не кратные) нули вида

(16)

где n и m — целые числа, = K(k), = iK(k?).

Полюса функции (z) () как нетрудно видеть, совпадают с простыми нулями тета-функции, которые определяются равенством

или, согласно (14),

(17)

Здесь также n и m — целые числа.

Функция (z) имеет основные периоды и обладает периодами и =2[K(k) + iK(k?)], а имеет основные периоды и = i4K(k?), так что любой другой период рассматриваемых функций (z) () представляется в виде

(18)

где n и m — целые числа.

При вещественных значениях z = u, как следует из (8)-(11) и (16)-(18), эллиптические функции Якоби snu, cnu, dnu и, соответственно, функции (u), (u) и (u) обладают одинаковыми периодами, нулями (функции dnu и при вещественных значениях аргументов не обращаются в нуль) и не содержат полюсов). Аналитически продолжим область определения функций Якоби (9.1.4) на комплексную плоскость так, чтобы нули, полюса и периоды этих функций определялись соответственно выражениями (16), (17) и (18). Тогда, согласно теореме Лиувилля будем иметь

(19)

где () — постоянные величины. Для нахождения этих постоянных подставим в первое выражение (19) вещественное значение z==K(k), тогда, учитывая (4) и определение полного эллиптического интеграла первого рода, получим

. (20)

из известного ранее,

получаем,

(21)

И поскольку 0 < k < 1, то из (20) будем иметь

(22)

Аналогично после подстановки в два последних выражения (19) z = u = 0,

согласно (4), получим

из которых следует, что сразу находим

(23)

Таким образом, на основании (19), (22) и (23), для эллиптических (мероморфных двоякопериодических) функций Якоби в комплексной области (в случае комплексного аргумента) будем иметь следующие определения

(24)

где, как следует из (13), (14), =K(k),

Мероморфной называется аналитическая функция, не содержащая в конечной части комплексной плоскости других особых точек, кроме полюсов.

Так как функция является нечетной, а тета-функции, и — четные функции, то из (24) следует, что snz является нечетной функцией от комплексной переменной z, а cnz и dnz — четные функции.

Согласно (24), (17) и (18), эллиптические функции Якоби, как и ?-функция Вейерштрасса, являются эллиптическими функциями второго порядка (число полюсов в основном параллелограмме периодов, равно двум), но оба полюса (в основном параллелограмме периодов) однопараметрических функций Якоби snz, cnz и dnz от комплексной переменной z являются простыми (не кратными), тогда как двухпараметрическая функция ?(z) обладает в основном параллелограмме периодов одним двукратным полюсом.

На основании (16)-(18) в таблице 1(в которых m и n — целые числа, включая нуль, то есть n, m = 0, ±1, …) приведены значения нулей, полюсов и периодов эллиптических функций Якоби, определяемых выражениями (24).

Таблица 1

При этом основными периодами для функции snz являются =4K(k), =i2K(k?), для функции cnz— = 4K(k), =2(K(k)+iK(k?)), а для dnz-=2K(k), =i4K(k?)

Формулы преобразования тета-функций Якоби (24), представлены в таблице 2.

Таблица 2

В таблице 3 приведены результаты, соответствующие базовым унимодулярным S и Q-преобразованиям для функций Якоби.

Таблица 3

В частности, для S-преобразования с учетом (21) и результатов, приведенных в таблице 3, имеем

поскольку, согласно (13) и (21)-(23), ,

а следовательно, после S-преобразования дополнительный модуль (k?)* будет равен

При этом, так как

или, с учетом замены переменных ц = р? 2? ц*,

так что унимодулярное S-преобразование для функций Якоби, согласно определениям (24), отвечает формальному переходу к переменной z* = k?z и новому параметру k* = ik/k?. Поэтому из (24), например, для функции cn (z*;k*) будем иметь или

Аналогично для Q-преобразования, получим

и, учитывая, что при этом преобразовании согласно (14), будем иметь

то есть z*=?iz, k*=k?. Тогда, например, для Q-преобразования из (24), в согласии с таблицей 3, непосредственно следует равенство то есть

(25)

Полагая в (25) z*=iu (то есть z = ?u, так как для Q-преобразования z* =? iz), мы сразу получаем выражение для функции от мнимого аргумента через

функцию от действительного аргумента

, (26)

При k<½ () вычисления функций Якоби целесообразно производить непосредственно по выражениям (24), а в случае k>½ необходимо воспользоваться Q-преобразованием, которое, приводит к следующим представлениям:

(27)

где, а для параметра в случае k>½ будет выполняться неравенство q*<exp (-р), что обеспечит достаточно быструю сходимость рядов для тета-функций.

2 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ФУРЬЕ Так как при вещественных значениях аргументов функции Якоби snu, cnu, dnu удовлетворяют условию теоремы Дирихле, то для них могут быть построены соответствующие ряды Фурье.

Функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (?l,l), если она или непрерывна в этом промежутке, или имеет конечное число разрывов первого рода (когда пределы «слева и справа» от точки разрыва являются конечными величинами), и если, кроме того, интервал (?l,l) можно разбить на конечное число таких промежутков, в каждом из которых f(x) меняется монотонно.

Рассмотрим сначала функцию snu. Пусть, тогда при изменении x в интервале от 0 до 2р переменная u будет изменяться в пределах от 0 до 4K(k). Поэтому функция snu, имеющая, как было установлено в разделе 1, вещественный период, равный K(k), будет являться по переменной x периодической функций с периодом 2р.

В случае комплексного аргумента, учитывая, что второй (чисто мнимый) период функции snz равен =i2K(k?), устанавливаем, что функция периодична с периодами и где

Поскольку snu является нечетной функций, то ее разложение в ряд Фурье будет иметь вид

sn (2.1)

Учитывая, что sn[2K(k)? u] = snu, после замены переменной x в (2.1) на р?x, получим

sn (2.2)

Сопоставляя (2.1) и (2.2), находим, что и

sn (2.3)

При этом для коэффициентов ряда (2.3) ввиду ортогональности тригонометрических функций будем иметь следующее выражение:

или

(2.4)

где

Для вычисления коэффициентов (2.4) рассмотрим интеграл по замкнутому контуру

(2.5)

в котором в качестве контура L выбран параллелограмм с вершинами в следующих точках комплексной плоскости (см. рис. 1): ?р, р, р+рф и? р+рф, причем

Ввиду 2р-периодичности функции

очевидно, имеем поэтому интеграл (2.5) представим в виде

(2.6)

Заменим теперь во втором интеграле (2.6) переменную z на z + рф. Тогда, поскольку (см. таблицу 2 предыдущего раздела)

и где, согласно (15), q = exp (iрф), из (2.6) получим Следовательно, искомые коэффициенты, определяемые (2.4), выражаются через интеграл (2.5) в виде

(2.7)

Интеграл (2.5) легко вычисляется на основании теоремы о вычетах, согласно которой интеграл от аналитической функции, взятый по замкнутому контуру, равен произведению 2рi на сумму вычетов всех особых точек, охватываемых этим контуром.

Согласно (17), внутри параллелограмма, образованного на рис. 1 контуром L, функция

имеет только два полюса первого порядка где .

Поскольку, как следует из результатов, приведенных в таблице 2,

а согласно (24),

или, с учетом (22) и (13),

то snz~z при z>0. Следовательно, вычеты функции f(z) относительно полюсов z1 и z2 равны Таким образом, на основании теоремы о вычетах получим

. (2.8)

Тогда из (2.8) для коэффициентов (2.7) окончательно будем иметь

(2.9)

а поэтому искомое разложение (2.3) представимо в следующем виде:

или

snu= (2.10)

Данное разложение в ряд Фурье справедливо и для комплексных величин u=z при условии, что |Im (z)|<K(k?), или |Im (x)|<�рф/2 при x= то есть в полосе, где функция snz, или sn не имеет полюсов. Здесь, как и ранее, предполагается, что 0 <k <1.

В указанной области совершенно аналогично можно установить справедливость следующих разложений:

cn= (2.11)

И, наконец, на основании (3), (4), для функции амплитуды am (u) находим

то есть

am=

Следовательно, согласно (2.11), будем иметь

amz= (2.12)

3 СВЯЗЬ С ФУНКЦИЯМИ ВЕЙЕРШТРАССА Обратимся к первому из равенств (2.12), которое, с учетом (22), представим в виде:

или поскольку, а из (13) и (14) следует, что, то будем иметь

snz=2K(k). (3.1)

(3.2)

где, так что

(3.3)

после перехода в выражении для функции Якоби snz от аргумента z к новому аргументу и перемножения одноименных частей равенств (3.1) и (3.2) получим следующее соотношение, связывающее ?-функцию Вейерштрасса с функцией Якоби snu:

?(z)= (3.4)

Здесь и — параметры ?-функции Вейерштрасса, и для них, в общем случае, не выполняется условие (13).

Аналогично на основании (23), (24) могут быть получены еще два соотношения:

?(z)= ?(z)= (3.5)

устанавливающие взаимосвязь функций Якоби с ?-функцией Вейерштрасса.

Последние три равенства (3.4) и (3.5), если исключить из них ?(z) так же, как и в случае вещественных значений аргументов, позволяют для функций Якоби обнаружить справедливость двух соотношений вида (5)

snz+cnz=1, dnz+ksnz=1, (3.6)

в которых, с учетом того, что для функций Якоби уже выполняется условие (13),

В то же время, используя представления ?-функций через сигма-функции Вейерштрасса, из (3.4) и (3.5) непосредственно находим

sn (u;k)=;

cn (u;k)= (3.7)

Выбор знаков в правых частях соотношений (3.7) обусловлен асимптотическим поведением ?-функции в окрестности z=0 в виде (+1/z). При этом было также учтено, что сигма-функция Вейерштрасса является нечетной:, i =1,3, так что при z>0, поскольку у (z)~z, имеем cn (0) = 1, sn (z)~z.

В (3.7) постоянные и выражаются через дзета-функцию Вейерштрасса в виде Учитывая теперь ранее найденные соотношения между функциями Якоби и функциями Вейерштрасса, получим дифференциальные уравнения для функций Якоби. Согласно (3.5) и (3.6), в случае положительного значения дискриминанта (D) характеристического уравнения, имеем следующее равенство

(3.8)

С другой стороны, непосредственное дифференцирование по переменной z обеих частей выражения (3.4) приводит к следующему равенству:

(3.9)

в котором, как следует из (3.3), u.

Сопоставляя (3.8) и (3.9), получим

Дифференцируя далее по переменной u соотношения вида (3.6)

cnsn dnsn (3.10)

найдем всю систему искомых уравнений:

(3.11)

которую, если воспользоваться соотношениями (3.10) и (14), можно представить в виде

(3.12)

Покажем теперь, что выражения (1)-(4) оказываются справедливыми и для случая комплексных значений аргумента u=z. В самом деле, пусть комплексная величина ц определяется уравнением snz = sinц, тогда, согласно дифференциальному уравнению для функции snz, имеем

или, с учетом (3.6), а также (24),

(3.13)

Таким образом, действительно определение функции амплитуды ц=am (z;k) в случае комплексных значений z совпадает с (2)-(3), так что из (3.6) приходим к определениям, аналогичным (4),

(3.14)

Кроме того, из (3.13) имеем

(3.15)

Дифференциальные уравнения (3.12) позволяют найти ряды Тейлора (Маклорена) и Лорана для функций Якоби. Действительно, из (3.11) следует, что производная любого порядка от функций Якоби может быть выражена в виде полинома от всех трех функций Якоби. Так, например, Указанное обстоятельство с учетом того, что согласно (3.14) и (3.15), sn (0)=0, cn (0)=dn (0)=1, и позволяет получить следующие тейлоровские разложения):

(3.16)

каждое из которых, как следует из результатов, представленных в табл. 1, будет сходиться при |u|<K(k?).

На основании данных табл. 2, а также представлений (3.16), нетрудно получить лорановские разложения в окрестности полюсов функций Якоби. Так, для нечетной функции snz в окрестности особой точки z=iK(k?) (которая в табл. 1 определяется условиями n =0, m =1) из табл. 2 следует равенство подставляя в которое соответствующее тейлоровское разложение (3.16), будем иметь Или

(3.17)

Таким образом, точка z=iK(k?) является полюсом первого порядка функции snz, причем, как и было показано в предыдущем разделе, вычет этой функции относительно указанной точки z равен 1/k .

Рассмотрим теперь другую особую точку =2K(k)+iK(k'), также располагающуюся в основном параллелограмме периодов. Поскольку справедливо равенство то, заменяя в выражении (3.17) переменную z на z?2K(k) и подставляя это выражение в последнее равенство, получим

snz=- (3.18)

так что точка является также простым (не кратным) полюсом функции snz. Вычет относительно этого полюса равен (?1/k).

Аналогичным образом находятся лорановские ряды для функций Якоби cnz и dnz. Эти разложения в окрестности особых точек основного параллелограмма периодов (см. табл. 1), имеют вид

(3.18)

Из (3.17)-(3.19) следует, что для каждой из функций Якоби сумма вычетов относительно всех ее полюсов в основном параллелограмме периодов равна нулю.

4 ТЕОРЕМЫ (ФОРМУЛЫ) СЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим эллиптические функции от комплексной переменной u вида

S(u) = snu sn (u + v), C(u) = cnu cn (u + v), D(u) = dnu dn (u + v), (4.1)

в которых v — некоторое произвольное комплексное число, но такое, что

то есть, согласно табл. 1,

(4.2)

Из результатов табл. 2 нетрудно видеть, что все функции (4.1), в отличии от функций Якоби snu, cnu, dnu, будут уже обладать основными периодами, равными = 2K(k) и = 2iK(k?). Кроме того, согласно данным табл. 1, в основном параллелограмме периодов (,) функции (4.1) имеют одни и те же полюсы Поэтому поскольку

то выберем постоянные A и A так, чтобы функции C(u) + AS(u) и D(u) + AS(u) вообще не имели полюсов, то есть формально определим эти постоянные в виде Но, как следует из теоремы Лиувилля, эллиптические функции, не имеющие полюсов, должны быть тождественно постоянными, так что оказываются справедливыми следующие равенства:

(4.3)

Для определения постоянных A? A учтем, что, согласно (3.14)-(3.15), cn0=dn0=1, sn0=0, поэтому при =0 из (4.3) будем иметь A=cnv, A=dnv. Дифференцируя затем по переменной u, с учетом (3.11), каждое из равенств (4.3) и полагая опять u=0, получим = dnv, = сnv. При этом ввиду предположения (9.5.2), величины A?A отличны от тождественного нуля.

В самом деле, с учетом того, что один из периодов функций (9.5.1) равен = i2K(k?), а функции Якоби cnz, dnz — четные, в то время как snz — нечетная функция, то, обозначая для упрощения записи K(k?) через K?, имеем:

C(?v+iK?)=cn (?v +iK?)cn (iK?)=cn (?v ?iK?)cn (?iK?)=cn (iK?)cn (iK?+v)= (iK?),

S(?v +iK?=sn (?v +iK?)sn (iK?)=sn (?v ?iK?)sn (?iK?)=sn (iK?)sn (iK?+ v)=S(iK?),

D(?v +iK?)=dn (?v +iK?)dn (iK?)=dn (?v ?iK?)dn (?iK?)=D(iK?).

Таким образом, выражения (4.3) можно представить в следующем виде:

(4.4)

Если теперь заменить в (4.4) переменную u на (?u), а затем v на v + u, то будем иметь:

cn u cnv? dn (u + v) sn u snv = cn (u + v),

dn u dnv? k2cn (u + v) sn u snv = dn (u + v).

Разрешая последнюю систему относительно cn (u + v) и dn (u + v) и учитывая (3.10) и первое из соотношений (4.4), получим искомые формулы (теоремы) сложения для эллиптических функций Якоби:

(4.5)

При k=0, как нетрудно видеть, первые два соотношения (4.5), согласно (3.14), (3.15), представляют собой формулы сложения для тригонометрических функций Из соотношений (4.5) при v=u непосредственно следуют формулы удвоения:

(4.6)

В свою очередь, из (4.6) и (3.10) имеем и, заменяя переменную u на u/2, получаем формулу для «половинного аргумента»:

sn=, (0<k<1). (4.7)

Следовательно, согласно (3.10), имеем

(4.8)

Так что при u=K(k) на основании данных табл. 2 получим

(4.9)

где k и k? — соответственно модуль и дополнительный модуль полного эллиптического интеграла K(k).

Если же воспользоваться первым соотношением (3.5) и учесть, что основной полупериод (для случая положительного значения дискриминанта характеристического уравнения ?-функции Вейерштрасса определяется выражением

то сразу получим следующее весьма важное для приложений выражение:

или, согласно (4.9) и (.22)-(23),

(4.10)

Аналогично из (3.4), учитывая, что согласно

будем иметь или, поскольку, как следует из (26), (4.9) и (21),

Получим

(4.11)

Из теорем (формул) сложения для функций Якоби непосредственно следует формула сложения для эллиптических интегралов первого рода (3.15). Действительно, определим, согласно (3.13)-(3.14), функции амплитуды в виде

(4.12)

так что функции

(4.13)

являются эллиптическими интегралами первого рода в форме Якоби. Тогда, определяя величину так, чтобы

sn (u + v) = sin, cn (u + v) = cos, (4.14) то есть, согласно (3.13)-(3.14), = am (u + v; k), для эллиптического интеграла

на основании (4.13) с точностью до линейной комбинации периодов 4K(k) и i2K(k?), поскольку, как следует из (4.14) и данных, приведенных в табл. 1, величина инвариантна относительно указанных периодов, будем иметь

F(ч; k) = F(ц; k) + F(ш; k). (4.15)

При этом, согласно (3.14), а также формулам сложения (4.5), величина должна удовлетворять равенствам:

(4.16)

В частности, если ч = ц + iш (i21=?; ц и ш — вещественные величины), так что

(4.17)

то представляя z в виде

и учитывая, что, согласно (4.17) (см. также (3.13)-(3.15)),

(4.18)

из (3.14) получим

(4.19)

Здесь chш=cos (iш), shш=?isin (iш) (i=-1) — соответствующие гиперболические функции.

Но так как из результатов, приведенных для Q-преобразования в табл. 3 следует, что

(4.20)

то на основании (4.19) с учетом формул сложения (4.5), будем иметь

(4.21)

где Вводя далее обозначения из (4.17)-(4.18), а также (4.21) и (3.14) получим искомое равенство

(4.22)

в котором по-прежнему через F(…) обозначены эллиптические интегралы первого рода, а величины л и м определяются из следующих уравнений:

(4.23)

Здесь

Приравнивая вещественные и мнимые части каждого из уравнений (4.23), окончательно находим или

(4.24)

а = ctg — положительный корень уравнения

(4.25)

причем x=sin2ц, y=sh2рш.

5 ОБРАЩЕНИЕФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА При интегрировании эллиптических функций возникает проблема, связанная с определением значения аргументафункции Вейерштрасса по величине этой функции. Аналогичная ситуация также возникает и при нахождении постоянных интегрирования по заданным начальным условиям.

Поэтому рассмотрим задачу определения значения z из уравнения

(5.1)

(то есть проблему обращения ?-функции Вейерштрасса). Здесь б и в — произвольные вещественные величины.

Из свойств ?-функции следует, что решение данной задачи неоднозначно, так что для выбора единственного решения будем также считать, что задана производная ?-функции:

(5.2)

Предположим далее, что

(5.3)

и пусть дискриминант D характеристического уравнения положителен, то есть D > 0. В этом случае, согласно (3.4), для ?-функции Вейерштрасса справедливо следующее представление:

(5.4)

в котором

а аргументы s и н связаны с переменными (5.3) v,u соотношениями

(5.5)

Используя затем функцию амплитуды (вида (3.15)), определим вещественные величины ц и ш следующим образом:

(5.6)

Тогда из (5.4) с учетом (5.1) и (3.14) после несложных преобразований будем иметь

(5.7)

где

Следовательно, вводя, как и в предыдущем разделе, обозначения

(5.8)

из (5.7) получим для x и y следующую систему уравнений:

из которой находим

y=r+f-x. (5.9)

Здесь

Если теперь воспользоваться формулой (теоремой) сложения (4.22) для эллиптических интегралов первого рода

F (ц+i;k)=F (;k)=iF (;k'),

то, согласно (5.6) и (4.17)-(4.18), будем иметь

s=F(;k), v= F(;k') (5.10)

а следовательно, с учетом (5.5), получим

(5.11)

где л, м определяются выражениями (4.24), (4.25), в которых величины x и y находятся из (5.9).

Решение z=u+iv, определяемое (5.11), является (если оно располагается в основном параллелограмме периодов) одним из двух возможных решений уравнения (5.1) в основном параллелограмме периодов ?-функции Вейерштрасса. Другое решение, имеет вид z= 2(щ + щ)? z, или

(5.12)

Займемся теперь поиском того решения, которое отвечает условию (5.2). Для этого, учитывая, что, согласно (26),

вычислим на основании выражений (5.4)-(5.5), (5.11), а также определений (3.14) и (3.15), значения ?(u) и ?(iv), которые будем обозначать соответственно через p и q:

(5.13)

Затем воспользуемся формулой сложения для ?-функций Вейерштрасса, согласно которой

Дифференцируя по переменной z = u + iv обе части этого уравнения, после несложных преобразований будем иметь

(5.14)

где

а ?(u2) и ?(iv2) также определяются соответствующими выражениями (5.13), то из (5.14) и условия (5.2) следует, что

(5.15)

причем при разу находим =, а в случае получим Заключаем, что в случае отрицательного знака b при sign (b) = + из двух возможных решений (5.11) и (5.12) реализуется то, которое располагается в области, , а при sign (b) =? следует выбирать решение, для которого,. Если же sign (b) = +, то при sign (b) = + искомое решение располагается в области, , а при отрицательном знаке b истинное решение находится в области, .

Пусть теперь дискриминант D характеристического уравнения отрицателен D < 0. Для нахождения в этом случае взаимосвязи ?-функции Вейерштрасса с эллиптическими функциями Якоби обратимся к эллиптическому интегралу первого рода в форме Вейерштрасса

(5.16)

Из (6.16), в частности, следует, что абсолютное значение z приведенного эллиптического интеграла является результатом обращения ?-функции Вейерштрасса w = ?(z).

Поскольку при D < 0 (когда г= a ± ib, г= ?2a)

то, переходя в (5.16) от w к новой переменной ф, так что

w= (5.17)

причем, после очевидных преобразований получим

2z

где k=, Следовательно, согласно (3.13)-(3.15) и (5.17), будем иметь

или

(5.18)

Здесь аргументы s и связаны с переменными (5.3) v, u соотношениями (5.5), в которых следует считать h=2. Вводя далее, как и ранее, вещественные величины ц и соотношением (5.6), из выражений (5.1) и (5.18) получим

cos (ц + iш) = r + if (i21=?), (), (5.19)

где

Тогда величины x=sinц, y=shш, согласно (5.19), будут определяться системой уравнений

(1?x)(1+y)=r, xy = f,

решение которой имеет вид:

x=d+ y=x-2d, (5.20)

при этом

Аналогично случаю положительного дискриминанта, на основании (5.11), с учетом (5.20), могут быть затем определены аргументы u1 и v, представляющие собой одно из решений (z = u + iv) уравнения (5.1). И, наконец, определяя значения p = ?(u) и q = ?(iv), согласно (5.18), (5.11), из выражений

p= q= (5.21)

и используя соотношение (5.14) для знаков величин ?' и ??, мы получим представление (5.15).

Так как в рассматриваемом случае D < 0, основной параллелограмм периодов можно представить в виде четырех треугольников или

из которого при z = iv и вещественных значениях инвариантов g, g следует, что

то есть Таким образом, для нахождения однозначного решения уравнения (5.1) достаточна лишь информация о знаках величин и. Более того, из теоремы (формулы) сложения и свойств однородности для ?-функций Вейерштрасса следует, что

Поэтому, поскольку то, согласно (5.1)-(5.3) и (5.15), имеем

sign = ?sign (b,b),

и, значит, учитывая (5.15), заключаем, что для однозначного обращения ?-функции Вейерштрасса достаточно установить только один знак — либо, либо

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным результатом данной курсовой работы является введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье. Так была же их связь сфункцией Вейерштрасса.

Представляется перспективным тщательное численное изучение введенных здесь функций.

БИБЛИОГРАФИЧКСКИЙ СПИСОК

1. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций., М., Л.: ОГИЗ-ГИТТЛ, 1948. _ 292 с.

2. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра: Пер. с англ. Н. Я. Виленкина., М.:Наука, 1965. — 286 с.

3. Гурвиц А., Курант З. Теория функций / Пер. с нем. М. А. Евграфова., М.: Наука, 1968. _ 648 с.

4. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Стигана / Пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Кармазиной., М.: Наука, 1979. _ 832 с.

5. http://www-groups.dcs.st-and-ac.uk/history/HistTopics/Elliptic_functions.html

6. http://www.amazon.com/gp/product/521 658 179/102−7 179 032−3 651 324

7. http://www.du.edu/ jcalvert/math/jacobi.html

Приложение А

(Рис. 1)