Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Московский государственный университет путей сообщения РФ (МИИТ)

Кафедра «Физика-2»

ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

1. Цель работы

Определение моментов инерции тел правильной геометрической формы

2. Принципиальная схема установки

рис 1 — Устройство прибора для измерения крутильных колебаний Для измерения момента инерции в данной лабораторной работе используются крутильные колебания изображенного на рисунке устройства, состоящего из диска 1 и лежащих на нем одного или нескольких тел 2. В работе используется эталонное тело (ЭТ) с известным моментом инерции. Диск расположен на станине 3, имеющей винты 4 для корректировки горизонтального положения плоскости диска. Пружина 5 служит для возвращения диска в положение равновесия и создания колебательного движения относительно вертикальной оси (рис.1).

3. Основные теоретические положения к данной работе

Инертные свойства тела при вращении определяются не только массой тела, но и расположением отдельных частей тела по отношению к оси вращения. Для характеристики этих свойств вводится понятие момента инерции.

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему из материальных точек с неизменными расстояниями между ними.

Момент инерции I_i материальной точки относительно некоторой оси вращения определяется как произведение ее массы m_i; на квадрат расстояния r_i, до оси вращения

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частей - материальных точек

.

Если абсолютно твердое тело имеет форму тела вращения относительно оси, проходящей через его центр инерции, то выражение для момента инерции принимает более простой вид:

I kmR², (1)

где m и R — масса и радиус тела соответственно;

k — коэффициент, зависящий от формы тела.

Для обруча и тонкостенного цилиндра k 1, для сплошного цилиндра и диска k =½, для шара k = 2/5.

Если ось вращения не проходит через центр инерции тела, то для вычисления его момента инерции пользуются теоремой Штейнера:

Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_о относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния, а между осями

(2)

Момент инерции системы тел относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции относительно этой оси всех тел, входящих в систему:

I I₁ I₂ I₃ … I_N. (3)

Момент инерции тела как характеристика его инертных свойств входит в уравнения динамики вращательного движения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде:

M I, (4)

где М — проекция результирующего момента всех внешних сил на ось вращения; - угловое ускорение.

Так как угловое ускорение может быть записано как вторая производная по времени от угла поворота:

то уравнение (4) можно представить в виде

.

При отклонении диска на некоторый угол (в пределах упругой деформации пружины) со стороны пружины на диск действует возвращающая сила, проекция момента которой пропорциональна углу отклонения:

М b, (6)

где b — упругая постоянная пружины.

Если пренебречь влиянием силы трения, то уравнение движения диска на основании формул (5) и (6) примет вид

где I — момент инерции диска с лежащими на нем грузами.

Решение этого уравнения имеет вид

то есть угол отклонения диска от положения равновесия изменяется по гармоническому закону и вся система совершает гармонические колебания с амплитудой ₀ и круговой частотой. Величину (t ) называют фазой колебания, — начальной фазой, определяющей угол отклонения при t 0.

Найдя первую и вторую производные угла по времени t и подставив их в уравнение (7), получим

I ² ₀ cos (t ) b ₀ cos (t ),

откуда найдем

а затем формулу для периода колебаний T:

Если колеблется только диск, то его период колебаний

(8)

где I_д — момент инерции диска без грузов.

Если на диске лежит эталонное тело, то период колебаний системы T_ЭТ, в этом случае можно записать аналогично:

. (9)

Используя выражения (8) и (9), получим:

.

Если диск колеблется вместе с телом, момент инерции которого I_x требуется определить, то период его колебаний

откуда

I_x .

Используя полученные выражения для b и I_д, получим окончательную формулу для определения момента инерции исследуемого тела:

4. Таблицы и графики Графики выполняются на миллиметровой бумаге или в компьютерном виде с использованием программ построения графиков. Необходимо соблюдать правила построения графиков.

Таблица 1 — измерения полных колебаний с эталонным телом

Таблица 2 — измерения полных колебаний с исследуемым телом

Таблица 3 — измерения полных колебаний с эталонным и с исследуемым телом с учетом форм тел

Таблица 4 — измерения полных колебаний с эталонным и с исследуемым телом

Таблица 5 — измерения полных колебаний с эталонным телом, находящимся на некотором расстоянии от центра диска

5. Расчёт погрешностей измерений

T .

T .

Tх1 .

Tх2 .

6. Окончательные результаты:

инерция тело ось колебание

2,6 100,05

0,42 100,07