Кратчайшие расстояния между пунктами транспортной сети с использованием компьютерной программы NAKRA

Кратчайшие расстояния между пунктами транспортной сети с использованием компьютерной программы NAKRA

Содержание Введение

1. Описание района перевозок и формирование транспортной сети региона

2. Определение кратчайших расстояний и кратчайших путей следования

3. Маршрутизация перевозок мелкопартийных грузов

4. Определение потребности в транспортных средствах для работы на маршрутах

5. Расчет технико-эксплуатационных показателей использования автомобильных транспортных средств

6. Сравнительный анализ существующего и предлагаемого вариантов маршрутов Заключение Список литературы Приложение, А Приложение Б

Введение

Целью курсовой работы является рассмотрение вопросов оптимизации транспортных потоков при перевозке грузов с использованием автомобильного транспорта.

Экономика большинства государств, а в частности и нашей страны не может нормально функционировать без хорошо налаженной и развитой транспортной системы. В настоящее время среди всех видов транспорта особое место принадлежит автомобильному, как способному с наибольшей эффективностью удовлетворять потребности производящих и торговых фирм в перевозках грузов.

Поскольку такие перевозки носят массовый и регулярный характер, то в целях успешной работы автотранспорт должен совершенствовать организацию перевозочного процесса и управлять им и именно поэтому целесообразно производить планирование и расчёт основных технических и экономических показателей работы транспорта.

В данной курсовой работе производится определение наиболее оптимального плана развоза 3-х видов груза в 6 магазинов города Гомеля.

Для планирования перевозок грузов необходимо решить следующие задачи:

ѕ определить кратчайшие расстояния между пунктами транспортной сети;

ѕ оптимизировать грузовые потоки;

ѕ маршрутизировать перевозки грузов;

ѕ выбрать подвижной состав для движения по маршрутам;

рассчитать основные технико-эксплуатационные показатели работы подвижного состава при осуществлении перевозок.

1. Описание района перевозок и формирование транспортной сети региона В практике грузовых перевозок автомобильным транспортом исходными данными выступают: улично-дорожная сеть с указанием расположения пункта погрузки и пунктов выгрузки (приложение А); объемы поставки номенклатуры грузов каждому конечному потребителю (таблица 1.1); имеющийся парк грузовых автотранспортных средств (таблица 1.2).

Таблица 1.1 — Номенклатура и количества доставляемого груза

Таблица 1.2 — Имеющийся парк автомобильных транспортных средств

Районом перевозок является Советский район города Гомеля. В транспортную сеть входят городские улицы и магазины. Крупнейшими улицами, входящими в состав транспортной сети, являются: ул. Бочкина, ул. Богдана Хмельницкого, ул. Барыкина. Средняя скорость движения по улицам транспортной сети 25 км/ч. Все улицы в данном районе имеют усовершенствованное покрытие.

В 1-ом пункте находится база (Б), из которой осуществляется поставка товаров в магазины. Магазины расположены в пунктах 1−6.

По транспортной сети осуществляется перевозка 3-х видов груза.

Молочные изделия в бумажных пакетах, затаренные в ящиках являются грузом третьего класса, имеет средний коэффициент использования грузоподъемности =0,6. Объем данного груза, предназначенный к перевозке — 2150 кг. Объем потребления данного груза в грузопоглащающих пунктах составляет: М₁ — 220 кг; М₂ — 250 кг; М₃ — 510 кг; М₄ — 280 кг; М₅ — 420 кг; М₆ -470 кг.

Второй вид груза — мясо кур в ящиках, является грузом первого класса использования грузоподъемности с коэффициентом использования грузоподъемности =1. Объем этого груза, предназначенный к перевозке — 1800 кг. Объем потребления груза в грузопоглащающих пунктах составляет: М₁ — 310 кг; М₂ — 320 кг; М₃ — 340 кг; М₄ — 290 кг; М₅ — 280 кг; М₆— 260 кг.

Третий вид перевозимого груза — вода минеральная в полиэтиленовых ящиках. Данный груз является грузом второго класса со средним коэффициентом использования грузоподъемности = 0,8. Объем данного груза, предназначенный к перевозке — 1010 кг. Объем потребления груза 3-го типа в грузопоглащающих пунктах составляет: М₁ — 150 кг; М₂ — 130 кг; М₃ — 160 кг; М₄ — 150 кг; М₅ — 100 кг; М₆ — 190 кг.

Для выполнения перевозок могут использоваться автомобильные транспортные средства 2-х марок:

— МАЗ 437 040−020, грузоподъемностью 4,7 т, в количестве 2 единиц;

— ЗИЛ 5301ВА, грузоподъемностью 2,3 т, в количестве 5 единиц.

2. Определение кратчайших расстояний и кратчайших путей следования Для того, чтобы определить кратчайшие расстояния между пунктами транспортной сети региона, определим расстояния между пунктами транспортировки грузов и сведём в таблицу 2.1

Таблица 2.1- Расстояния между пунктами транспортировки грузов

Определение кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети является важной практической задачей организации перевозок, так как дает возможность снизить транспортные издержки на перевозку грузов за счет минимизации общего пробега подвижного состава и сокращения времени доставки грузов.

Задача определения кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети является задачей многовариантной, которая имеет множество допустимых решений. Для нахождения оптимального решения задачи используются следующие методы:

1) метод потенциалов;

2) табличный метод;

3) определение кратчайших расстояний на ЭВМ.

Для определения кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети воспользуемся специальным программным обеспечением. При имеющихся длинах звеньев получили матрицу кратчайших расстояний (таблица 2.2).

Таблица 2.2- Матрица кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети района

3. Маршрутизация перевозок мелкопартийных грузов

Выберем маршруты движения автомобилей. Для этого необходимо определить оптимальную последовательность объезда всех грузопоглащающих узлов транспортной сети, т. е. решить задачу коммивояжера. Исходными данными для этого выступает матрица кратчайших расстояний (таблица 2.1).

Приведем матрицу расстояний по строкам (таблица 3.1)

Таблица 3.1 — Приведение матрицы по строкам

Приведем матрицу расстояний по столбцам (таблица 3.2)

Таблица 3.2 — Приведение матрицы по столбцам

Полностью приведенная матрица приведена в таблице 3.3.

Таблица 3.3 — Полностью приведенная матрица

Определим нижнюю границу множества Гамильтоновых контуров:

= 27 700

Каждый нуль в приведенной матрице (см. таблицу 1.6) условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значения записываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.4).

Таблица 3.4 — Определение сумм констант приведения

Из таблицы 3.4 видно, что наибольшее значение суммы констант приведения получается на пересечении 6й строки и 7-го столбца и 7й строки и 6го столбца и составляет 5100. Рассмотрим первый вариант.

Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (6,7), заменяя элементы а_7,6 = 0 в матрице расстояний на. В результате исключения данной дуги будет образовано подмножество гамильтоновых контуров {}.

Приводим полученную матрицу расстояний и определяем нижнюю границу подмножества гамильтоновых контуров {}.

Таблица 3.5 — Исключение 6 строки и 7 столбца

Таблица 3.6 — Приведение матрицы по строкам

Таблица 3.7- Приведение матрицы по столбцам

Тогда, а Матрица, полученная после приведения по строкам и столбцам приведена в таб. 3.8.

Каждый нуль в полученной матрице условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значения записываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.9).

Таблица 3.8 — Полностью приведенная матрица

Таблица 3.9 — Определение сумм констант приведения

Из таблицы 3.9 видно, что наибольшее значение суммы констант приведения получается на пересечении 5 строки и 6 столбца и составляет 5000. Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (5,6) и проводим расчеты аналогичные предыдущим.

Таблица 3.10 — Исключение 5й строки и 6го столбца

Таблица 3.11 — Приведение матрицы по строкам

Таблица 3.12 — Приведение матрицы по столбцам

Тогда, а Матрица, полученная после приведения по строкам и столбцам приведена в таблице 3.13.

Таблица 3.13 — Полностью приведенная матрица

Каждый нуль в полученной матрице условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значения записываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.14).

Таблица 3.14 — Определение сумм констант приведения

Из таблицы 3.14 видно, что наибольшее значение суммы констант приведения получается на пересечении 3 строки и 4 столбца и составляет 6500. Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (3,4), заменяя элемент а_4,3 = 3100 в матрице расстояний на и проводим расчеты аналогичные предыдущим (таблицы 3.15−3.18)

Таблица 3.15 — Исключение 3 строки и 4 столбца

Таблица 3.16 — Приведение матрицы по строкам

Таблица 3.17 — Приведение матрицы по столбцам

Тогда, а Матрица, полученная после приведения по строкам и столбцам приведена в таб. 3.18.

Каждый нуль в полученной матрице условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значения записываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.19).

Таблица 3.18 — Полностью приведенная матрица

Таблица 3.19 — Определение сумм констант приведения

Из таблицы 3.19 видно, что наибольшее значение суммы констант приведения получается на пересечении 3 строки и 3 столбца и составляет 4700.

Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (3,4), заменяя элемент а_4,3 = 3500 в матрице расстояний на и проводим расчеты аналогичные предыдущим (таблицы 3.20−3.23)

Таблица 3.20 — Исключение 4 строки и 3 столбца

Таблица 3.21 — Приведение матрицы по строкам

Таблица 3.22 — Приведение матрицы по столбцам

Тогда, а Матрица, полученная после приведения по строкам и столбцам приведена в таблице 3.23.

Таблица 3.23 — Полностью приведенная матрица

Каждый нуль в полученной матрице условно заменяем на и находим сумму констант приведения. Значения записываем в соответствующие клетки рядом с нулями (таблица 3.24).

Таблица 3.24 — Определение сумм констант приведения

Из таблицы 3.24 видно, что мы получили 4 одинаковых максимальных суммы констант приведения (3500). Это означает что алгоритм разветвляется и мы должны рассмотреть все получившиеся варианты поочередно. Рассмотрим вариант (1,2).

Априорно исключаем из гамильтонова контура дугу (1,2), заменяя элемент а_2,1 = 0 в матрице расстояний на и проводим расчеты аналогичные предыдущим (таблицы 3.25−3.28)

Таблица 3.25 — Исключение первой строки и второго столбца

Текущая Нижняя граница=34 600

После того, как ранг матрицы становится равным двум мы получаем нули в каждой ее строке и столбце (добавив как и ранее вычтеные элементы матрицы к нижней границе), и добавляем к маршруту комивояжера дуги которым соответствуют нулевые элементы.

НГр=38 100

Маршрут коммивояжера включает в себя дуги, (М5,М6), (М4,М5), (М2, М3), (М3, М4), (Б, М1), (М1, М2), (М6, Б)

В приложении Б приведем расчеты всех остальных разветвлений, рассчитанных с помощью специального программного обеспечения.

После того, как рассмотрели все возможные ветви алгоритма, выберем из полученных в результате рассмотрения каждой ветви значений нижней границы — минимальное. Это и будет оптимальной длиной пути коммивояжера.

Минимальное значение имеет НГр=38 100.

Соответствующий оптимальный контур включает дуги: (М5,М6), (М4,М5), (М2, М3), (М3, М4), (Б, М1), (М1, М2), (М6, Б).

Оптимальный маршрут: Б-1−2-3−4-5−6-Б

4. Определение потребности в транспортных средствах для работы на маршрутах Для определения потребности в транспортных средствах для работы на маршрутах необходимо определить массу завозимых в каждый пункт выгрузки грузов с учетом коэффициента использования грузоподъемности. Соответствующие расчеты, с учетом исходных данных приведены в таб. 3.19.

Таблица 3.19 Определение количества завозимого в каждый пункт груза

Согласно исходным данным, перевозка может быть осуществлена автомобилями 4-х марок: ЗИЛ-5301АО, грузоподъемностью 3 т; ГАЗ-3302, грузоподъемностью 1,5 т.; ЗИЛ-5301ВА, грузоподъемностью 2,3 т; МАЗ 437 040−020, грузоподъемностью 4,7 т. Из таблицы 3.19 видно, что общая масса доставляемого груза, с учетом коэффициента использования грузоподъемности составляет 6,486 т. Исходя из вышесказанного, можно утверждать, что в данном случае необходимо использовать 1 автомобиль марки ЗИЛ-5301ВА и 1 автомобиль марки МАЗ 437 040−020. Во втором перевозим: молочные изделия в бумажных пакетах и воду, затаренные в ящиках, в первом: мясо кур в ящиках. Такое утверждение основано на следующих умозаключениях:

— должен быть перевезен весь груз;

— приоритет необходимо отдавать автомобилям большей грузоподъемности, при этом должно обеспечиваться максимальное значение степени использования грузоподъемности автомобилей;

— движение автомобилей должно осуществляться по разработанному маршруту с минимизацией выполняемой в ткм транспортной работы.

Рассмотрим существующий маршрут перевозки грузов для первого автомобиля:

Рис. 1

Рассчитаем транспортную работу для данного маршрута и автомобиля:

Рассмотрим существующий маршрут перевозки грузов для второго автомобиля:

Рис. 2

Рассчитаем транспортную работу для данного маршрута и автомобиля:

79 378 тм Рассмотрим предлагаемый маршрут перевозки:

Рис. 3

Рассчитаем транспортную работу для данного маршрута и автомобиля:

Рассмотрим существующий маршрут перевозки грузов для второго автомобиля:

Рис. 4

Рассчитаем транспортную работу для данного маршрута и автомобиля на предлагаемом маршруте:

Общая транспортная работа на двух автомобилях в обратном направлении:

Р_общ =

Исходя из того, что транспортная работа на предложенном маршруте больше чем на существующем, выбираем существующий маршрут в прямом направлении Б — М1 — М2 — М3 — М4 — М5- М6 — Б

5. Расчет технико-эксплуатационных показателей использования автомобильных транспортных средств Для планирования, учета и анализа работы подвижного состава грузового автомобильного транспорта установлена система показателей, позволяющая оценить степень использования ПС и результаты его работы.

К показателям, характеризующим степень использования ПС, относятся следующие показатели:

— коэффициент выпуска подвижного состава на линию, _в;

— коэффициент технической готовности подвижного состава, _т;

— коэффициент статического использования грузоподъемности, _с;

— коэффициент динамического использования грузоподъемности, _д;

— коэффициент использования пробега, ;

— средняя длина ездки, L_ег;

— среднее расстояние перевозки груза, L_гр;

— время простоя ПС под погрузкой-разгрузкой, t_пр;

— время в наряде, Т_н;

— техническая скорость движения, V_т;

— эксплуатационная скорость, V_э.

Расчет данных показателей осуществляется по результатам выполненной маршрутизации перевозок и построенных на основании этого эпюр грузопотоков на маршрутах.

Коэффициент статического использования грузоподъемности определяется отношением фактически перевезенного груза Q_ф к грузу Q, который можно было бы перевезти при условии полного использования грузоподъемности ПС при груженых ездках

_с = Q_ф / Q. (5.1)

Коэффициент динамического использования грузоподъемности определяется отношением фактически выполненной транспортной работы W_е к возможной работе W_в при условии полного использования грузоподъемности ПС на протяжении всего маршрута с грузом

_д = W_е / W_в; (5.2)

W_e = Q_i L_ij; (5.3)

W_в = q_i L_ег. (5.4)

Коэффициент использования пробега подвижного состава определяется отношением производительного пробега к общему за определенный период времени

= L_ег / L_м. (5.5)

Среднее расстояние перевозки груза — это средняя дальность транспортирования одной тонны груза, определяется отношением выполненной транспортной работы W_е к объему перевезенного груза Q_ф

L_гр = W_е / Q_ф. (5.6)

Маршруты работы автомобилей приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1 — Определение количества завозимого в каждый пункт груза

Для первого маршрута:

— коэффициент статического использования грузоподъемности равен

_с = 4.686/ 4.7 = 0,997;

— коэффициент динамического использования грузоподъемности равен

W_e =

;

W_в = 4.7 · 27.8 = 130.66 т· км;

_д = 79.378 / 130.66 = 0,6;

— коэффициент использования пробега равен

= 27.800 / 38.100 = 0,73;

— среднее расстояние перевозки груза равно

L_гр = 79.378 / 4.686 = 16,94 км.

Весь последующий расчет технико-эксплуатационных показателей маршрутов выполняется аналогичным образом и представлен в таблице 5.2.

Таблица 5.2 — Показатели использования автомобилей на маршрутах

Согласно полученным результатам суммарная транспортная работа по существующему маршруту равна 106,095 т•км в сутки, а суточный объем перевозок составляет 6,486 т. Длина маршрута составляет 38,100 км. Коэффициент статического использования грузоподъемности изменяется от 0,997 до 0,78. Среднее расстояние перевозки груза — 16,94 и 14,84 км.

Суммарная транспортная работа по предложенному маршруту равна 198,968 т•км в сутки, а суточный объем перевозок составляет 6,486 т. Длина маршрута составляет 67,2 км. Коэффициент статического использования грузоподъемности изменяется от 0,997 до 0,78. Среднее расстояние перевозки груза — 39,57 и 30,95 км.

Таким образом данные показатели являются весьма приемлемыми в сложившихся условиях перевозок продукции.

6. Сравнительный анализ существующего и предлагаемого вариантов Сравним полученные технико-эксплуатационные показатели для существующего и предлагаемого вариантов.

Для существующего варианта:

а) выполненная транспортная работа W_e = 106,095 т-км;

б) общий пробег L_м = 38,100 км.

Для предлагаемого варианта:

а) выполненная транспортная работа W_e = 198,968 т-км;

б) общий пробег L_м = 67,200 км.

В результате сравнения видно, что существующий вариант более эффективен и применим к данной транспортной сети.

перевозка транспорт маршрут

Заключение

В ходе данной курсовой работы были определены кратчайшие расстояния между пунктами транспортной сети с использованием компьютерной программы NAKRA. Были оптимизированы грузовые потоки при развозе 3-х видов грузов по 6 магазинам города Гомеля, а также были составлены маршруты перевозки этих грузов. Был выбран подвижной состав для осуществления данных перевозок.

Кроме того, были рассчитаны основные технико-эксплуатационные показатели работы подвижного состава и был произведен сравнительный анализ существующего и предлагаемого вариантов маршрутов перевозок грузов. В результате чего был выбран предлагаемый маршрут с движением в прямом направлении Б — М1 — М2 — М3 — М4 — М5 — М6- Б, транспортная работа которого составляет 106,095 т-км, а общий пробег автомобилей работающих на данном маршруте 38,1 км, так как он является наиболее выгодным и целесообразным для данного района города Гомеля.

1 Автомобильные перевозки пассажиров и грузов. Практикум: учебное пособие / С. А. Аземша, С. В. Скирковский, С. В. Сушко; М-во образования Респ. Беларусь, Белорус. гос. ун-т трансп. — Гомель: БелГУТ, 2012. — 205 с.

2 Требования по оформлению отчетных документов самостоятельной работы студентов: учебно-методическое пособие / М. А. Бойкачев [и др.]; М-во образования Респ. Беларусь, Белорус. гос. ун-т трансп. — Гомель: БелГУТ, 2008. — 62 с.

3 Ипользовали для решения задачи коммивояжера методом Литтла.

Приложение А

M (М1,Б) = М1 — Б; L = 3500 м

M (М2,Б) = М2 — 7 — М1 — Б; L = 8500 м

M (М3,Б) = М3 — 11 — М1 — 7 — М2 — 8 — 9 — 10 — Б; L = 12 400 м

M (М4,Б) = М4 — 33 — М1 — 29 — 30 — 31 — 32 — Б; L = 7800 м

M (М5,Б) = М5 — 16 — М1 — 18 — 17 — М6 — Б; L = 14 200 м

M (М6,Б) = М6 — 18 — М1 — Б; L = 10 300 м Таблица 1

Таблица 2

Приложение Б В настоящее время в условиях значительного роста объема перевозок грузов в городах для обеспечения более рационального использования подвижного состава и сокращения транспортных затрат большое значение имеет определение кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети.

Транспортная сеть представляет собой систему дорог, которые пригодны по качеству дорожного покрытия, ширине проезжей части и открыты для движения подвижного состава.

Транспортная сеть состоит из отдельных элементов, которые являются вершинами и звеньями сети. Каждой вершине присваивается свой порядковый номер или другое условное обозначение.

Получим матрицу стоимости для нашего графа, элементами которой являются веса соответствующих дуг. Все элементы по диагонали матрицы приравняем к бесконечности Таблица 3

Найдем минимальные элементы в каждой строке и затем вычтем его из остальных элементов строки (минимальные элементы записаны напротив соответствующих строк). Получим матрицу представленную ниже.

Таблица 4

То же проделаем и со столбцами, не содержащими нуля. Получим матрицу, содержащую нули в каждой строке и каждом столбце.

Таблица 5

Для каждого нулевого элемента рассчитаем значение Гij, равное сумме наименьшего элемента i строки (исключая элемент Сij=0) и наименьшего элемента j столбца.

Г_1,2=3500, Г_2,1=3500, Г_2,5=300, Г_3,4=1800, Г_4,3=1800, Г_5,2=700, Г_6,7=5100, Г_7,6=5100,

В результате сравнения мы получили 2 одинаковых максимальных Г=5100. Это означает что алгоритм разветвляется и мы должны рассмотреть все получившиеся варианты поочередно. Рассмотрим вариант Г_6,7=5100

Удалим из матрицы стоимости строку 6 и столбец 7, и присвоим элементу (7,6) значение бесконечности. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (6,7)

Таблица 6

В строке 7 и столбце 6 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (7,6) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

Текущая Нижняя граница=27 700

Нижняя граница равна сумме всех вычтенных элементов в строках и столбцах. Итоговое значение нижней границы должно совпасть с длиной результирующего контура.

Найдем минимальные элементы в каждой строке и затем вычтем его из остальных элементов строки (минимальные элементы записаны напротив соответствующих строк). Получим матрицу представленную ниже.

Таблица 7

То же проделаем и со столбцами, не содержащими нуля. Получим матрицу, содержащую нули в каждой строке и каждом столбце.

Таблица 8

Для каждого нулевого элемента рассчитаем значение Гij, равное сумме наименьшего элемента i строки (исключая элемент Сij=0) и наименьшего элемента j столбца.

Г_1,2=3500, Г_2,1=3500, Г_2,5=300, Г_3,4=1800, Г_4,3=1800, Г_5,2=0, Г_5,6=5000, Г_7,2=2300,

Максимальное значение имеет Г_5,6=5000

Удалим из матрицы стоимости строку 5 и столбец 6. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (5,6)

Таблица 9

В строке 7 и столбце 5 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (7,5) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

Текущая Нижняя граница=32 800

Найдем минимальные элементы в каждой строке и затем вычтем его из остальных элементов строки (минимальные элементы записаны напротив соответствующих строк). Получим матрицу представленную ниже.

Таблица 10

То же проделаем и со столбцами, не содержащими нуля. Получим матрицу, содержащую нули в каждой строке и каждом столбце.

Таблица 11

Для каждого нулевого элемента рассчитаем значение Гij, равное сумме наименьшего элемента i строки (исключая элемент Сij=0) и наименьшего элемента j столбца.

Г_1,2=3500, Г_2,1=3500, Г_2,5=300, Г_3,4=6500, Г_4,3=1800, Г_7,2=3500,

Максимальное значение имеет Г_3,4=6500

Удалим из матрицы стоимости строку 3 и столбец 4. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (3,4)

Таблица 12

В строке 4 и столбце 3 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (4,3) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

Текущая Нижняя граница=32 800

Найдем минимальные элементы в каждой строке и затем вычтем его из остальных элементов строки (минимальные элементы записаны напротив соответствующих строк). Получим матрицу представленную ниже.

Таблица 13

То же проделаем и со столбцами, не содержащими нуля. Получим матрицу, содержащую нули в каждой строке и каждом столбце.

Таблица 14

Для каждого нулевого элемента рассчитаем значение Гij, равное сумме наименьшего элемента i строки (исключая элемент Сij=0) и наименьшего элемента j столбца.

Г_1,2=3500, Г_2,1=3500, Г_2,3=3500, Г_2,5=0, Г_4,5=4700, Г_7,2=3500,

Максимальное значение имеет Г_4,5=4700

Удалим из матрицы стоимости строку 4 и столбец 5. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (4,5)

Таблица 15

В строке 7 и столбце 3 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (7,3) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

Текущая Нижняя граница=34 600

Найдем минимальные элементы в каждой строке и затем вычтем его из остальных элементов строки (минимальные элементы записаны напротив соответствующих строк). Получим матрицу представленную ниже.

Таблица 16

То же проделаем и со столбцами, не содержащими нуля. Получим матрицу, содержащую нули в каждой строке и каждом столбце.

Таблица 17

Для каждого нулевого элемента рассчитаем значение Гij, равное сумме наименьшего элемента i строки (исключая элемент Сij=0) и наименьшего элемента j столбца.

Г_1,2=3500, Г_2,1=3500, Г_2,3=3500, Г_7,2=3500,

В результате сравнения мы получили 4 одинаковых максимальных Г=3500. Это означает что алгоритм разветвляется и мы должны рассмотреть все получившиеся варианты поочередно. Рассмотрим вариант Г_1,2=3500

Удалим из матрицы стоимости строку 1 и столбец 2, и присвоим элементу (2,1) значение бесконечности. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (1,2)

Таблица 18

В строке 2 и столбце 1 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (2,1) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

Текущая Нижняя граница=34 600

После того, как ранг матрицы становится равным двум мы получаем нули в каждой ее строке и столбце (добавив как и ранее вычтенные элементы матрицы к нижней границе), и добавляем к маршруту коммивояжера дуги которым соответствуют нулевые элементы.

НГр=38 100

Маршрут коммивояжера включает в себя дуги, (6, 7), (5, 6), (3, 4), (4, 5), (1, 2), (2, 3), (7, 1)

Вернемся к возникшему у нас ветвлению и рассмотрим случай при котором максимальное значение имеет Г_7,2. Удалим из матрицы стоимости строку 2 и столбец 7. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (7,2)

Таблица 19

В строке 2 и столбце 3 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (2,3) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

После того, как ранг матрицы становится равным двум мы получаем нули в каждой ее строке и столбце (добавив как и ранее вычтенные элементы матрицы к нижней границе), и добавляем к маршруту коммивояжера дуги которым соответствуют нулевые элементы.

НГр=38 100

Маршрут коммивояжера включает в себя дуги, (6, 7), (5, 6), (3, 4), (4, 5), (7, 2), (1, 3), (2, 1)

Вернемся к возникшему у нас ветвлению и рассмотрим случай при котором максимальное значение имеет Г_2,3. Удалим из матрицы стоимости строку 3 и столбец 2. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (2,3)

Таблица 20

В строке 7 и столбце 2 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (7,2) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

После того, как ранг матрицы становится равным двум мы получаем нули в каждой ее строке и столбце (добавив как и ранее вычтенные элементы матрицы к нижней границе), и добавляем к маршруту коммивояжера дуги которым соответствуют нулевые элементы.

НГр=38 100

Маршрут коммивояжера включает в себя дуги, (6, 7), (5, 6), (3, 4), (4, 5), (2, 3), (1, 2), (7, 1)

Вернемся к возникшему у нас ветвлению и рассмотрим случай при котором максимальное значение имеет Г_2,1. Удалим из матрицы стоимости строку 1 и столбец 2. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (2,1)

Таблица 21

В строке 1 и столбце 2 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (1,2) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

После того, как ранг матрицы становится равным двум мы получаем нули в каждой ее строке и столбце (добавив как и ранее вычтенные элементы матрицы к нижней границе), и добавляем к маршруту коммивояжера дуги которым соответствуют нулевые элементы.

НГр=38 100

Маршрут коммивояжера включает в себя дуги, (6, 7), (5, 6), (3, 4), (4, 5), (2, 1), (1, 3), (7, 2)

Вернемся к возникшему у нас ветвлению и рассмотрим случай при котором максимальное значение имеет Г_7,6. Удалим из матрицы стоимости строку 6 и столбец 7. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (7,6)

Таблица 22

В строке 6 и столбце 7 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (6,7) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

Найдем минимальные элементы в каждой строке и затем вычтем его из остальных элементов строки (минимальные элементы записаны напротив соответствующих строк). Получим матрицу представленную ниже.

Таблица 23

То же проделаем и со столбцами, не содержащими нуля. Получим матрицу, содержащую нули в каждой строке и каждом столбце.

Таблица 24

Для каждого нулевого элемента рассчитаем значение Гij, равное сумме наименьшего элемента i строки (исключая элемент Сij=0) и наименьшего элемента j столбца.

Г_1,2=3500, Г_2,1=3500, Г_2,5=0, Г_2,7=2300, Г_3,4=1800, Г_4,3=1800, Г_5,2=700, Г_6,5=5000,

Максимальное значение имеет Г_6,5=5000

Удалим из матрицы стоимости строку 6 и столбец 5. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (6,5)

Таблица 25

В строке 5 и столбце 7 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (5,7) значение бесконечности чтобы избежать преждевременногог замыкания контура.

Текущая Нижняя граница=32 800

Найдем минимальные элементы в каждой строке и затем вычтем его из остальных элементов строки (минимальные элементы записаны напротив соответствующих строк). Получим матрицу представленную ниже.

Таблица 26

То же проделаем и со столбцами, не содержащими нуля. Получим матрицу, содержащую нули в каждой строке и каждом столбце.

Таблица 27

Для каждого нулевого элемента рассчитаем значение Гij, равное сумме наименьшего элемента i строки (исключая элемент Сij=0) и наименьшего элемента j столбца.

Г_1,2=3500, Г_2,1=3500, Г_2,7=3500, Г_3,4=1800, Г_4,3=6500, Г_5,2=700,

Максимальное значение имеет Г_4,3=6500

Удалим из матрицы стоимости строку 4 и столбец 3. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (4,3)

Таблица 28

В строке 3 и столбце 4 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (3,4) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

Текущая Нижняя граница=32 800

Найдем минимальные элементы в каждой строке и затем вычтем его из остальных элементов строки (минимальные элементы записаны напротив соответствующих строк). Получим матрицу представленную ниже.

Таблица 29

То же проделаем и со столбцами, не содержащими нуля. Получим матрицу, содержащую нули в каждой строке и каждом столбце.

Для каждого нулевого элемента рассчитаем значение Гij, равное сумме наименьшего элемента i строки (исключая элемент Сij=0) и наименьшего элемента j столбца.

Таблица 30

Г_1,2=3500, Г_2,1=3500, Г_2,7=3500, Г_3,2=3500, Г_5,2=0, Г_5,4=4700,

Максимальное значение имеет Г_5,4=4700

Удалим из матрицы стоимости строку 5 и столбец 4. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (5,4)

Таблица 31

В строке 3 и столбце 7 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (3,7) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

Текущая Нижняя граница=34 600

Найдем минимальные элементы в каждой строке и затем вычтем его из остальных элементов строки (минимальные элементы записаны напротив соответствующих строк). Получим матрицу представленную ниже.

Таблица 32

То же проделаем и со столбцами, не содержащими нуля. Получим матрицу, содержащую нули в каждой строке и каждом столбце.

Таблица 33

Для каждого нулевого элемента рассчитаем значение Гij, равное сумме наименьшего элемента i строки (исключая элемент Сij=0) и наименьшего элемента j столбца.

Г_1,2=3500, Г_2,1=3500, Г_2,7=3500, Г_3,2=3500,

В результате сравнения мы получили 4 одинаковых максимальных Г=3500. Это означает что алгоритм разветвляется и мы должны рассмотреть все получившиеся варианты поочередно. Рассмотрим вариант Г_1,2=3500

Удалим из матрицы стоимости строку 1 и столбец 2, и присвоим элементу (2,1) значение бесконечности. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (1,2)

Таблица 34

В строке 2 и столбце 1 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (2,1) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

Текущая Нижняя граница=34 600

После того, как ранг матрицы становится равным двум мы получаем нули в каждой ее строке и столбце (добавив как и ранее вычтенные элементы матрицы к нижней границе), и добавляем к маршруту коммивояжера дуги которым соответствуют нулевые элементы.

НГр=38 100

Маршрут коммивояжера включает в себя дуги, (7, 6), (6, 5), (4, 3), (5, 4), (1, 2), (2, 7), (3, 1)

Вернемся к возникшему у нас ветвлению и рассмотрим случай при котором максимальное значение имеет Г_3,2. Удалим из матрицы стоимости строку 2 и столбец 3. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (3,2)

Таблица 35

В строке 2 и столбце 7 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (2,7) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

После того, как ранг матрицы становится равным двум мы получаем нули в каждой ее строке и столбце (добавив как и ранее вычтенные элементы матрицы к нижней границе), и добавляем к маршруту коммивояжера дуги которым соответствуют нулевые элементы.

НГр=38 100

Маршрут коммивояжера включает в себя дуги, (7, 6), (6, 5), (4, 3), (5, 4), (3, 2), (1, 7), (2, 1)

Вернемся к возникшему у нас ветвлению и рассмотрим случай при котором максимальное значение имеет Г_2,7. Удалим из матрицы стоимости строку 7 и столбец 2. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (2,7)

Таблица 36

В строке 3 и столбце 2 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (3,2) значение бесконечности чтобы избежать преждевременного замыкания контура.

После того, как ранг матрицы становится равным двум мы получаем нули в каждой ее строке и столбце (добавив как и ранее вычтенные элементы матрицы к нижней границе), и добавляем к маршруту коммивояжера дуги которым соответствуют нулевые элементы.

НГр=38 100

Маршрут коммивояжера включает в себя дуги, (7, 6), (6, 5), (4, 3), (5, 4), (2, 7), (1, 2), (3, 1)

Вернемся к возникшему у нас ветвлению и рассмотрим случай при котором максимальное значение имеет Г_2,1. Удалим из матрицы стоимости строку 1 и столбец 2. Внесем в текущий ориентированный граф дугу (2,1)

Таблица 37

В строке 1 и столбце 2 отсутствует элемент равный ?. Присвоим элементу (1,2) значение бесконечности чтобы избежать преждевременногог замыкания контура.

После того, как ранг матрицы становится равным двум мы получаем нули в каждой ее строке и столбце (добавив как и ранее вычтеные элементы матрицы к нижней границе), и добавляем к маршруту комивояжера дуги которым соответствуют нулевые элементы.

НГр=38 100

Маршрут коммивояжера включает в себя дуги, (7, 6), (6, 5), (4, 3), (5, 4), (2, 1), (1, 7), (3, 2)

Мы рассмотрели все возможные ветви алгоритма, теперь необходимо выбрать из полученых в результате рассмотрения каждой ветви значений нижней границы — минимальное. Это и будет оптимальной длиной пути коммивояжера Минимальное значение имеет НГр=38 100

Соответствующий оптимальный контур включет дуги, (6, 7), (5, 6), (3, 4), (4, 5), (1, 2), (2, 3), (7, 1)