Задача Коши для системы из двух квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа в невыпускном случае

Изучение распространения сильных возмущений в сплошной среде приводит к необходимости исследования нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Для нелинейных дифференциальных уравнений не применим принцип суперпозиции решений, что имеет место для линейных уравнений. Этот факт в первую очередь объясняет отсутствие до сих пор такой общей теории нелинейных дифференциальных уравнений, как теория линейных уравнений. Вместе с тем изучение общих свойств нелинейных дифференциальных уравнений и методов решения является актуальной задачей современной математики.

В диссертации изучаются вопросы корректности задачи Коши для системы квазилинейных гиперболических уравнений типа законов сохранения: и = (ис" 1., и (Ю), f (u)*(Y?Г")).

Основу теории систем квазилинейных уравнений гиперболического типа составляет газовая динамика. Основная особенность квазилинейных гиперболических уравнений состоит в том, что задача Коши (1),(2) может не иметь непрерывного решения даже при сколь-угодно гладких начальных условиях, что соответствует возникновению ударной волны в газе. Это обстоятельство привело к необходимости изучения обобщенных (разрывных) решений, удовлетворяющих законам сохранения в интегральной форме. О.

I) и Сх, 0) = и0 (X).

2).

Изучение разрывных решений квазилинейных уравнений было начато в I860 г. Б. Риманом, рассмотревшим в своей классической работе «О распространении плоских волн конечной амплитуды» разрывные решения уравнения газовой динамики.

Впоследствии разрывные решения изучались многими математиками (Адамар, Гюгонио, Рэнкин и др.). Их исследования привели к созданию теории ударных волн в газовой динамике.

В настоящее время можно считать законченной теорию обобщенных решений для одного квазилинейного уравнения. Для задачи Коши (I),(2) (N =1) доказаны теоремы существования и единственности, а также непрерывной зависимости обобщенного решения от входных данных. Установлена эквивалентность различных определений обобщенного решения. Основные результаты в случае двух независимых переменных получены в работах Э. Хопфа [2], А. Н. Тихонова, А. А. Самарского [13], О. А. Олейник [[Ю^, а в случае многих независимых переменных в работах С. Н. Кружкова [23], А. И. Вольперта, Н. Н. Кузнецова ^24] .

Обоснование корректности задачи Коши позволило получить обоснованные численные методы расчета обобщенного решения. Так, для одного квазилинейного уравнения доказаны теоремы о сходимости разностных решений к обобщенному решению задачи Коши.

Для систем квазилинейных уравнений к настоящему времени еще нет достаточно общих теорем существования и единственности обобщенного решения задачи Коши (1),(2). Более подробно изучена задача Коши для системы (I), когда начальные условия (2) имеют специальный вид:

Задача (1),(3) называется задачей о распаде начального разрыва. С помощью этой задачи можно изучить структуру обобщенного решения и о 00 =.

U+, X > О.

LU, X < О.

3) задачи Коши (1),(2) в окрестности точек разрыва решения, а также изучить асимптотику решения задачи (1),(2) при t оо. Первоначально задача о распаде начального разрыва изучалась физиками и механиками для реальных физических процессов? I]. Как задача теории квазилинейных гиперболических систем уравнений, она была впервые рассмотрена в работе П. Лакса Q 4] .В предположении, что норма || U±U-1| достаточно мала и система (I) является выпуклой (существенно нелинейной £1б]), доказана теорема о существовании и единственности обобщенного решения задачи (I), (3). В. А. Тупчиев доказал аналогичную теорему без предположения выпуклости системы (I).

В случае, когда отсутствует требование малости начального разрыва, основные результаты относятся к системам из двух и трех уравнений. Для выпуклых систем (I) из двух уравнений (1| =2) задача о распаде начального разрыва изучалась в работах Н. Н. Кузнецова.

22], В. А. Боровикова ?l8*], Д. Джонсона, Дж. Смоллера ?40] и других. В этих работах изучались вопросы существования и единственности обобщенного автомодельного решения задачи о распаде для некоторых классов систем (I).

Задача (1),(3) для системы из трех квазилинейных уравнений изучалась в работах Т. Лю []49], В. А. Топчиева, З. Х. Насырова ?29] и других.

При отказе от условий выпуклости законов сохранения задача (I), (3) для системы из двух уравнений изучалась в работах В.А.Тупчи-ева ?26,27], Б. Вендрофа [42], К. Дафермоса [43], Т. Лю [7,8], Л. Лейбовича [б] .В этом случае решение задачи о распаде имеет значительно более сложную структуру, что осложняет ее изучение. К настоящему времени выделены достаточно широкие классы систем, для которых доказана теорема существования и единственности обобщенного автомодельного решения задачи (1),(3).

Вопрос о построении кусочно-гладких разрывных решений задачи (1),(2) для двух законов сохранения в предположении кусочной гладкости начальных условий М©- 00 рассматривался в работах Б. Л. Ровдественского [ 14], ?15] и группы китайских математиков (Ч.Х.Гу, Д. К. Ли и другие). В этих работах при определенных предположениях относительно систем (I) (N =2) доказываются теоремы существования и единственности обобщенного решения задачи Коши. Однако построение решения проводится лишь в области (t < Т), где решение имеет конечное число особенностей, то есть вопрос о построении разрывных решений в целом (для любых «Ь > О) остается открытым.

Значительное место в изучении обобщенных решений законов сохранения занимает работа Глимма [^34^ .

В предположении, что начальная функция Uo СХ) мало отличается от постоянного вектора U и имеет достаточно малую вариацию, Глиммом для гиперболической системы законов сохранения, удовлетворяющей условию выпуклости, доказана следующая.

Теорема для любого вектора U. можно указать числа? и К>0, такие, что если max [ Uo 00-u| + Tot м uQCx) <? x < 00 то задача Коши (I),(2) имеет в полуплоскости «t > О обобщенное решение U (Х-£) удовлетворяющее оценкам: up | U (X) t) — w | (К iUp|Uo (X)^U| х X.

К — Tot vat Uo СХ) * Tot^a* U (X, t).

— oo < x < oo — со < 00 оо /ucx, tg)-u (x, t4)|< K’l vt, I’Tot/at Uo (x).

— OO.

— OO < x < 00 причем, если система (I) допускает все инварианты Римана, то достаточно предположить, что tactx |U0(X)-U|- TotvdZ UoCX) <? Xоо < x.

Кузнецов H.H., Тупчиев В. А. [" 25J, применяя метод Глимма, получили аналогичный результат для невыпуклых систем законов сохранения (I).

Ввиду важности метода Глимма [*34] для изложения в диссертации, остановимся кратко на его содержании.

Пусть П= {(x, t): -<*> <*<<*> > t*Oj.

Под обобщенным решением задачи Коши (1),(2) будем понимать ограниченную, измеримую в П функцию U (X>t), удовлетворяющую следующим интегральным соотношениям: оо $ (% YWjdidX + jHx>°)uoW.

4) n для любой гладкой, финитной в 11 вектор-функции.

Система (I) считается гиперболической в узком смысле, т. е. собственные значения (и) } Д (U) f. ., ' (и) матрицы у ЩУ вещественны и различны:

Vu).

JJ (CO .

Пусть f^ Cu) — правый собственный вектор матрицы ^f^, так что:

4>u (u) rK (u)= P (U) rK (U).

Система (I) предполагается выпуклой в некоторой области ^^ (4) С ^) переменных U, j.. • j U, т. е. скалярное произведение.

U) не меняет своего знака для U? SB, .На первом этапе строится семейство «приближенных» решений задачи (1),(2). Для этого на полуплоскости П рассматривается сетка точек (mh, frl — целое, причем П1 + М четно, fl — шаг по оси X и «С — шаг по оси t.

Пусть xJJ, есть случайным образом выбранное значение на отрезке ((w.-2)flj Nlii) прямой t= ft-Z. Приближенное решение ak (X, t) строится по следующей схеме Глимма. При П.= О положим и&(х}о)= u0(XJ, при х € [(т-г)Я, тЯ). Предположим, что функция U^CXjt) построена для Положим СП-^-с) = и^ ((Л-1)Г-0)Я для X € f • Функцию U^ O^t) для X€ [(m-i)kj (mt1)kj И t € fxr) положим равной решению задачи о распаде для системы (I) с начальными условиями:

— 9 n-i Kl-1.

В силу близости значений^HjW и «которая следует из малости вариации U0 (*), решение задачи о распаде существует и принадлежит.

Шаги t и Pi выбираются так, чтобы выполнялось условие.

7 ** о << <5) h и ?

При выполнении этого условия волны, возникшие в результате распада разрыва в точках (infi, СЛ-Dt) за время 'С не успевают вступить друг с другом во взаимодействие. Положим О.^ = [С — Cw-ofc] /лк. Обозначим совокупность точек отрезка [o, l] через &. Ее можно считать точкой бесконечномерного пространства А= ПС0″!]. Задание совоп * купности точек? X m j эквивалентно заданию точки Ц? А поэтому Ufr Схt) = t, а) .

Согласно построению (Х^ СХ) удовлетворяет системе законов сохранения (4) в каждой полосе (ft—i)V < «t < JtT Далее доказывается, что приближенное решение U^ (X-t, Q.) удовлетворяет следующим оценкам:

Sup | икСх,^а)-а| i К sup juk (xJoJQ)-u х х.

Tot 1/аг Uk (Xjt, a) * К Tot, at икСх}о}о).

— oo < X < 00 — oo < X < 00 oo К (ft |t2-t4|)^tvat uh (x, o, a).

— Oo.

X.

Из этих оценок следует, что из семейства функций можно выделить последовательность, которая сходится почти всюду to с в I I, а также сходится в.

Г (п). Пусть u^ (x, t, a) U (х, ь, а) при о.

Рассмотрим невязку приближенного решения Ufa. (X.t.Ct): u * ft f («hj))^ +.

П f* (6> j. f (X}0)UoWdX.

— оо.

Доказать, что невязка ^С) О при /т^-^О всюду на, А не удается. Доказывается, что для любой гладкой финитной функции ф (Xj t)? С (П) невязка чjCL) О в среднеквадратичном, т. е.

С .2 I ?(4>>C)a)| ia о А.

Тогда существует последовательность ^ (рая стремится к нулю при ^ почти всюду в А.

Эту последовательность можно выбрать общей для всех функций о) Таким образом для любой точки a е М с, А, где hi^S (А-М)=0 и любой 6x, t)? С^П) невязка 5(,/ь^Л)—> О при ^ О.

Совершая предельный переход в (б) при ^Чк" «* ^ «получим, что.

U (X}tjQ~) удовлетворяет (4) для любой ф (*Л) f СИ,(П) т. е. U (X>t>OL) есть обобщенное решение задачи Коши (1),(2). кото.

Теорема Глимма справедлива для достаточно широкого класса систем (I), однако она доказана при сильных ограничениях на начальные условия. Следует отметить, что в ней доказывается лишь факт существования решения, а вопрос о его единственности остается открытым. Тот факт, что невязка стремится к нулю лишь почти всюду в, А, делает метод Глимма мало пригодным для численного решения задачи (1),(2), так как предел последовательности приближенных решений Ufa (XjtjQ*) может не быть обобщенным решением задачи (I),(2).

В дальнейшем метод, предложенный Глиммом ?34~], применялся рядом математиков в исследовании задачи Коши (1),(2). Основные усилия были направлены на ослабления ограничений на начальные условия для более узких классов систем (I) из двух законов сохранения (N =2).

Т.Нишида доказал, что задача Коши для системы из двух законов сохранения, описывающей изотермическое течение газа в ла-гранжевых координатах: vt-u.x=o, u. t- [p (v)]x=o с начальными условиями:

V (Х}0)= V0U), U (X, 0)= и о сх).

7).

8) при, имеет обобщенное решение, если начальные условия ограничены и имеют локально ограниченную вариацию, а VoW > € >о.

Н.С.Бахвалов [*2о] доказал теорему существования обобщенного решения задачи Коши (1),(2) для некоторого класса систем из двух.

2. -У законов сохранения, включающего систему (7) при p (V)= —О, V.

О < if < 2 .в силу свойств систем этого класса, удается провести доказательство лишь в предположении ограниченности начальных условий и их вариации.

Аналогичный подход к доказательству существования обобщенного решения задачи Коши (1),(2) для двух законов сохранения применялся также в работах Р. Диперна С 38^, [39], Т. Нишида, Д. Смоллера [Зб" ] и других.

В работе Т. Занг, Ю. Ф. Гуо [37^ применялся иной метод доказательства существования обобщенного решения, основанный на введении некоторых условий упорядоченности начальных условий, которые обеспечивают определенную структуру решения задачи о распаде разрыва. Ими доказана теорема существования обобщенного решения задачи Коши (7),(8), где <о, -р (V) > О в предположении лишь ограниченности начальных условий.

Ряд интересных работ посвящен вопросам единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши (1),(2). Следует отметить работы В. Ю. Ляпидевского [ 30], [3l], Р. Диперна [41]. Интересным является вопрос об асимптотическом поведении при 00 обобщенных решений задачи (I),(2) (N ^ 2). Этому вопросу посвящены работы П. Лакса [44*], Т. Лю [45], Р.Диперна.

4б] и других математиков. Следует отметить, что основные результаты получены лишь в предположении малости начальных условий и их вариации. Вопрос об асимптотике обобщенного решения без этих требований, пусть даже для более узких классов систем законов сохранения, остается открытым.

Остановимся на содержании диссертации. Диссертация состоит из двух глав.

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошной среды. Гостехиздат, 1954.

2. Е. Hof>j. ТАе paztiat dijjeienti.

3. Lax R?>. NontLnzat hyjpvdoUc equations. Comm. Риге AftL Math, у 1953, vol 6} Л'2, p. А51-Л53.

4. Lax RS). Нуf>et&-o£ic system of conservation eaws, lL-Comm. Af>t>1 Matk. jl^yvolioj/v^j f>.537−566.

5. Lax P. S). SAoc? warn and entvofy, to, и Contribution to NontMat Functional Anatysys p. 6o3−634- Academic Puss у Уоч&-.

6. LUtT.P. f^t jb^^vu fox^W system* ofconyzwations tarn. S) Lifewntia{ Eolations, 4975, votie,.

7. Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. УМН, 1959, т.14,№ 9,с. 87−158.

8. Олейник О. А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. УМН, 1957, т.12,№ 3 (75), с. 3−73.

9. Олейник О. А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. УМН, 1959, т.14,№ 2 (86), с.165−170.

10. Олейник О. А. О единственности обобщенного решения задачи Коши для одной нелинейной системы уравнений, встречающейся в механике. УМН, 1957, т.12,№ 6 (78), с.169−176.

11. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 0 разрывных решениях квазилинейных уравнений первого порядка. ДАН СССР, 1954, т.99, № 1,с.27−30.

12. Рождественский Б. Л. Разрывные решения систем квазилинейных уравнений гиперболического типа. УМН, I960, т.15,№ 6 (96), с.59−117.

13. Рождественский Б. Л. Построение разрывных решений систем двух квазилинейных уравнений. ДАН СССР, 1962, т.144,№ 1, с.58−61.

14. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

15. Боровиков В. А. К задаче о распаде разрыва для системы двух квазилинейных уравнений. ДАН СССР, 1969, тЛ85,№ 2,сЛ9−21.

16. Боровиков В. А. 0 распаде разрыва для системы квазилинейных уравнений. Труды Моск. матем. общ-ва, 1972, 27, с.53−92.

17. Вольперт А. И. Пространства и квазилинейные уравнения. Матем. сб., 1967, т.73,№ 2, с.255−302.

18. Бахвалов Н. С. 0 существовании в целом регулярного решения квазилинейной гиперболической системы. IBM и МФ, 1970, т. Ю, № 4, с.969−980. ПО.

19. Годунов С. К. О понятии обобщенного решения. ДАН СССР, I960, т.134, № 6, е.1279−1282.

20. Кузнецов Н. Н. Задача о распаде произвольного разрыва для системы квазилинейных уравнений первого порядка. ДАН СССР, I960, т.131, № 3, с.503−506.

21. Кружков С. Н. Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка. ДАН СССР, 1969, т.187, № 1, с.29−32.

22. Кузнецов Н. Н. 0 применении метода сглаживания к некоторым системам гиперболических квазилинейных уравнений. ЖВМ и МФ, 1973, т.13, № 1, с.92−102.

23. Кузнецов Н. Н., Тупчиев В. А. Об одном обобщении теоремы Глим-ма. ДАН СССР, 1975, т.221, № 2, с.287−290.

24. Тупчиев В. А. К задаче о распаде произвольного разрыва для системы двух квазилинейных уравнений первого порядка. ЖВМ и МФ, 1964, т.4, № 5, с.817−825.

25. Тупчиев В. А. Задача о распаде произвольного разрыва для системы квазилинейных уравнений без условий выпуклости. ЖВМ и МФ, 1966, т.6, № 3, с.527−547.

26. Тупчиев В. А. 0 методе введения вязкости в изучение задачи о распаде разрыва. ДАН СССР, 1973, т.211, № 1, с.55−58.

27. Насыров З. Х., Тупчиев В. А. Задача о распаде разрыва для одного класса систем из трех уравнений. Дифф. уравнения, 1983, т. XIX, М, с.660−666.

28. Ляпидевский В. Ю. 0 непрерывной зависимости от начальных условий обобщенных решений уравнений газовой динамики. ЖВМ и МФ, 1974, т.14, № 4, с.982−991.

29. Ляпидевский В. Ю. 0 классах корректности нелинейных гиперболических систем. ДАН СССР, 1975, т.225,№ 3, с.507−510.

30. Садков Ю. Н. Применение разностного метода для доказательства теоремы существования обобщенного решения задачи Ко-ши системы квазилинейных уравнений. В сб. «Численные методы в аэродинамике», вылЛ, Изд. МГУ, 1976.

31. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.34. 3. SoLdiont иг ta.'uyi jot иоп&п"ьаt figpvtof zcyxcctLotil. Comn. Pa^ Af>f>(. Math., l9b5, vo (.18, f>. 691−715.

32. MlsiucLci T. (rtoboJl bo&ctioKs 'witioJl valut ръоШт. Ръос. Уа. pan Acad., 19⁸, volM, f>M2−64G.

33. Nibhida. T., Sfnoiht У* A., ЬЬ^Ыопл ui Ш ta1^foi nonJU^JLo/t k^pWL&o&tc consetwtionComm. Ptcci Afrl Hatk^mS, vot2b, NZ^№-2oO.

34. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

35. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

36. Йи Т P. $o?cction4 Ui la^flL j-o% ^at'oons of noti-kot4jopCc ya* dynamics. Indiana V/гм/. У-, 191?, votlb}AW- 17?.

37. Пазин Г. Н., Тупчиев В. А. Об условиях на разрыве обобщенных автомодельных решений квазилинейных систем. Матем. заметки, 1979, т.26, № 1, с.35−38.

38. Пазин Г. Н. 0 решении задачи Коши для системы из двух квазилинейных уравнений с вязкостью. В кн.: Всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений. Часть I., Алма-Ата, 1979.

39. Пазин Г. Н., Тупчиев В. А. О существовании обобщенного решения задачи Коши для системы из двух квазилинейных гиперболических уравнений без условия выпуклости. ДАН СССР, 1983, т.270, № 5, с.1058−1061.

40. Пазин Г. Н., Тупчиев В. А. 0 существовании обобщенного решения для системы из двух квазилинейных уравнений в невыпуклом случае. В кн.: Всесоюзная школа «Методы малого параметра и их применение», Минск, 1982.

41. Пазин Г. Н. 0 единственности обобщенного решения задачи Коши для системы из двух квазилинейных уравнений без условия выпуклости. ХУП Воронежская зимняя математическая школа. Тезисы докладов, Воронеж, 1983.