Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром

Теория уравнений смешанного типа имеет сравнительно недолгую историю. Уравнения смешанного типа стали объектом систематических исследований с конца сороковых годов. Возникшие в приложениях проблемы описываются уравнениями смешанного типа второго порядка, для которых задача Трико-ми, так и, другие ее математические обобщения имеют вполне определенный физический или геометрический смысл.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [59, 60] и С. Геллерстедта [74], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известные как «Задача Трикоми» и «Задача Геллерстедта» .

Ф.И.Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. И. Н. Векуа указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. А. В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа. В дальнейшем были поставлены и исследованы новые задачи для уравнений смешанного типа как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В. Н. Врагов, Т. Д. Джураев, В. И. Жегалов, Т. Ш. Кальменов, А. И. Кожанов, Ю. М. Крикунов, О. А. Ладыженская, М. Е. Лернер, В. П. Михайлов, Е. И. Моисеев, A.M. Нахушев, Н. Б. Плещинский, С. М Пономарев, С. П. Пулькин, О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М.С. Са-лахитдинов, М. М. Смирнов, А. П. Солдатов, Л. И. Чибрикова, Хе Кан Чер, Р. С. Хайруллин и другие), так и за рубежом (S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter, C.S. Morawetz, P. Germain, R. Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M. Schneider, Г. Д. Каратопрак-лиев, Г. Д. Дачев, Н. И. Попиванов и другие). Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А. В. Бицадзе [8, 9], Л. Берса [3], К.Г. Гу-дерлея [12], М. М. Смирнова [51, 52], М. С. Салахитдинова [49], Е. И. Моисеева [26].

Разработкой теории вырождающихся дифференциальных уравнений в частных производных занимались М. В. Келдыш, Г. К. Фикера, М. И. Вишик, С. А. Терсенов, А. И. Киприянов, Н. Р. Раджабов, Ф. Г. Мухлисов и другие. Спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов посвящены работы В. А. Ильина, В. А. Садовничего, Я. Т. Султанаева, Х. Х. Муртазина и многих других математиков.

В работе И. Н. Векуа [10] в области D С R2, звездной относительно начала координат, получена формула.

1 Q и (х, у) = у) — Juo (xt, yt)—</0[АО2 + У2)(1 — t)]dt, (0.1) связывающая все регулярные (дважды — непрерывно дифференцируемые) решения метагармонического уравнения ихх + иуу + An = 0, (0.2) где, А ф 0 — комплексное число, с гармоническими функциями щ{х, у), то есть решениями в D уравнения Лапласа.

Щхх + Щуу = 0. (0.3).

В.И. Жегалов [13], К. Б. Сабитов [40] каждому регулярному решению уравнения с комплексным параметром.

Lu = ихх + sgny • иуу + и = 0 (0.4) сопоставили регулярное решение щ (х, у) уравнения Лаврентьева — Бицадзе.

Щхх + sgny • Щуу = 0 (0.5) в области D через интегральное представление.

1 Q и (х, у) = щ{х, у) — j u0(xt, yt) — J^(x2 + sgny • y2)(1 — t)]dt.

0.6) и указали метод сведения краевых задач для уравнения (0.4) к соответствующим задачам для уравнения (0.5).

Целью данной работы является применение указанного метода к решению задач Дирихле, Неймана, Хольмгрена для метагармонического уравнения (0.2) — задач Коши, Гурса, Дарбу, обобщенных задач Дарбу для телеграфного уравнения ихх — иуу + Хи = 0, (0.7) где A G (7, и задач Трикоми, Франкля и обобщенной задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева — Бицадзе с комплексным параметром (0.4).

В главе 1 рассматривается метагармоническое уравнение (0.2) и исследуются задачи Дирихле, Неймана и Хольмгрена.

В § 1.1 показана взаимная обратимость интегрального представления (0.1) относительно функций щ (х, у) и и (х, у).

В § 1.2 для уравнения (0.2) в области D, ограниченной кривой Г из класса Ляпунова, рассмотрена первая граничная задача.

Задача Дирихле. Найти функцию и{х, у), удовлетворяющую условиям: где }{s) — заданная непрерывная функциях = x (s), у = y (s) — параметрические уравнения кривой Гs — длина дуги кривой Г отсчитывается от фиксированной точки против часовой стрелкиI — длина кривой Г.

Результат сформулирован в виде следующего утверждения.

Теорема 1.2. Если f (s) Е С[0,1], А не является собственным значением задачи Дирихле для оператора Лапласа в области D, то существует единственное решение задачи Дирихле для уравнения (0.2) в D, которое определяется формулой (0.1), где щ (х, у) — решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с граничным условием щ = /o (s) на Г, a fo (s) есть решение интегрального уравнения Фредгольма и (х)У)? C{D)rCD)иХх + иуу + Aw = 0, (х, у) е D] и (х, у)|г = u (x (s), y (s)) = f (s), 0 < 5 < /,.

0.8) о где ядро К (т, s) непрерывно в квадрате 0 < т, 5 < /.

В § 1.3 для уравнения (0.2) в области D, ограниченной кривой Г из класса Ляпунова, изучена вторая граничная задача.

Задача Неймана. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) <Е С1^) П C2(D);

Uxx + иуу + и = 0, (х, у) е Dди (х, у) du (x (s), y (s)) g (s), о<5</,.

ON г ON где g (s) — заданная непрерывная функция- —— - производная oN по внешней нормали к границе Г.

Справедливо следующее утверждение. Теорема 1.3. Если g (s) Е С[ 0, / ] и, А не является собственным значением задачи Неймана для оператора Лапласа в области D, то существует единственное решение задачи Неймана для уравнения (0.2) в D, которое определяется формулой (0.1), где щ (х, у) — решение задачи Неймана для уравнения.

Лапласа с граничным условием = go (s) на Г, a go{s) — есть решение интегрального уравнения Фредголъма i.

9o (s) — J д0(т)Н (т, s) dr = g (s), о где ядро H (t, s) непрерывно в квадрате 0 < т, s < I.

В § 1.4 рассмотрена смешанная задача для метагармоничес-кого уравнения (0.2) в области D, ограниченной кусочно — гладкой кривой Г, состоящей из гладкой дуги Гх класса Ляпунова, лежащей в полуплоскости у > 0 и отрезка АВ оси у — 0,.

Л (0,0), В (1,0).

Задача Хольмгрена. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) е C (D) П CD U АВ) n C2(D)].

Uxx + иуу + Хи = 0, (ж, у) е Dи (х, у) =u{x (s), y (s)) = y (s), 0.

I 1 ди (х, у) ду.

АВ г/(х), О < х < 1, где ip (s) и и (х) — заданные достаточно гладкие функции, Iдлина кривой.

Теорема 1.3. Если ф) е C[0,l], v (x) е L[0,1] П С (0,1) и X не является собственным значением задачи Хольмгрена для оператора Лапласа в области D, то существует единственное решение задачи Хольмгрена для уравнения (0.2) в D, которое определяется формулой (0.1), где щ (х, у) — решение задачи Хольмгрена для уравнения Лапласа с граничными данными щ = (fo{s) на Ti и щу (х) 0) = щ (х) на АВ, a ip0(s), щ{х) есть решения системы интегральных уравнений Фредгольма cpQ (s)+lfcp0®Kl (T, s) dT — }v0(?)K2(€, s)(% = Ф), 0 < 5 < /- щ (х) — fi/0(г)#!(£, х)+ |ср0(т)Н2(г, х) dr = v (x), 0 < х < 1, где ядра Ki (r, s), Hi (?, x), Н2(т, х) непрерывны соответственно в областях: [0, I] х [0, /], [0,1] х [0, [0,1] х [0,1], [0,/] х [0,1]..

В главе 2 на базе интегрального представления (0.6) при, у < 0, решаются задачи Коши, Гурса, Дарбу для телеграфного уравнения (0.7) соответственно в областях:.

1) D-, ограниченной характеристиками: АС (х + у = 0), С В (х — у = 1) и отрезком АВ (у = 0) —.

2) ограниченной характеристиками: Л7У (ж — у — 0), + АМ (х + у = 0), МБ (я-?/ = 1) —.

3) ограниченной прямыми: ЛС* + = 0, 0 < к < 1), АВ (у = 0) и характеристикой С&Б (ж — у = 1)..

Пусть fi — любая из указанных выше областей..

В § 2.1 доказаны следующие утверждения. Лемма 2.1 [13]. Если функция щ (х, у) является регулярным в области VL решением уравнения струны.

Щхх — Щуу = о, (0.9) то функция вида.

1 Q г/(яг, у) = и0(х, У)~ } yt)—J0[]/X (x2 — у2){ 1 — t)]dt (0.10) является регулярным в области П решением уравнения (0.7)..

Отметим, что лемма 2.1 доказана в работе [13] при условии гб (0,0) = 0..

Лемма 2.2. Если функции и (х, у) и щ (х, у) непрерывны в Q и являются соответственно в области Q регулярными решениями уравнений (0.7) и (0.9), то между решениями этих уравнений существует взаимно — однозначное соответствие, которое устанавливается по формулам: д Iи (г) = щ (г) — / u0(s)-7-J0[JXr (r — s)]ds,.

0 OS v r т д /щ (г) = ъ (г) + fu0(s)-—I0[Js (r — s)]ds, 0 s or v где г2 = х2 — у2, и (х, у) = u (-r, -г) = w0(-s- -s) = w0(s), ty* tj^* rp rp где Io (-) — модифицированная функция Бесселя..

В § 2.2 для уравнения (0.7) в областях и G изучаются задачи Коши и Гурса..

Задача Гурса. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) е С (^)ПС2(<7) — Lu (x, y) = 0, (я, у) G GLи{х, у) 0 < х < ½- у— ж и (х, у) = ср (х), 0 < ж <½, причем ф (0) — ^(0), г^е ср (х))'ф (х) являются заданными достаточно гладкими функциями. Доказана следующая.

Теорема 2.1. Если функции ф (х) е С[0,½] П С2(0,½), <�р (ж) G С[0,½] П С2(0,½) = tp (0), mo существует единственное решение задачи Гурса для уравнения (0.7), которое определяется формулой и (х, у) = У (^у^) +.

Аналогично, в области строится решение задачи Коши..

В § 2.3 для уравнения (0.7) в областях и Dk рассматриваются задачи Дарбу и обобщенные задачи Дарбу. Для примера приведем результат по обобщенной задаче Дарбу..

Обобщенная задача Дарбу (задача Ал). Найти функцию и{х, у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) eC (Dk)nC2(Dk) — (0.11).

Lu{x, y) = 0, {x, y) eDk- (0.12) 1 и (х, у) ^ = и (х, -кх) = ф (х), 0 < х < j—(0.13) и (х, у) = и (х, 0) = т (х), 0 < х < 1, (0.14) причем ф (0) = т (0), 0 < к < 1, где ф (х), т (х) — заданные достаточно гладкие функции..

Лемма 2.3. Еслит0{х) е С[0, ljnC^O, 1) ПС2(0,1), ф0(х) ?.

С[0, ~ ] п с1 [о, ^) п с2(о, ^), 7*о (о) = Фо{0) = о, функции Тц (хап)ап и ф1(хап)ап ограничены по п при любом фиксированном х, то функция щ (х, у) = т0(ж + у) —? ф0[Ц^ап (х + у)} - т0[ап+1(х + у)]} + (0.15) n=0 I Z J f — у)} + г0[ап+1(х — у)]}, n=o I 2) где, а = (1 — к)/(1 + /с), является решением задачи D01 с данными щ (х, —кх) = фо (х), 0 < х < —- щ (х, 0) = т0(ж), 0 <.

1 + к х < 1 для уравнения (0.9)..

Теорема 2.5. Ясли т (ж) <е С[0,1]ПС1[0,1)ПС2(0,1), €.

С[0,т^-]ПС1[0,-^-)ПС2(0,т^-), т (0) = ^(0) = 0, 1 + /с 1 + /с 1 + Ации т" (апх)ап и ф" (апх)ап ограничены по п € N при любом фиксированном х, то существует единственное решение задачи (0.11) — (0.14) и это решение определяется формулой.

0.10), где щ{х, у) — выражается формулой (0.15), а г0(х) и фо (х) — находятся соответственно по формулам: п{х) = т{х) + lT (t)~I^t (x—t)]dt,.

Q t UX х Л ф0(х) = Ф (х) + Гф (а)-—10[^(1 — k*)s (x — а)]Л>..

О s их.

В главе 3 изучены краевые задачи Трикоми, Франкля и обобщенная задача Трикоми для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе с комплексным параметром (0.4) в областях:.

1) D, ограниченной ляпуновской кривой Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках, А (0,0) и В (1,0) и характеристиками АС (х + у = 0), С В (х — у = 1) уравнения (0.4) при у < 0-.

2) С, ограниченной: отрезком АЛ' оси х = 0, у < а, а > 0, характеристикой АС уравнения (0.4), А'(0, —а), С (с, 0) — и кривой Г из класса Ляпунова с концами в точках, А (0, а) и С (с, 0), лежащей в первой четверти-.

3) Dk) ограниченной ляпуновской кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках, А (0,0) и В (1,0), и при у < 0 — прямой ACk (кх + у = 0, 0 < & < 1) и характеристикой СкВ (х — у — 1) уравнения (0.4)..

Пусть Q — любая из указанных выше областей D или Dk. Q+ = Q П {у > 0}, = ft П {у < 0}..

Определение 3.1. Под регулярным в ft решением уравнения (0.4) будем понимать функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) G С (П) П С1 (ft) П C2(ft+ U ft) и Lu = 0 при (ж, у) € ft+ U ft, при этом производные их, иу непрерывны в.

Q за исключением точек, А и В, где они могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы..

В § 3.1 на основании работ В. И. Жегалова [13], К. Б. Сабитова [40] показана взаимная обратимость интегрального представления (0.6) относительно функций щ{х, у) и и (х, у) в классе функций C (D). Результат сформулирован в виде следующей теоремы..

Теорема 3.1. Если функции и (х, у) и щ (х, у) являются соответственно регулярными в D решениями уравнений (0.4) и (0.5), то между решениями этих уравнений существует взаимно — однозначное соответствие, которое устанавливается по формулам: д Iй (г) = щ (г) — / uq (s)—Jq[JAr (r — s)]ds, о Vs v т д Iщ (г) = й{г) + [u (s)-—Iq[JXs (r — s)]ds, О s or v где г2 = x2 -f sgny • у2, uix. y) = u (-r, —r) = u®, u0(—s, —s) = rprp ^ I T.

Uq (s), Iq (-) — модифицированная функция Бесселя..

В § 3.2 изучены вопросы единственности и существования решения задачи Трикоми для уравнения (0.4) в области D..

Задача Трикоми. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) е C (D) П CD) П CD+ U ?>) — (0.16).

Lu{x, y) = 0, (х, у) 6 ?>+U?>- (0.17) г u (x{s), y (s)) = ip (s), 0 < х < ½, (0.19) где у?(0) = ф (0), (p (s) и ф{х) — заданные достаточно гладкие функции..

Теорема 3.3. Если в классе регулярных в D решений уравнения (0.4) существует решение задачи (0.16) — (0.19), то оно единственно при всех комплексных X, удовлетворяющих условиям:.

JmX < л/2 (*) — f2ReX при ReX > 0 — til.

-9 / 7 Г 2.

JmX < л/2- - при ReX < 0,.

4 ~ til где t2 = max 2у, ti = шп2у..

D D.

Теорема 3.4. Если в классе регулярных в D решений уравнения (0.4) существует решение задачи (0.16) — (0.19), то оно единственно при всех комплексных X, удовлетворяющих условию 4.

А| < 2а0 — ReX, а0 =.

Теорема 3.5. Если (p (s)? С[0,/] и в достаточно малой окрестности точек s = 0 и s = I удовлетворяет условию Гелъдера с показателем, а Е [½, 1], ф{х) G 0,½] П С2(0,½), е L2[0,1], ^(0) = <р (1) = ф (0) = 0, и коэффициэнт X удовлетворяет условиям теоремы 3.3 или 3.4, то существует единственное решение задачи Трикоми для уравнения (0.4) в классе его регулярных в D решений, которое определяется формулой (0.6), где щ (х, у) — решение задачи Трикоми для уравнения (0.5) с граничными данными щ (х, у) = < т, s < а правая часть q (s) непрерывна на [0,?]..

В § 3.3 в области Dk исследована обобщенная задача Трикоми для уравнения (0.4), где Л G Я, аналогичная задаче Трикоми (0.16) — (0.19), только вместо (0.19) задано граничное условие 1 и (х> у) АГ = Ф, -Щ = Ф0 < X < —(0.20).

AUk L + К где ф (х) — заданная достаточно гладкая функция..

Теорема 3.6. Пусть кривая Г — из класса Ляпунова и на ней отсутствуют точки, при переходе которых n^s) меняет знакa n2(s) = 1. Тогда, если в классе регулярных в решений уравнения (0.4) существует решение обобщенной задачи Трикоми, то оно единственно при всех X, удовлетворяющих неравенству.

9тг2 ч тг2 < Л < щ тгп.

4 у max где п = (rii (s), n2(s)) — единичный вектор внутренней нормали л- (dy dx к границе области, пцз) = ——, n2{s) = —..

Llo Lb tb.

Теорема 3.8. Если ip (s) G С[0,/] и в достаточно малой окрестности точек s=0 us = I удовлетворяет условию Гельдера с показателем, а Е [½, 1], ф{х) е ^[0,½] П С 0,½), фх) € L2[0,1], р (0) = ч>(1) = ф (0) = 0, кривая Г и коэффициэнт X удовлетворяет условиям теоремы 3.6, то существует единственное решение обобщенной задачи Трикоми для уравнения (0.4) в классе его регулярных в D решений, которое определяется формулой (0.6), где щ (х, у) — решение обобщенной задачи Трикоми для уравнения (0.5) с граничными условиями щ = (Po (s) на Г, щ = фо (х) на АС, причем a (po (s) есть решение интегрального уравнения Фредголъма второго рода где ядро Р (т, s) непрерывно в квадрате 0 < т, s < правая часть q{s) непрерывна па [0,/]..

В § 3.4 рассматриваются уравнения (0.4) и где Л е R, в области G. Пусть G — G^{y > 0}- OP — часть характеристики уравнения (0.4) или (0.21), исходящей из точки О (0, 0) до пересечения с А’С в точке Р — G2 — область ограниченная кривыми OP, PC и ОС- (73 — область, ограниченная кривыми OA', АР и РО..

Ставится следующая.

Задача Франкля. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) е C{G)nC1(GuOAuOA'OP)nC2{G1UG2UG3) — (0.22) где х — x (s), у = y (s) — параметрические уравнения кривой Гs — длина дуги кривой Г, отсчитывается от фиксированной х Д ф0(х) = ф (х) + /ф (х)~10^Х (1-Щ8(8-х)]а. s о.

Lu{x, у) = sgny • ихх + иуу — Хи = 0, (0.21) точки против часовой стрелкиI — длина кривой Г. и (0, у) — и (0, -у) = /(у), О < у < а] их{0,у) =0, 0 < у < а,.

0.25) (0.26) где.

Определение 3.2. Под регулярным в области G решением уравнений (0.4) или (0.21) понимается функция и (х, у), удовлетворяющая условиям (0.22) и (0.23) задачи Франкля, и, кроме того, производные иХ) иу непрерывны в G за исключением точек А, С, А О где они могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы..

Доказаны следующие утверждения..

Теорема 3.10. Если в классе регулярных в G решений уравнения (0.21) существует решение задачи Франкля, то оно единственно при всех X, удовлетворяющих неравенству где Утгп = а, утах > а, а — ордината точки А..

Теорема 3.11. Если в классе регулярных в G решений уравнения (0.4) существует решение задачи Франкля, т. е. задачи (0.22) — (0.26), то оно единственно при всех удовлетворяющих неравенству где? (Е (0, 7г/2) и оно достаточно малое..

Далее рассматривается вопрос о разрешимости задачи Франкля для уравнения (0.4). Предварительно доказывается.

Лемма 3.2. Если функция щ (х, у) является в области G регулярным решением уравнения.

Щхх + sgny • Щуу = О,.

0.27) то функция и (х, у) щ{х, у) — + у2)(1 -t)]dt, х, у)? Gь щ{х, у) — - у21)(1 — t)]dt, х, у) ?G2UG3.

0.28) является регулярным в G решением уравнения (0.4)..

На основании леммы 3.2 доказана справедливость следующего утверждения..

Теорема 3.13. Если ip (s)? С[0,/]- <р (0) = уо{1) = 0 ив достаточно малой окрестности точек s = 0 и s = / удовлетворяет условию Гельдера с показателем, а? [½, 1], f (y)? С[ 0, а] п С1(0, a), f'{x)? L[0, а] и коэффициент, А удовлетворяет условиям теоремы 3.11, то существует единственное решение задачи Франкля для уравнения (0.4) в классе его регулярных в G решений, которое определяется формулой (0.28), где щ (х, у) — решение задачи Франкля для уравнения (0.27) с граничными условиями: щ (х, у) — на Гщ (0,у) — щ (0, —у) = /о (у) на OA, и0ж (0,у) = 0 на АА!, причем.

У д.

Ш = Ну) + jf (sfs-i0[Js (y-s)]ds a < г, s < I, правая часть непрерывна на [О,/.

1. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. — М., 1952. — 198 с..

2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев.: Наукова думка. 1965 — 798 с..

3. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. — 208 с..

4. Бицадзе А. В. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. — Т. 70, № 4. -С. 561 — 564..

5. Бицадзе А. В. К общей задаче смешанного типа // Докл. АН СССР. 1951. — Т. 78, № 4. — С. 621 — 624..

6. Бицадзе А. В. Об одной задаче Франкля // Докл. АН СССР. 1956. — Т. 109, № 6. — С. 1091 — 1094..

7. Бицадзе А. В. О единственности решения задачи Франкля для уравнения Чаплыгина // Докл. АН СССР. 1957. -Т. 112, № 3. — С. 375 — 376..

8. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. Итоги науки 2. Физмат, науки. М, 1952, — 164 с..

9. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. — 448 с..

10. Веку, а И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.- JL: Гостехиздат, 1948. 296 с..

11. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.:Наука, 1977. 640 с..

12. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. М.: ИЛ, 1960. — 421 с..

13. Жегалов В. И. Об одном случае задачи Трикоми // Труды семинара по краевым задачам. Изд-во Казанск. ГУ. -1966. — Вып.З. — С. 28 — 36..

14. Жегалов В. И. Задача Франкля со смещением // Изв. Вузов. Математика. 1979. — № 9. — С. 28 — 36..

15. Жегалов В. И. Исследование краевых задач со смещениями для уравнений смешанного типа: Автореферат дис.. д-ра физ. мат. наук. — Новосибирск, ИМ СО АН СССР. — 1989. 28 с..

16. Кальменов Т. Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе // Дифференц. уравнения -1977. — Т. 13, № 8. — С. 1718 — 1725..

17. Кальменов Т. Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Автореф. дис.. д-ра физ.-мат. наук. М., 1982. — 18 с..

18. Кальменов Т. Ш. Критерий сильной разрешимости задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе в пространстве Lp // Дифференц. уравнения, 1982. Т.18, JYe 2. — С. 268 — 280..

19. Кривенков Ю. П. Представление решений уравнения Эйлера Пуассона — Дарбу через аналитические функции. // Докл. АН СССР. — 1957. — Т.116, № 4. С. 545 — 548..

20. Крикунов Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Изд-во Казанского госуниверситета. — 1986. — 148 с..

21. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука. — 1973. — 576 с..

22. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. — 576 с..

23. Михайлов В. П. Об обобщенной задаче Трикоми // Труды МИАН СССР.- 1968. Т.103. — С. 142 — 161..

24. Моисеев Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. — Т. 26, № 1. -С. 93 — 103..

25. Моисеев Е. И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1992. -Т. 28, № 1. — С. 110 — 121..

26. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988. — 150 с..

27. Мухлисов Ф. Г. О существовании и единственности решений одной сингулярной задачи математической теории дифракции / / Диффереиц. уравнения. 1989. — Т. 25, № 12-С. 2154 — 2164..

28. Мухлисов Ф. Г. Обобщенное решение задачи типа Дирихле для некоторых сингулярных эллиптических уравнений // Сибирский математический журнал. 1990. — Т.31, № 5-С. 79 — 91..

29. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений. Дисс.. док. физ.- мат. наук. Казань, 1993. — 324 с..

30. Надирашвили Н. С. К вопросу о единственности решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб. 1983. — Т. 122. — С. 341 -359..

31. Олейник О. А. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа // Матем. сб. -1952. Т. 30 (72), № 3. — С. 695 — 702..

32. Плещинский Н. Б. Об эквивалентности задачи типа Гел-лерстедта задаче Римана для системы функций / / Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд — во Казанского университета — 1977, вып. 14. — С. 194 — 205..

33. Плещинский Н. Б. Применение метода интегральных уравнений к решению задачи типа Геллерстедта // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд — во Казанского университета — 1982, вып. 18. — С. 144 — 155..

34. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. ГостехиздатМ., 1953. — 303 с..

35. Пономарев С. М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лавретьева-Бицадзе. Автореферат диссертации. д-ра физ.-мат. наук. М., МГУ. 1981. 16 с..

36. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., Наука.- 1 983 752 с..

37. Раджабов П., Расулов А. Б. Интегральные представления и граничные задачи для одного класса систем дифференциальных уравнений эллиптического типа с сингулярным многообразием // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25, № 7. — С. 1279 — 1281..

38. Рыжов О. С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. М.: ВЦ АН СССР, 1965. — 236 с..

39. Сабитов К. Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе со спектральным параметром // Дифференц. уравнения. — 1986. — Т. 22, № И. — С. 1977 — 1984..

40. Сабитов К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. М., 1991. 313 с..

41. Сабитов К. Б. Обращение некоторых интегральных уравнений типа Вольтера // ДАН СССР.- 1990. Т.314, № 2. -С. 300 303..

42. Сабитов К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1992. Т.28., № 7. — С. 1138 — 1145- 1990;Т.26., № 6. — С. 1023 — 1032..

43. Сабитов К. Б. Экстремальные свойства модуля решений одного класса систем уравнений смешанного типа // ДАН СССР. 1990. — Т.310, № 1. — С. 33 — 36..

44. Сабитов К. Б., Капустин Н. Ю. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1991. — Т.27, № 1. — С. 60 — 68..

45. Сабитов К. Б. Капустин Н.Ю. Уравнение Риккати в теории уравнений смешанного типа // Докл АН СССР. -1990. Т.314, № 6. — С. 1307 — 1311..

46. Сабитов К. Б., Шмелёва Н. Г. О единственности решения задачи Франкля для уравнения смешанного типа // Вестник Башкирского университета. 1998, № 2(1). — С. 8 — 12..

47. Сабитов К. Б., Шмелёва Н. Г. Краевые задачи для уравнения Лаврентьева Бицадзе с комплексным параметром // Известия Вузов. Математика. — 2003, № 3..

48. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно составного типа. — Ташкент: Фан, 1974. — 156 с..

49. Смирнов В. И. Курс высшей математики Т.4. М.:Наука, 1951 — 804 с..

50. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. — 296 с..

51. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк, 1985. — 304 с..

52. Солдатов А. П. О единственности решения одной задачи А. В. Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1972. — Т. 8, № 1. — С. 143 — 146..

53. Солдатов А. П. Об одной задаче теории функций // Дифференц. уравнения. 1973. — Т. 9, № 2. — С. 325 — 332..

54. Султанаев Я. Т. Асимптотика дискретного спектра одномерных сингулярных дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 1974. — Т. 10, № 11. — С. 317 -328..

55. Султанаев Я. Т., Муртазин Х. Х. К формулам распределения собственных чисел неполуограниченного оператора Штурма Лиувилля // Матем. заметки. — 1980. — Т. 28, № 4. — С. 172 — 181..

56. Султанаев Я. Т. Об индексах дефекта и спектре одномерных сингулярных дифференциальных операторов в вырожденном случае // Дифференц. уравнения. 1982. -Т. 18, № 10. — С. 317 — 328..

57. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1977 736 с..

58. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа: Пер. с итал. М.-JL: Гостехиздат, 1947. — 192 с..

59. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. — 443 с..

60. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции. М., Физматгиз. -1963. 516 с..

61. Франкль Ф. И. О задачах Чаплыгина С. А. для смешанных дои сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. — Т. 9, № 2. — С. 121 — 142..

62. Франкль Ф. И. Об одной новой краевой задаче для уравнения yzxx + zyy — 0 // Учен, записки МГУ. 1951. -Вып. 152. Механика, 3. — С. 99 — 116..

63. Чибрикова Л. И. К решению краевой задачи Трикоми для уравнения ихх + sgny • иуу = 0 // Уч. зап. Казанск. унта 1957. — Т. 117, № 9. — С. 48 — 51..

64. Чибрикова Л. И. Новый метод решения одной краевой задачи смешанного типа // Уч. зап. Казанск. ун та -1957.-Т. 117, № 9. — С. 44 — 47..

65. Шмелева (Ряхина) Н. Г. Задача Дирихле для метагармо-иического уравнения // Дифференц. уравнения и их приложения: Тезисы трудов международного семинара. Самара, Сам. ГУ, 1995. — С. 72..

66. Шмелёва Н. Г. Об одном подходе решения краевых задач для телеграфного уравнения //В сборнике трудов Международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы». Уфа, ИМ УНЦ РАН, 1996. С. 160 — 170..

67. Шмелёва Н. Г. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе со спектральным параметром // Дифференц. уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции.: Тезисы докладов международной конференции. — Самара, Сам. ГПУ, 1997. — С. 67 — 68..

68. Шмелёва Н. Г. О задаче Франкля для уравнения Лаврентьева Бицадзе с комплексным параметром // Тезисы докладов школы — конференции, посвященной 100 — летию со дня рождения Б. М. Гагаева. — Казань, Казан. ГУ, 1997. — С. 248 — 249..

69. Шмелёва Н. Г. Задача Франкля для уравнения Лаврентьева Бицадзе с вещественным параметром // Сборник трудов международной научной конференции «Дифференц. уравнения и их приложения». — Самара, Сам. ГАСА, 2002 — С. 392 — 397..

70. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.N. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic hyperbolic type // Comm. Appl. Math. — 1953. — V. 6, № 4. — P. 455−470..

71. Gellerstedt S.G. Sur on probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte: These pour le doctorat. Uppsala, 1935. — 92 p..

72. Hopf E.A. A remark on linear elliptic differential equations of second order I j Proc. Amer. Math. Soc. 1952. — V. 3. -P. 791−793..

73. Protter M.H. An existence theorem for the generalized Tricomi problem j j Duke Math. J.- 1954. V.21- № 1. -P. 1 — 8..